ゲームプリセット
囚人のジレンマ
鹿狩り
チキン
男女の争い
調整ゲーム
利得行列（行: P1, 列: P2）
ナッシュ均衡を求める
レプリケーター動学
任意のプレイヤー $i$ と戦略 $s_i'$ に対して:
$u_i(s_i^{*}, s_{-i}^{*}) \geq u_i(s_i', s_{-i}^{*})$
レプリケーター方程式:
$\dot{x}_i = x_i(f_i - \bar{f})$
本ツール（2戦略・対称ゲーム、$a$ は P1 の利得）:
$\dot{x} = x(1-x)(f_C - f_D)$、$f_C = x\,a_{CC} + (1-x)\,a_{CD}$、$f_D = x\,a_{DC} + (1-x)\,a_{DD}$
ゲーム理論シミュレーターとは
🙋
このシミュレーターで「ナッシュ均衡」ってどうやって見つけるんですか？利得行列の数字をいじるだけでいいんですか？
🎓
大まかに言うと、誰も戦略を変える気にならない状態が均衡だね。このツールでは、まず左上の「囚人のジレンマ」などのプリセットを選んで、利得行列の数字を直接クリックして変えてみよう。例えば囚人のジレンマで (C, C) の利得を 3 / 3 から 6 / 6 に上げると、(D, D) に加えて (C, C) も均衡になる瞬間が見られるよ（鹿狩りと同じ構造になる）。実務では、価格競争のモデルでこの数字を調整して均衡価格を探ったりするんだ。
🙋
え、でもそれって静的な分析ですよね？右側の「協力率 x_C(t)」のグラフが動いてるのは何を見てるんですか？
🎓
いいところに気が付いたね。右のグラフはレプリケーター動学で、集団の中で協力する人の割合 x が、平均より得をする戦略ほど増えるというルールで時間とともにどう変わるかを描いている。「初期協力率 x₀」を変えて「リセット」→「開始」を押してみて。協力が広がる条件や、裏切りが広がる条件が目で見えるよ。生物の群れの行動や、社会規範の広がりを考えるときの基本的なモデルだ。
🙋
囚人のジレンマで初期協力率を 90% にしても、協力率がどんどん下がって 0% に近づいちゃいました…。これが「囚人のジレンマ」の怖いところということですか？
🎓
その通り！個人の合理的選択が集団を悪い結果に導くパラドックスを、目で見て確認できたね。裏切りは相手が何をしても得をする支配戦略だから、どこから始めても協力は消えていく。でも「鹿狩り」に切り替えると、初期協力率が 50% より上なら協力 100% へ、下なら 0% へ向かう。初期条件で行き着く均衡が変わるんだ。ゲームの構造（利得行列）が集団の行き先をどう決めるか、直感的に理解できるね。技術標準の争い（VHS 対ベータのような）も、こうした複数均衡のモデルで説明されることがあるよ。
よくある質問
利得行列の数値を変更しても、ナッシュ均衡が表示されないのはなぜですか？
純粋戦略のナッシュ均衡が存在しないゲームがあるためです。例えばコイン合わせ（(C, C) と (D, D) が (1, −1)、(C, D) と (D, C) が (−1, 1)）では、どのマスでも一方が戦略を変えると得をするので純粋戦略の均衡はなく、両者とも C と D を 1/2 ずつ選ぶ混合戦略の均衡だけがあります。本ツールは純粋戦略の均衡だけを判定し、存在しない場合はその旨を表示します。なお、チキンゲームには (C, D) と (D, C) の2つの純粋戦略均衡があります。
レプリケーター動学の初期協力率 x₀ はどう選べばよいですか？
「初期協力率 x₀」スライダー（0〜100%）で設定し、「リセット」してから「開始」します。プリセットの利得では、囚人のジレンマはどこから始めても 0% へ、鹿狩りは 50% を境に 100% か 0% へ、チキンは 50% へ、調整ゲームは 1/3 を境に 100% か 0% へ向かいます。境目を挟んで x₀ を変えると、行き着く先の違いがよくわかります。
シミュレーション結果のグラフはどのように解釈すればよいですか？
