直观对比左端·右端·中点·梯形·辛普森法则5种数值积分法。改变分割数 n，观看误差如何收敛——通过3个选项卡可视化理解。
蓝色矩形（或梯形）代表各分割的近似。与函数曲线的差异就是误差。
纵轴（对数）：绝对误差。观察 n 增大时的收敛速度（梯形法则误差与 n² 成反比）。
各手法在同一 n 值下的计算结果对比。与真值（红线）的偏离程度反映精度差异。
左/右黎曼：误差 $O(h)$，$h=\Delta x$
中点法则：误差 $O(h^2)$
梯形法则：$\dfrac{h}{2}\bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\bigr]$，误差 $O(h^2)$
辛普森法则：$\dfrac{h}{3}\bigl[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+f_n\bigr]$，误差 $O(h^4)$
黎曼和·数值积分模拟器的物理模型中，函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分 \( \int_a^b f(x) \, dx \) 被近似为有限个小区间近似值的总和来计算。该近似是通过用几何图形替代曲线下面积来实现的，各种方法依赖于所采用图形的不同方式。例如，左端黎曼和使用每个小区间左端的函数值 \( f(x_i) \) 来计算矩形面积 \( f(x_i) \Delta x \)，梯形法则则用梯形面积 \( \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2} \Delta x \) 来近似。辛普森法则使用二次曲线补间，计算为 \( \frac{\Delta x}{3} [f(x_i) + 4f(x_{i+1}) + f(x_{i+2})] \)，实现高阶精度。当分割数 \( n \) 增加时，小区间宽度 \( \Delta x = (b-a)/n \) 减小，各近似值收敛到真正的积分值。收敛速度取决于方法的阶数，中点法则和梯形法则具有 \( O(\Delta x^2) \) 的误差项，而辛普森法则为 \( O(\Delta x^4) \)。本模拟器让您能够可视化对比这些误差行为，直观理解数值积分的本质。
工业实际应用例（汽车·航空航天）
汽车业中，发动机燃烧室的压力-体积曲线图示平均有效压积分计算时，本模拟器教授的梯形法则和辛普森法则都会被用到。丰田和博世的发动机开发中，通过实测数据的数值积分来评估热效率。飞机制造商（波音公司等）利用中点法则求出翼断面升力系数，对风洞试验数据进行积分以提高解析精度。
研究与教育应用
大学物理实验中（例如东京工业大学的基础物理实验），从加速度传感器输出计算速度和位移时，为了理解黎曼和概念，本工具被用作教材。气象学研究中，利用探空仪观测数据的温度梯度计算大气稳定度时，本工具用来评估步长差异造成的误差。
CAE分析的关联与实务定位
在CAE软件（ANSYS、Abaqus）中，通过数值积分计算单元内应力分布来得出节点力，但本模拟器所掌握的"分割数与误差的关系"会成为网格大小决定的依据。实务中，解析模型有效性确认的初期阶段作为简易计算工具，利用辛普森法则的高精度特性来优化热流体分析的初始条件设定。
人们往往误认为"分割数 n 增加时，所有方法精度都会均匀提高"，但实际上各方法的误差收敛速度差异很大。例如，将中点法则或梯形法则的分割数加倍后，误差约减小到1/4；而辛普森法则则减小到1/16，这在高精度要求场景中方法选择至关重要。另外，"左端法和右端法在单调函数上精确"这个想法也很常见，但这两种方法实际上总是单向偏离，对振荡函数或有陡峭变化的函数误差较大，实务中需谨慎应用。此外，"辛普森法则对所有函数都精确"这种认识也有问题，函数不光滑时（例如有不连续点或急剧变化），误差会急剧增大，应用前必须确认函数性质。
对 f(x)=sin(x) 从 x=0 积分到 x=π：真值为 2.0。n=8 分割时，左端法≈1.745（误差12.8%）、右端法≈1.745、中点法≈1.987（误差0.65%）、梯形法≈1.896（误差5.2%）、辛普森法≈2.0004（误差0.02%），辛普森法的高精度特性明显。增加到 n=32 分割，中点法误差变为 0.04%、梯形法 0.33%，精度大幅改善。