パラメータ
プリセット
理論・主要公式
\(m\ddot{x} = mg - k(x - L_0) - b\dot{x}\)
コード弛緩時（\(x \le L_0\)）
\(m\ddot{x} = mg - b\dot{x}\)
最低点近似（\(b=0\)）:
\(x_{max} = L_0 + \dfrac{mg}{k} + \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgL_0}{k}}\)
バンジーコードの物理 — 弾性ポテンシャルと自由落下
🙋先生、バンジージャンプって跳んでからコードが張るまでは普通に自由落下してるんですよね？コードが伸び始めたら何が起きるんですか？
🎓そう、最初はただの自由落下だ。コードが自然長 \(L_0\) を超えて伸び始めると、バネの力 \(F = k(x - L_0)\) が上向きに働く。運動方程式は \(m\ddot{x} = mg - k(x - L_0) - b\dot{x}\)（下向きを正）になる。\(b\dot{x}\) は空気抵抗や内部損失による減衰力だ。
🙋なるほど。最低点ではどうなってるんですか？速度がゼロになる瞬間ですよね？
🎓その通り。最低点では速度ゼロだから、エネルギー保存則で求めると \(x_{max} = L_0 + mg/k + \sqrt{(mg/k)^2 + 2mgL_0/k}\) になる。例えばm=70kg、k=40 N/m、L₀=20mなら、\(mg/k = 70 \times 9.81 / 40 \approx 17.2\ \text{m}\)、\(x_{max} \approx 20 + 17.2 + 31.3 \approx 68.5\ \text{m}\)。コードが約3.4倍に伸びるんだよ。
🙋3倍も！最低点での引っ張りGってどのくらいかかるんですか？
🎓最低点での加速度はコード力が最大の瞬間。\(a = k(x_{max} - L_0)/m - g\) で、上の例では約\((40 \times 48.5)/70 - 9.81 \approx 27.7 - 9.81 \approx 17.9\ \text{m/s}^2 \approx 1.8G\)程度。バネが硬いほどGが増え、一般的なバンジーでは2〜3Gが普通だ。乗用車のブレーキが約0.8G、戦闘機のパイロットが9Gまで耐えることを考えると、バンジーのGは実はそれほど大きくないよ。
🙋思ったより低いんですね。減衰がゼロだと永遠に揺れ続けるんですか？実際はどこでエネルギーが失われるんでしょう？
🎓理想的には永遠に振動する。実際には①コードの内部摩擦（ゴム・ラテックスの粘弾性）、②空気抵抗、③コードを結んでいる点での微小エネルギー散逸でダンピングされる。シミュレーターで減衰係数bをゼロにすると振動が続くのを確認できるよ。また「エネルギー変換タブ」で位置エネルギー・運動エネルギー・弾性エネルギーの移り変わりも見られる。
よくある質問
減衰なしの場合、エネルギー保存則を使います。ジャンプ台（基準点）から最低点 \(x_{max}\) まで落下したとき、重力ポテンシャルエネルギーの減少 = コードの弾性ポテンシャルエネルギーの増加：
\(mgx_{max} = \frac{1}{2}k(x_{max} - L_0)^2\)
この二次方程式を解くと \(x_{max} = L_0 + mg/k + \sqrt{(mg/k)^2 + 2mgL_0/k}\) が得られます。
コードが「硬い」ほど、①最低到達点が浅くなる（コードがあまり伸びない）、②振動周期 \(T \approx 2\pi\sqrt{m/k}\) が短くなる（速く往復する）、③最低点でのGが増える。逆にkが小さいほどコードはよく伸び、最低点が深くなって地面への衝突リスクが上がります。バンジー設計ではジャンプする人の体重に合わせてkを調整することが安全の要です。
減衰係数 \(b\)（単位 N·s/m）が大きいほど振動が早く収まります。\(b = 0\) は完全弾性（永続振動）、\(b = 2\sqrt{mk}\) で臨界制動（一度も振り返らずゆっくり平衡点に落ち着く）、それ以上は過制動です。実際のバンジーコード（天然ゴム系）の等価減衰係数は数 N·s/m 程度です。空気抵抗の寄与は速度の2乗に比例しますが、低速域での近似として \(b\dot{x}\) で近似できます。
天然ラテックスゴムや合成ゴムのロープを束ねたもので、自然長の2〜3.5倍まで伸縮できます。フックの法則（線形バネ）から外れた非線形弾性を持ちますが、安全設計では線形近似でマージンを確保します。安全係数は通常3〜5倍（コードの破断強度 / 設計最大荷重）。バネ定数は体重65kgの人でおおよそ30〜60 N/m程度ですが、ジャンプ台の高さと最低許容高さによって設計されます。
ルンゲ-クッタ4次法（RK4）は1ステップにつき4回の傾き評価を行い、その加重平均で次の値を推定します。精度はステップ幅 \(h\) の5乗で向上（誤差 \(O(h^5)\)）。単純なEuler法では誤差 \(O(h^2)\) で、バンジーのような非線形振動ではエネルギーが増え続ける不安定解が出ることがあります。RK4は同じステップ数でEulerより数桁精度が高く、物理シミュレーションの標準的な手法です。