層の厚さ・弾性率は等しい（対称バイメタル）と仮定します。図の曲がりは見やすく誇張表示しています。
左端を固定。橙＝高膨張側、青＝低膨張側／破線＝加熱前の直線位置、黄点＝先端
横軸＝温度変化 ΔT／縦軸＝先端変位 δ（黄点＝現在の状態、直線＝完全な比例関係）
バイメタルは温度が一様なら一定曲率の円弧に変形します。層の厚さと弾性率が等しい対称バイメタルでは、曲率は次の簡潔な式になります。
曲率 κ。Δα は膨張係数差、ΔT は温度変化、h は総厚さ：
$$\kappa = \frac{3}{2}\,\frac{\Delta\alpha\,\Delta T}{h}$$
片持ち梁としての先端変位 δ。L は帯の長さ：
$$\delta = \frac{\kappa L^2}{2} = \frac{3}{4}\,\frac{\Delta\alpha\,\Delta T\,L^2}{h}$$
先端の傾き角 θ と曲率半径 ρ：
$$\theta = \kappa L, \qquad \rho = \frac{1}{\kappa}$$
曲率は温度変化と膨張係数差に比例し、厚さに反比例します。先端変位は長さの2乗で効くため、長い帯ほど大きく動きます。
バイメタルサーモスタット シミュレーターとは
🙋
電気ポットや古いアイロンの温度調節って、電池も基板もなさそうなのに、どうやって温度を測ってスイッチを切ってるんですか？
🎓
あれの主役がバイメタルだよ。ざっくり言うと、熱膨張率の違う2枚の金属を貼り合わせた帯なんだ。温度が上がると、膨張しやすい側の方が伸びたがるけど、相手に貼られているから自由に伸びられない。その結果、帯ぜんぶが膨張しにくい側へ反るように曲がる。上のシミュレーターで「温度変化 ΔT」を動かすと、帯が曲がって先端が動くのが見えるよ。
🙋
なるほど。じゃあその曲がり方って、温度に対してどんなふうに変わるんですか？
🎓
きれいに比例するんだ。曲率は $\kappa = \tfrac{3}{2}\,\Delta\alpha\,\Delta T / h$ で、温度変化 ΔT に正比例する。だから右下のグラフが完全な直線になっている。この「温度に比例する」という性質こそが、バイメタルが温度計や温度スイッチに使える理由なんだよ。電源も電子回路もいらない。
🙋
先端変位のカードを見ると、長さを変えたとき変位がすごく大きく変わりますね。
🎓
いいところに気づいたね。先端変位は $\delta = \kappa L^2/2$ で、長さの2乗で効く。だから帯を2倍長くすると変位は約4倍だ。でも温度計の中に何十cmもの帯は入れられないよね。だから実際の製品では、バイメタルを渦巻き状（コイル状）に巻いて、コンパクトなまま実効長さを稼いでいる。針が回るタイプの温度計の中身はまさにこれだ。
🙋
厚さのスライダーを動かすと逆に、薄いほどよく曲がるんですね。じゃあ薄ければ薄いほどいいんですか？
🎓
そこがトレードオフなんだ。曲率は厚さに反比例するから、薄いほどよく曲がる——でも薄いと「曲がろうとする力」自体は弱くなる。サーモスタットは曲がって接点を押す必要があるから、変位だけでなく力も要る。温度計のように動きを見るだけなら薄く、ブレーカーのように接点をパチンと確実に切り替えたいなら厚めにする。設計はいつも変位と力の兼ね合いだよ。
よくある質問
膨張係数差 Δα はどのくらいの値になりますか？
実用バイメタルは、膨張のほとんどない側にインバー（鉄ニッケル合金、約1.2×10⁻⁶/°C）を、膨張する側に黄銅やマンガン銅合金（約18〜27×10⁻⁶/°C）を使います。組み合わせによって実効的な Δα はおよそ10〜26×10⁻⁶/°C の範囲になり、JIS では「比曲率」という指標で規格化されています。シミュレーターの初期値14×10⁻⁶/°C は代表的な汎用バイメタルに相当します。
層の厚さや弾性率が違うバイメタルはどう計算しますか？
