2×2〜4×4行列の演算・行列式・逆行列・固有値・固有ベクトル・連立方程式をブラウザ上で即時計算。剛性行列やモーダル解析への応用も解説。
固有値問題：$\det(A - \lambda I) = 0$ → 特性多項式の根が固有値
$$A\vec{v}= \lambda\vec{v}$$逆行列（余因子展開）：$A^{-1}= \dfrac{1}{\det(A)}\cdot \mathrm{adj}(A)$
LU分解：$A = LU$ → $Ly = b$（前進代入）、$Ux = y$（後退代入）
トレース = 固有値の和：$\mathrm{tr}(A) = \sum_i \lambda_i$
モーダル解析（振動解析）：自動車の車体や航空機の翼などの固有振動数と振動モード形状を求め、共振を避ける設計に利用されます。ツールで計算する固有値が振動数、固有ベクトルが変形の形に相当します。
主応力の計算：材料内の一点における応力状態は3x3の対称テンソル（行列）で表されます。この行列の固有値が主応力、固有ベクトルが主応力方向となり、材料の強度評価の基礎となります。
座屈解析：細長い柱が押しつぶされる前に横にたわむ現象（座屈）の荷重を予測します。幾何学的剛性行列の固有値問題として定式化され、最小の正の固有値が座屈荷重となります。
連立方程式の求解（FEMの静解析）：有限要素法では、構造物全体の平衡式は $K u = F$ という大規模な連立一次方程式になります。ツールの「連立方程式を解く」機能は、この核心部分を小規模で体験できます。
まず、固有値は必ずしも「振動数」そのものではない点に注意だよ。一般化固有値問題 $$(K - \omega^2 M)\vec{\phi}= 0$$ で求まるのは $\omega^2$（角振動数の二乗）だ。ツールで出てくるλはこの$\omega^2$に相当するから、実際の振動数fを求めるには $f = \sqrt{\lambda} / (2\pi)$ と計算する必要がある。例えばλ=100なら、f≒1.59 Hzになるね。
次に、行列成分の入力スケール。非対角成分が対角成分に比べて極端に大きい（または小さい）値を入れると、数値計算的に不安定になって、ツールが正確な固有値を出せないことがある。実務のFEMソフトでもメッシュや材料定数の設定が悪いと、似たような数値エラーが起こるんだ。試しに、対角成分が1なのに非対角成分が1000の行列を作って計算してみると、結果がおかしくなるかも。
あと、「固有ベクトルは大きさが1」と思い込んでいない？ 固有ベクトル$\vec{v}$は方向だけが意味を持つから、通常は長さを1に正規化して表示する。でも本質は「向き」だ。CAEでモード形状を見るときも、変形の「相対的な形」に注目する。ツールで出てくるベクトルの各成分の比率をチェックしてみよう。