強形式 — CAE用語解説

強形式は偏微分方程式をそのままの形で書いたもの。例えば1Dの弾性棒なら d²u/dx² + f = 0 がそれ。「すべての点で微分方程式を厳密に満たせ」という要求だから「強い」と呼ぶんだ。有限差分法（FDM）はこの強形式を直接離散化する。

FEMは強形式を弱形式（変分形式・重み付き残差法）に変換してから離散化する。弱形式にすると微分の次数が下がる（2階微分→1階微分）から、近似関数に求められる滑らかさの条件が緩和される。これがFEMで低次の多項式（1次や2次要素）を使える理由なんだ。

強形式を離散化する差分法は構造格子（直交格子）でしか使いにくい。複雑形状のモデルに差分法を適用するのは困難なんだ。弱形式にすれば三角形や四面体のような自由な形の要素が使えるから、どんな複雑形状にも対応できる。これがFEMが圧倒的に普及している最大の理由だよ。

構造格子が使える場面、例えばDNSやLESのチャネル流れ解析、波動方程式の解法、気象予測のグリッドモデルなどでは今でも現役だよ。実装がシンプルで計算効率が高いのがFDMの強みだ。

弱形式との対比とFDMの特性を理解するのがポイントだよ。

うん。数学的にはGreenの定理（部分積分の多次元版）で2階微分を1階に落とす操作。この変換が自然境界条件の導入にもつながるから、FEMの理論を理解するなら弱形式は避けて通れないよ。