一般にはティモシェンコ（1925年）の式を使います。層厚比 m と弾性率比 n を含むやや複雑な式で、曲率が決まります。層厚と弾性率が等しい対称バイメタル（m=1, n=1）に代入すると、本シミュレーターで使っている κ = (3/2)Δα ΔT / h に簡約されます。実用バイメタルは曲率を最大化するため、ほぼ等しい層厚で作られることが多く、この簡約式が良い近似になります。
スナップ動作（パチンと切り替わる）はどうやって実現しますか？
バイメタルを単純な帯のまま使うと、温度とともに接点がじわじわ動き、接触が不安定になります。そこで実際のサーモスタットでは、バイメタルを浅いドーム状（皿ばね状）に成形します。ある温度に達すると蓄えられた弾性エネルギーが一気に解放され、ドームが反転（座屈）してパチンと切り替わります。これにより接点のチャタリングを防ぎ、明確なオン・オフ温度を得られます。
温度が一様でないとどうなりますか？
本シミュレーターは帯全体が一様な温度になったと仮定しています。実際には熱が伝わるのに時間がかかるため、急な温度変化に対しては応答が遅れます。また帯に沿って温度勾配があると曲率が場所ごとに変わり、単純な円弧にはなりません。応答速度が重要な用途では、薄く熱容量の小さいバイメタルを使い、測定対象とよく熱接触させる設計にします。
実世界での応用
家電の温度スイッチ： 電気ポット、アイロン、トースター、ヘアドライヤー、電気毛布——加熱を伴う家電のほとんどに、バイメタル式のサーモスタットが入っています。設定温度に達するとバイメタルが曲がって接点を開き、ヒーターを切る。冷えると元に戻って再び通電する。この単純で電源不要な仕組みが、安価で堅牢な温度制御を実現しています。
回路保護用サーマルブレーカー： 過大な電流が流れるとバイメタルが自己発熱（または隣接ヒーターで加熱）して曲がり、回路を遮断します。モーターの過負荷保護、配線用遮断器、リチウム電池パックの保護回路などに使われます。電流が定格内なら動かず、危険な過電流でのみ確実に切れる、フェイルセーフな保護素子です。
指針式温度計とサーモスタット： オーブン温度計、冷蔵庫の温度計、空調のサーモスタットでは、バイメタルをコイル状に巻いて実効長さを稼ぎ、温度変化を指針の回転に変換します。電子式が主流になった今も、停電時にも動く・校正が安定しているといった理由で、料理用や HVAC の一部で現役です。
自動車・産業機器： 古典的なエンジンの自動チョーク、ターンシグナルの点滅機構（フラッシャー）、暖機運転の制御などにバイメタルが使われてきました。産業用では、過熱保護、温度警報、簡易な温度補償機構として、今も多くの機械の中で静かに働いています。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「太い（厚い）バイメタルほど力が強いから、よく曲がる」と考えてしまう ことです。曲率は厚さに反比例します——厚いほど曲がりにくくなります。厚いバイメタルが持つのは「曲がろうとする力（モーメント）」の大きさであって、「曲がる量」ではありません。シミュレーターで厚さスライダーを動かすと、厚くするほど先端変位が小さくなるのが確認できます。変位が欲しいなら薄く、力が欲しいなら厚く——この区別が設計の出発点です。
次に多いのが、先端変位が長さに「比例」すると思い込む ことです。実際には長さの2乗に比例します。同じ温度変化でも、帯を1.5倍長くすれば変位は約2.25倍、2倍にすれば約4倍です。逆に、必要な変位を小さなスペースで得たいときに「帯を少し長くすれば足りるだろう」と見積もると大きく外します。シミュレーターで長さスライダーを等間隔に動かしながら先端変位カードを見ると、後半ほど急に増えるのが体感できます。
最後に、この計算が「温度が一様で、ゆっくり変化する」理想状態の値だと意識せずに使ってしまう 点に注意が必要です。実際のバイメタルは熱容量を持つため、周囲温度が急変しても帯の温度が追いつくまで時間がかかり、応答が遅れます。また帯に沿って温度差があれば、曲率も場所ごとに変わって単純な円弧から外れます。シミュレーターの値は「設定温度に達したときの最終的な変形」を与えるものであり、応答の速さや過渡的な挙動は別途、熱伝達の観点から検討する必要があります。