熱移動の基礎 — 伝導・対流・放射からCAE熱解析まで

熱移動の3形態と支配メカニズム

熱（エネルギー）は必ず高温から低温へ移動します。その移動経路には3つの根本的に異なるメカニズムがあります。CAE熱解析を正しく設定するには、対象問題でどのメカニズムが支配的かを見極めることが出発点です。

1.1 熱伝導（Conduction）— フーリエの法則

固体内部や静止流体中で、温度勾配によって熱が移動する現象：

1次元では $q = -k \dfrac{dT}{dx}$。$k$ は熱伝導率 [W/(m·K)]、負号は「熱が高温→低温方向に流れる」ことを意味します。

1.2 対流熱伝達（Convection）— ニュートンの冷却則

$h$ は熱伝達率（対流熱伝達係数） [W/(m²·K)]。$h$ は材料定数ではなく、流れの状態（層流/乱流）、形状、流速に依存する「現象の係数」です。

1.3 放射熱移動（Radiation）— シュテファン・ボルツマン則

$\varepsilon$ は放射率（emissivity, 黒体=1）、$\sigma = 5.670 \times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴) はシュテファン・ボルツマン定数。温度の4乗依存が特徴で、高温になるほど急激に大きくなります。

2面間の正味放射熱流束：

1.4 支配的な伝熱モードの見分け方

熱伝導方程式と境界条件

2.1 3次元非定常熱伝導方程式

内部発熱 $\dot{q}$ [W/m³] を持つ一般的な熱伝導方程式：

等方均質材料（$k$ = 定数）では：

$\alpha$ [m²/s] は熱拡散率（thermal diffusivity）で、熱が物質中に拡散する速さを表します。

2.2 境界条件の3種類

2.3 定常解析 vs 非定常解析

定常解析（$\partial T / \partial t = 0$）はラプラス/ポアソン方程式になります：

非定常解析が必要なケース：電子機器の起動過渡特性、エンジン冷却サイクル、溶接・鋳造プロセスシミュレーション。

対流熱伝達の詳細

3.1 重要な無次元数

3.2 強制対流の相関式

平板上の強制対流（Churchill-Ozoe式）:

円管内の強制乱流対流（Dittus-Boelter式）:

適用範囲：$0.6 \leq Pr \leq 160$, $Re_D > 10{,}000$, $L/D > 10$

円管内の強制対流（Gnielinski式, より広範囲）:

適用範囲：$0.5 \leq Pr \leq 2000$, $3{,}000 \leq Re_D \leq 5 \times 10^6$

3.3 自然対流の相関式

鉛直平板（Churchill-Chu式）:

3.4 沸騰・凝縮熱移動

相変化を伴う熱移動では熱伝達率が桁違いに大きくなります。

核沸騰（Rohsenow式）:

$C_{s,f}$ は表面-流体の組み合わせによる実験定数です。

放射熱移動

4.1 黒体・灰体・実在表面

主要材料の放射率（参考値）：

4.2 ビュー係数（形態係数）

面 $i$ から出た放射が面 $j$ に到達する割合：

重要な性質：

• 相互性: $A_i F_{ij} = A_j F_{ji}$
• 総和: $\sum_{j=1}^N F_{ij} = 1$（エンクロージャーで）
• 自己ビュー係数: 平面・凸面では $F_{ii} = 0$

2つの無限平行平板（等面積）の場合：$F_{12} = 1$

2つの同軸円板（半径 $r_1, r_2$、間隔 $h$）の $F_{12}$：

FEMによる熱解析

5.1 弱形式への変換

熱伝導方程式の弱形式（仮想温度 $\delta T$ に対する重み付き残差法）：

5.2 有限要素離散化

節点温度ベクトル $\mathbf{T}$ を用いた行列形式：

各行列の定義：

5.3 時間積分スキームの比較

$\theta$-法（一般化台形則）を用いた時間積分：

5.4 潜熱処理（相変化問題）

融解・凝固を伴う問題では、相変化温度 $T_m$ 付近で比熱が急激に変化します。エンタルピー法では等価比熱 $c_p^*$ として扱います：

$L$ は潜熱、$\delta_T$ は数値スミアリング幅（相変化温度帯の幅）。

実務的な熱解析のコツ

6.1 電子機器冷却 — ジャンクション温度推定

半導体デバイスの最大許容ジャンクション温度（T_j,max）を守るための熱設計が最も重要な目標です。

熱抵抗ネットワーク（直列）による温度上昇の推定：

ここで：

• $P$：デバイス消費電力 [W]
• $R_{\theta,jc}$：ジャンクション-ケース間熱抵抗 [K/W]（データシート記載）
• $R_{\theta,cs}$：ケース-ヒートシンク間熱抵抗（TIMを含む）[K/W]
• $R_{\theta,sa}$：ヒートシンク-周囲温度間熱抵抗 [K/W]

FEM熱解析でのモデリングのポイント：

• TIM（サーマルインターフェースマテリアル）の熱抵抗値は薄膜でも無視できない。厚さ0.1mmで k=3 W/(m·K) なら $R_{\theta,cs} \approx 0.033/A$ [K/W]
• 基板の面内（in-plane）熱伝導率と厚さ方向（through-plane）熱伝導率は大きく異なる（FR4基板: 面内≈0.8 W/(m·K)、厚さ方向≈0.3 W/(m·K)）
• チップ積層パッケージでは層間の熱経路モデリングが精度の鍵

6.2 エンジン部品の熱応力との連成

エンジン排気系（エキゾーストマニホールド）など高温部品の設計では「熱解析 → 構造解析」の順次連成（シーケンシャルカップリング）が標準手法です：

1. 熱解析で定常/過渡温度分布を計算
2. 温度分布を構造解析の熱荷重として読み込む
3. 熱膨張による応力場を計算：$\varepsilon_\text{thermal} = \alpha_\text{CTE} \Delta T$

熱応力の大きさの目安（鋼の場合）：

温度差 100℃では 250 MPa — 鋼の降伏応力に迫る熱応力が生じることがわかります。

6.3 断熱材と熱抵抗モデリング

多層壁の1次元定常解析での熱抵抗モデル：

$U = 1/(R_\text{total} \cdot A)$ は総括熱伝達係数 [W/(m²·K)]。

よくある失敗と対策

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