拘束された部材に生じる熱応力の計算式は何ですか？

完全拘束された均質部材に温度変化 ΔT が生じるとき、熱応力は σ = −EαΔT で計算されます（E：ヤング率、α：線熱膨張係数）。負号は温度上昇（ΔT > 0）で圧縮応力が生じることを示します。例えば鋼（E=200 GPa、α=12×10⁻⁶/°C）で ΔT=100°C の場合、σ = −200×10⁹ × 12×10⁻⁶ × 100 = −240 MPa（圧縮）となります。

バイメタル板の反り量はどのような式で計算しますか？

Timoshenko（1925年）の理論によると、熱膨張係数が異なる2層板（厚さ t₁, t₂、弾性率 E₁, E₂）が温度変化 ΔT を受けるとき、曲率 κ は κ = 6(α₂−α₁)ΔT(1+m)² / [h{3(1+m)² + (1+mn)(m² + 1/(mn)))] で求められます（m = t₁/t₂、n = E₁/E₂、h = t₁+t₂）。反り量（梁長さ L）は δ = κL²/8 です。

電子部品の半田接合部に生じる熱疲労を防ぐには？

プリント基板と部品の熱膨張係数の差（CTE ミスマッチ）が界面せん断応力の原因です。FR4基板（α≈17 ppm/°C）とセラミックコンデンサ（α≈10 ppm/°C）の差は7 ppm/°C で、温度サイクルのたびに半田に繰り返しひずみが生じます。対策として、①柔軟性の高い半田合金の選択、②アンダーフィル樹脂による補強、③部品サイズの最小化（界面応力はチップ長さに比例）、④基板材料の CTE 調整が有効です。

熱応力解析で FEA と解析解はどのように使い分けますか？

解析解（Timoshenko 式など）は均質・等温・線形弾性の仮定の下での近似ですが、設計初期の迅速なパラメータスタディや FEA 結果の妥当性確認に非常に有用です。一方、複雑な形状・温度分布・非線形材料挙動・接触問題などが絡む場合は FEA が不可欠です。本ツールの解析解は、層数が2でアスペクト比が大きい（幅>>厚さ）梁状構造に適用範囲が限定されます。

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Interactive Calculator

熱応力・バイメタル反り解析シミュレーター

拘束熱膨張・バイメタル曲げ・2層板界面応力をTimoshenko理論に基づいてリアルタイム計算。電子部品のはんだ応力や温度計バイメタルの設計に活用できます。

$\sigma = \dfrac{E\alpha\Delta T}{1-\nu}$, $\quad \delta = \dfrac{\kappa L^2}{2}$, $\quad \kappa = \dfrac{6(\alpha_1-\alpha_2)\Delta T(t_1+t_2)}{t_1^2 \cdot f(m,n)}$

解析タイプ・パラメータ

解析タイプ

E — 弾性率200 GPa

α — 熱膨張係数12.0 ppm/K

ν — ポアソン比0.30

ΔT — 温度変化100 °C

L — 部材長さ100 mm

—

先端反り量 δ

—

曲率半径 R

—

MPa

界面応力 σ_int

—

μm

自由膨張 ΔL

変形形状（ビーム断面模式図）

板厚方向応力分布 σ(z)

先端反り δ vs ΔT

理論背景（Timoshenko, 1925）

バイメタルストリップの反り公式はTimoshenko（1925）の古典解析によります。電子基板の熱変形や温度計バイメタルの設計に広く使われています。

拘束熱応力：$\sigma = \dfrac{E\alpha\Delta T}{1-\nu}$（2軸拘束）、$\sigma = E\alpha\Delta T$（1軸）

曲率：$\kappa = \dfrac{6(\alpha_1-\alpha_2)\Delta T(t_1+t_2)}{t_1^2\!\left[4 + 6\dfrac{t_2}{t_1} + 4\!\left(\dfrac{t_2}{t_1}\right)^{\!2} + \dfrac{E_2 t_2^3}{E_1 t_1^3}\right]}$

先端反り：$\delta = \kappa L^2/2$, $\quad$ 曲率半径：$R = 1/\kappa$

注意：この式は小変形を仮定。δ が L の数分の一を超える場合は有限変形解析が必要です。

計算例

計算例：バイメタルの熱変形

鋼（E₁=206 GPa、α₁=12×10⁻⁶/K）とアルミ（E₂=70 GPa、α₂=23×10⁻⁶/K）を接合した板バネが ΔT=100K 変化した場合：

自由膨張差：(α₂−α₁)×ΔT = (23−12)×10⁻⁶×100 = 1.1×10⁻³
接合拘束で内部熱応力が発生：曲げと軸力の連成問題
アルミ側圧縮応力 ≈ 77 MPa（単純近似）

実際の計算にはFEMが必要ですが、このツールで感度把握と設計初期検討が可能です。

熱応力・バイメタル反り解析シミュレーター

理論背景（Timoshenko, 1925）

計算例

計算例：バイメタルの熱変形

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