設定
プリセット
矩形近似
青矩形（または台形）が各分割の近似。関数曲線からの差が誤差です。
誤差
縦軸（対数）：絶対誤差。n 増大に伴う収束速度を確認（台形則は n² に比例して誤差低減）。
手法比較
各手法の計算値を同じ n で比較。真値（赤線）からの乖離が精度の差です。
理論・主要公式
左/右リーマン：誤差 $O(h)$, $h=\Delta x$
中点則：誤差 $O(h^2)$
台形則：$\dfrac{h}{2}\bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\bigr]$、誤差 $O(h^2)$
シンプソン則：$\dfrac{h}{3}\bigl[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n\bigr]$、誤差 $O(h^4)$
🙋 積分って「細かく切って足す」だけ？そんな単純なの？
🙋
定積分を習ったとき、「細かい矩形の面積を足していく」と習いましたが、それだけで計算できるんですか？コンピュータでも同じことをやってるんですか？
🎓
基本的にはそう。ただし「どの点で高さを測るか」で精度が変わる。左端・右端は誤差が O(h) で収束が遅い。中点則は O(h²) でずっと良い。台形則も O(h²) で、見た目は矩形より台形にしただけだけど中点則と同等に良い。シンプソン則は O(h⁴) でさらに速く収束する。このシミュレーターの「誤差 vs n」タブを見ると、各手法の収束速度の差が対数グラフで一目でわかるよ。
🙋
「シンプソン則」って名前は聞いたことがありますが、台形則と何が違うんですか？
🎓
台形則は各区間を直線で繋ぐ（1次多項式補間）。シンプソン則は3点を通る放物線（2次多項式）で近似する。2次多項式の方がカーブに沿うので精度が良い——誤差が n⁴ に反比例して落ちるから、n を2倍にすると誤差は16分の1になる。「∫₀^π sin(x)dx = 2」プリセットでシンプソン則を選んで n=10 と n=20 の誤差を比べてみると、確かに约16倍の差が出るはずだ。
🙋
「sin(x²)」の関数を選ぶとグラフがガタガタしますね。これは何か特別な意味があるんですか？
🎓
sin(x²) は「フレネル積分」に関連する関数で、光の回折計算で出てくる。解析解（閉じた形）が存在しないため数値積分で計算するしかない。振動が激しくて収束が遅い——これが「数値積分が難しい関数」の典型例で、適応的数値積分（適応的シンプソン法）や変数変換が実務では必要になる。CAE でも材料定数の温度依存性や非線形特性の積分にこういう問題が出てくるよ。
🙋
有限要素法（FEM）でも数値積分を使うって聞きましたが、どんな計算に使うんですか？
🎓
要素剛性行列の成分 K_ij = ∫_Ω B_i^T D B_j dΩ を計算するのに数値積分が必要なんだ。解析的に積分できないことが多いから、ガウス求積法（Gauss-Legendre integration）という方法を使って要素内の有限個の点（積分点）での値を評価して重み付き和を取る。一般に四辺形要素では 2×2=4 点積分、六面体要素では 2×2×2=8 点積分が標準的。精度の保証という意味でシンプソン則の高次拡張がCAEの核心にあるわけだよ。
よくある質問
定積分はリーマン和の極限として定義されます：∫ₐᵇ f(x)dx = lim_{n→∞} Σ f(x_i*) Δx。ここで x_i* は各区間内の任意の点です。f が [a,b] で連続ならば、どの点を選んでも極限は同じ値に収束します。これがリーマン積分可能の条件です。
台形則の打ち切り誤差：|E_T| ≤ (b-a)³/(12n²) × max|f''|。シンプソン則：|E_S| ≤ (b-a)⁵/(180n⁴) × max|f⁽⁴⁾|。シンプソン則は n の4乗に反比例するため、分割数を2倍にすると誤差は1/16になります（台形則は1/4）。ただし f が4階微分可能な滑らかな関数であることが前提です。
等間隔点ではなく、精度が最大になる最適な評価点と重みを使う求積法です。n 点のガウス求積は 2n-1 次多項式まで完全に積分できます。有限要素法での要素積分や、大学の数値解析で重要です。[-1,1] 区間の Gauss-Legendre 求積が基本で、変数変換で任意区間に拡張できます。