右側のグラフは横軸が時間、縦軸が集団の協力率 x_C（0〜1）です。線が 0 や 1 に張り付けば一方の戦略が集団を占めたこと、途中の値で止まれば2つの戦略が共存する状態（チキンでは 50%）に落ち着いたことを示します。左側の行列では、青い点が P1 の最善応答、赤い点が P2 の最善応答で、両方がそろったマスがナッシュ均衡（NE）です。
利得行列の値を大きく変更しても、結果に変化が見られないことがあります。なぜですか？
ナッシュ均衡は利得の大小関係（順序）に依存するため、絶対値を変えても相対的な順位が変わらなければ均衡は変化しません。例えば囚人のジレンマでは、裏切りの利得が協力より常に高い限り、均衡は変わりません。なお、利得を入力すると判定はその場で更新されます（「ナッシュ均衡を求める」ボタンでも再判定できます）。
実世界での応用
経済学・経営戦略： 企業間の価格競争や広告競争をモデル化し、ナッシュ均衡としての市場価格を予測します。新規参入企業の戦略や、既存企業の協調行動（カルテル）が均衡をどう崩すかの分析に使われます。
生物学・生態学： 動物の行動（縄張り争い、餌の分配、繁殖戦略）を「進化的に安定な戦略(ESS)」として研究します。例えば、ハト派とタカ派の戦略が個体群内でどのような割合で共存するかをシミュレートできます。
政治学・国際関係： 軍拡競争や国際交渉、環境条約の遵守問題を「囚人のジレンマ」や「チキンゲーム」として分析します。相互不信がどのように非協調的な均衡を生み出すか、またそれを脱するための制度設計を考察します。
コンピュータサイエンス・ネットワーク設計： インターネット上のデータ転送におけるユーザー（またはプロトコル）の振る舞いをゲームとしてモデル化します。各ノードが自己の効率を最大化する行動を取った結果、ネットワーク全体の輻輳が発生するという「混雑ゲーム」の分析などが該当します。
よくある誤解と注意点
まず、「ナッシュ均衡は唯一の『正解』だ」という思い込み は捨てましょう。例えば「鹿狩りゲーム」では、「全員が協力」と「全員が裏切り」の2つのナッシュ均衡が存在します。シミュレーターで初期状態を変えると、どちらの均衡に収束するかが変わることがありますよね。これは、現実の交渉や市場でも、初期条件や歴史的経緯（例えば、どちらの技術が先に普及したか）によって異なる均衡が実現することを示しています。
次に、レプリケーター動学の前提 です。このモデルは「平均より得をする戦略が、その差に比例して増える」という単純な模倣のルールで、大きな集団の中でランダムに出会う状況を想定しています。また本ツールは対称ゲームを仮定して P1 の利得（各マスの左側の数値）だけを使うため、「男女の争い」のように2人の立場が違うゲームでは、動学の結果は P1 から見た目安にすぎません。実務で応用する際は、対象とするシステムの学習・模倣のしかたがこの前提に合うかをよく考える必要があります。
最後に、利得行列の数字の「絶対値」よりも「大小関係」が本質的 だという点です。囚人のジレンマでは、裏切りに対する誘惑の利得T、協力に対する報酬R、相互裏切りに対する懲罰P、単独協力に対する惨事Sの間に、T > R > P > S という関係が成り立っています。シミュレーターで全ての利得を10倍しても（T=50, R=30, P=10, S=0）、この大小関係が保たれていれば、依然として囚人のジレンマは成立し、裏切りが優勢になります。数字をいじる際は、この順序関係がどう変わるかに注目しましょう。
具体的な計算例
囚人のジレンマ（プリセット）：(C, C)=(3, 3)、(C, D)=(0, 5)、(D, C)=(5, 0)、(D, D)=(1, 1)。P1 は相手が C なら D（5＞3）、相手が D でも D（1＞0）が最善応答なので裏切りが支配戦略となり、ナッシュ均衡は (D, D)、均衡利得は (1, 1) です。(C, C) の (3, 3) の方が両者とも得なので、この均衡はパレート最適ではありません。初期協力率 90% でも、レプリケーター動学では協力率が 0% に向かって下がり続けます。鹿狩りに切り替えると均衡は (C, C) と (D, D) の2つになり、x₀=60% では協力 100% へ、40% では 0% へ向かいます。