パラメータ設定
L_y < L_x の場合は自動的に入れ替え、β = L_y / L_x ≥ 1 として計算します。等方向降伏モーメント（直交2方向で同じ m_p）を仮定。
降伏線パターン（中央発散・直交破壊線）
赤線=降伏線（塑性ヒンジ）／三角片①②と台形片③④に分割／青三角=4辺単純支持／矢印=寸法
理論・主要公式
4辺単純支持の矩形スラブが等分布荷重 q を受けるとき、降伏線が中央から4辺中点へ伸びるパターン（X字＋I字）を仮定すると、上界法（Johansen）により極限荷重が得られます。
アスペクト比 β = L_y / L_x（≥1）と等方向降伏モーメント m_p（単位幅当たり）を用いて、極限分布荷重 q_u は以下の係数 α(β) を用いて表されます：
$$q_u = \alpha(\beta)\,\frac{m_p}{L_x^2}$$
教科書値（線形補間）：β=1 → α=24（正方形）、β=1.5 → α=18、β=2 → α=16、β=3 → α=12、β=∞ → α=8（一方向板）
設計分布荷重 q_d と等価集中荷重 P_u（A=L_x·L_y）：
$$q_d = \frac{q_u}{\gamma}, \qquad P_u = q_u \cdot A$$
正方形（β=1）の場合 q_u = 24 m_p / L_x²。β が大きいほど短辺方向の曲げが支配的になり、α は減少して一方向板の値 8 に漸近します。
降伏線理論シミュレーターとは
🙋
RCスラブの設計って、普通は弾性解析でやりますよね。「降伏線理論」って何が違うんですか？
🎓
ざっくり言うと、降伏線理論は「スラブが本当に壊れる瞬間」を考える方法だ。弾性解析は最初に降伏する点で限界を決めるけど、実際のRCスラブは1点降伏してもすぐには崩壊しない。塑性ヒンジが直線状の「降伏線」に沿って広がり、最後に崩壊機構が形成されたところで本当の限界が来る。デンマークのJohansenが1940年代に体系化した方法で、上のシミュレーターで「短辺 L_x」を変えると、極限分布荷重 q_u が L_x² で効くのが見える。
🙋
「アスペクト比 β」のスライダーを動かすと、降伏線パターンの真ん中の線の長さが変わりますね。
🎓
そう、それがこの理論の面白いところだ。正方形（β=1）だと中央の1点から4隅に降伏線が伸びる「X字パターン」、長方形になると中央に「I字」の降伏線が加わって、両端に三角片、上下に台形片ができる。シミュレーターのキャンバスで①②が三角片、③④が台形片だ。β が大きくなると短辺方向の曲げが支配的になって、係数 α(β) は 24 から 8（一方向板の値）に向かって減少していく。
🙋
設計分布荷重 q_d は q_u を安全率で割ったやつですか？
🎓
そう。q_u は理論上スラブが崩壊する限界の荷重、いわば「これを超えたらアウト」というライン。実際の設計ではコンクリート強度のばらつき、施工誤差、長期荷重の影響などを見込んで、安全率 γ で割って q_d = q_u/γ として運用する。日本では γ=1.5 前後が標準で、ユーロコードでも同程度。シミュレーターで γ を 1.0 にすると q_d = q_u になって安全余裕がなくなるのが見えるよ。
🙋
「等価集中荷重 P_u」って何ですか？面荷重を1点に集めた値？
🎓
そう、q_u に床面積 A=L_x·L_y を掛けただけの単純な総荷重だ。柱や基礎への伝達荷重を見積もるときに便利な指標で、実務でも仮計算で使う。デフォルト値（L_x=4, L_y=6, m_p=50, γ=1.5）ではβ=1.5、α=18、q_u=18·50/16=56.25 kN/m²、P_u=56.25·24=1350 kN になる。床1枚で乗用車1000台分の重さを支える計算だね。
よくある質問
使用限界状態（たわみ・ひび割れ）の照査には弾性解析が、終局限界状態（崩壊耐力）の照査には降伏線解析が適しています。両者は別の限界状態を見ているので、現代の設計コード（Eurocode 2、ACI 318等）では両方を併用するのが基本です。降伏線解析だけだと過大な変形やひび割れを見落とすため、両輪で評価することが重要です。