①急激に振動する関数（sin(x²)、Bessel関数）：高周波成分のため細かい分割が必要。②端点に特異点を持つ関数（1/√x など）：台形則・シンプソン則が精度低下。③広域積分（-∞ から ∞）：区間変換が必要。これらには適応的求積法（QUADPACK等）や変数変換、特殊な加速法（Richardson外挿法、Romberg法）が使われます。
有限要素法では要素剛性行列 K_e = ∫_Ω B^T D B dΩ を数値積分で評価します。一般に Gauss-Legendre 求積が採用され、1D: 2〜3点、2D四辺形要素: 2×2=4点、3D六面体要素: 2×2×2=8点が標準的です。積分点数が少なすぎると「砂時計モード」（零エネルギーモード）が生じ、多すぎると「せん断ロッキング」（過剛性）が起きるため、適切な積分則の選択が重要です。
リーマン和・数値積分シミュレーターとは
リーマン和・数値積分シミュレーターの物理モデルでは、関数 \( f(x) \) の区間 \([a, b]\) における定積分 \( \int_a^b f(x) \, dx \) を、有限個の小区間における近似値の総和として計算します。この近似は、曲線下面積を幾何学的な図形で置き換えることで行われ、各手法はその図形の取り方に依存します。例えば、左端リーマン和は各小区間の左端の関数値 \( f(x_i) \) を用いて長方形の面積 \( f(x_i) \Delta x \) を積算し、台形則は台形の面積 \( \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2} \Delta x \) で近似します。シンプソン則では、二次曲線による補間を用いて \( \frac{\Delta x}{3} [f(x_i) + 4f(x_{i+1}) + f(x_{i+2})] \) と計算し、高次の精度を実現します。分割数 \( n \) を増やすと、小区間幅 \( \Delta x = (b-a)/n \) が減少し、各近似値は真の積分値に収束します。この収束の速さは手法の次数に依存し、中点則や台形則は \( O(\Delta x^2) \)、シンプソン則は \( O(\Delta x^4) \) の誤差項を持ちます。本シミュレーターでは、これらの誤差挙動を視覚的に比較し、数値積分の本質を直感的に理解できます。
実世界での応用
産業での実際の使用例（自動車・航空宇宙）
自動車業界では、エンジンの燃焼室内の圧力-体積線図から図示平均有効圧を算出する際、本シミュレーターで学ぶ台形則やシンプソン則が用いられます。トヨタやボッシュのエンジン開発では、実測データの数値積分により熱効率を評価。航空機メーカー（ボーイング社など）では、翼断面の揚力係数を求めるための圧力分布積分に中点則が活用され、風洞試験データの解析精度を向上させています。
研究・教育での活用
大学の物理学実験（例：東京工業大学の基礎物理実験）では、加速度センサーの出力から速度・変位を求める際に、リーマン和の概念を理解するために本ツールが教材として利用されています。また、気象学研究では、ラジオゾンデ観測データの温度勾配から大気安定度を計算する際、刻み幅の違いによる誤差評価に応用されています。
CAE解析との連携と実務での位置付け
CAEソフト（ANSYSやAbaqus）では、要素内の応力分布を数値積分して節点力を算出しますが、本シミュレーターで体得した「分割数と誤差の関係」は、メッシュサイズ決定の根拠となります。実務では、設計検証の前段階で解析モデルの妥当性を確認するための簡易計算ツールとして位置付けられ、シンプソン則の高精度特性を活かした熱流体解析の初期条件設定に役立っています。
よくある誤解と注意点
「分割数nを増やせば増やすほど、すべての手法で一様に精度が向上する」と思いがちですが、実際は手法ごとに誤差の収束速度が大きく異なります。例えば、中点則や台形則はnを2倍にすると誤差が約1/4になりますが、シンプソン則では約1/16に減少するため、高精度が求められる場面では手法選びが重要です。また、「左端則と右端則は単調な関数なら正確」と誤解されがちですが、実際にはこれらの手法は常に過小評価または過大評価の方向に偏るため、振動する関数や急峻な変化がある関数では誤差が大きく、実務での使用には注意が必要です。さらに、「シンプソン則はどんな関数でも正確」と思われがちですが、実際には被積分関数が滑らかでない場合（例えば不連続点や急激な変化がある場合）には誤差が急増するため、適用前に関数の性質を確認することが不可欠です。