降伏線理論は上界法（上限定理）に分類されます。仮定した崩壊機構が真の機構と一致すれば真の極限荷重が、ずれていれば真の値より大きな（危険側の）解が得られます。下界法の代表例はストリップ法（Hillerborg）で、設計実務では安全側の下界解を採用するのが原則ですが、降伏線理論は計算が単純で多くの場合に十分な精度を持つため広く使われています。複数パターンの最小値を採用することで安全側に補正します。
スラブは板厚方向に薄い2次元構造なので、梁のような断面モーメント [kN·m] ではなく、単位幅当たりの曲げ抵抗 [kN·m/m] で表すのが慣例です。これはスラブ断面（厚さ h、有効厚 d）と引張鉄筋の配筋量 A_s から、m_p ≈ A_s·f_y·(d - a/2) で計算します。シミュレーターでは m_p を直接入力していますが、実務ではまず鉄筋量を決め、そこから m_p を逆算するのが一般的です。
現代の耐震設計は、大地震時に部材を塑性変形させてエネルギーを吸収させる「保有水平耐力設計」「靱性設計」が基本です。床スラブも降伏線解析でその塑性耐力を評価することで、骨組全体の崩壊機構やエネルギー吸収能を合理的に算定できます。特にフラットスラブ（梁なしで直接柱に支持される構造）では、パンチングせん断耐力とともに降伏線解析が不可欠です。
実世界での応用
RC建築物の床スラブ設計：事務所ビル・集合住宅・学校など、ほぼ全ての鉄筋コンクリート建築の床スラブ設計に降伏線理論が活用されます。特にスパンが大きい四辺支持スラブや、フラットスラブ構造では、弾性解析だけでは合理的な配筋設計が難しく、降伏線解析による塑性耐力評価が標準的に行われます。
橋梁の床版設計：道路橋・鉄道橋の床版は、自動車や列車の集中輪荷重に対する塑性耐力を降伏線解析で評価します。輪荷重の通過位置による降伏線パターンの違い、合成桁の効果、プレストレスの影響など、実橋の設計では多くの修正項目があります。日本の道路橋示方書でも、終局限界状態の照査に降伏線理論が組み込まれています。
耐震診断・補強設計：既存RC建築物の耐震診断では、床スラブと壁の塑性耐力を評価し、地震時の崩壊機構と保有水平耐力を算定します。特に1981年（新耐震）以前の旧基準で設計された建物では、降伏線解析により実際の耐力が公称値より大きいことが判明し、不必要な補強を回避できるケースもあります。
原子力施設・防護工学：原子炉建屋や核燃料貯蔵施設、ミサイル防護シェルター等の特殊構造では、衝撃荷重や爆発荷重に対するスラブの塑性耐力評価が重要です。降伏線解析は瞬間的な大荷重に対する崩壊機構の予測に有効で、エネルギー吸収量と最大変形量の評価に応用されています。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「降伏線理論の解が真の極限荷重」と思い込むことです。降伏線理論は上界法であり、仮定する降伏線パターンが真の崩壊機構と一致して初めて真の解が得られます。実際には複数のパターン（X字、I字、斜め線等）を試算し、最小の q_u を採用するのが正しい使い方です。シミュレーターでは簡略パターン（中央発散直交線）のみを実装していますが、実務では複雑なパターン（柱周りの局所降伏線、開口部回りの偏心パターン等）を検討する必要があります。教科書のα値はあくまで「最も基本的なパターン」の値です。
次に多いのが、「降伏線理論を使えば配筋を減らせる」と短絡的に考えることです。確かに塑性耐力は弾性耐力より20〜40%大きく見えるため、終局耐力で設計すれば配筋が減らせそうに見えます。しかし配筋を減らすと使用限界状態（たわみ・ひび割れ）で問題が出やすく、結局は使用性で配筋量が決まることが多いのです。降伏線解析は「終局耐力を確認する」目的で使い、配筋量決定は弾性解析＋使用性照査が標準アプローチです。両方を並行して行うことが重要です。
最後に、このシミュレーターは「等方向降伏モーメント・四辺単純支持・等分布荷重」の理想化条件下での結果であることに注意してください。実際のスラブでは、X方向とY方向で配筋量が異なる異方性スラブ、固定支持や連続スラブ、開口や段差のある複雑な平面、自動車荷重や群集荷重等の不均等荷重など、修正係数を要する条件が多数あります。シミュレーターの値はあくまで「最も基本的な条件下での参照値」であり、実設計では各国コードの修正係数や安全率を必ず適用してください。