无线充电的电磁-热耦合仿真
理论与物理
无线充电会发热对吧？通过仿真能了解什么呢？
问得好。通过磁耦合进行电力传输时，线圈的铜损和铁氧体磁芯的铁损必然会产生发热。即使是Qi标准15W，若传输效率为80%，那么 3W的损耗 会全部转化为热量。当这些热量被困在手机薄薄的机身内时，电池温度会超过45°C，从而缩短其寿命。
仅仅3W就会出问题吗？电动汽车充电的话，情况似乎更严峻…
没错。对于电动汽车用的11kW无线充电（SAE J2954 WPT3等级），即使效率为90%，也有 1.1kW的损耗。必须通过冷却设计将输电垫表面温度维持在60°C以下，如果不通过电磁-热耦合FEM预测温度分布，就需要反复进行多次试制。
无线电力传输（WPT）基础
无线充电到底是什么原理呢？是电磁感应吧？
简单来说，其机制是给输电线圈（Tx）通入高频电流产生交变磁场，然后由受电线圈（Rx）拾取该磁通量从而获得感应电动势。可以想象成将变压器的初级绕组和次级绕组在空间上分离开来。
WPT主要有三种方式：
- 电磁感应方式 — Qi标准的手机充电。线圈间距为数毫米至1厘米。频率为100至200kHz。
- 磁场共振方式 — 电动汽车充电及AirFuel。线圈间距5至30厘米。通过谐振电路提高效率。85kHz（SAE J2954标准）。
- 微波方式 — 远距离供电。GHz频段。效率低但传输距离远。面向IoT传感器。
在热设计方面，需求最大的是电磁感应方式和磁场共振方式这两种。
耦合系数与传输效率
经常听到“耦合系数”，它具体是如何影响效率的呢？
耦合系数 $k$ 表示输电与受电线圈之间磁通耦合的程度。使用互感 $M$ 和各线圈的自感 $L_1, L_2$ 表示为：
$k=1$ 是所有磁通都穿过对方线圈的理想状态（变压器铁芯内）。实际的无线充电中，$k$ 大约在 $0.1\sim0.6$ 左右。当线圈间距增大或位置偏移时，$k$ 会下降。
传输效率 $\eta$，若使用各线圈的品质因数 $Q_1 = \omega L_1 / R_1$, $Q_2 = \omega L_2 / R_2$ 来近似，则为：
原来如此，$k$ 变小效率就会下降，而相应的损耗全部变成了热量对吧。
正是如此。总损耗相对于输入功率为：
例如，电动汽车用11kW，若 $\eta=0.90$，则 $P_{\text{loss}} = 1.1\,\text{kW}$。如果 $k$ 从0.3减半到0.15，$\eta$ 会从0.9下降到约0.7，而 $P_{\text{loss}}$ 则会跃升至 $3.3\,\text{kW}$。因此，位置偏移的允许范围与热设计必须一并考虑。
损耗明细与发热机制
您提到3W或1.1kW的损耗，具体是哪里在发热呢？
损耗大致可以分解为三部分。这就是发热源的明细：
1. 铜损（线圈导体的焦耳热）
线圈导线中流过的电流产生的 $I^2 R$ 损耗。但在WPT频率（85至200kHz）下，由于趋肤效应和邻近效应，其有效电阻会达到直流电阻的数倍至数十倍：
这里 $F_r$ 是交流电阻系数，取决于趋肤深度 $\delta = \sqrt{2\rho / (\omega \mu)}$。对于100kHz的铜，$\delta \approx 0.21\,\text{mm}$，因此，如果是单股圆线，电流无法流过中心部分，效率会变差。使用利兹线（由多股细线绞合而成的结构）正是出于这个原因。
2. 铁损（铁氧体磁芯的磁损耗）
铁氧体磁芯的磁滞损耗和涡流损耗之和。用Steinmetz方程近似：
$C_m$, $\alpha$, $\beta$ 是从铁氧体材料数据表中获得的常数（MnZn系铁氧体典型值 $\alpha \approx 1.5$, $\beta \approx 2.5$）。$\hat{B}$ 是磁芯内的最大磁通密度，$V_{\text{core}}$ 是磁芯体积。
一个容易被忽视的点是，铁氧体的磁导率和饱和磁通密度具有非常强的温度依赖性。温度升高接近居里温度时，磁导率会急剧下降，导致磁通泄漏到磁芯外部，从而在周围金属中感应出涡流——这是一个非线性的反馈循环。
3. 屏蔽层与外壳的涡流损耗
线圈背面的铝制屏蔽层或手机外壳的金属部件会因漏磁通感应出涡流：
原来如此，有三个发热源，而且铁氧体特性会随温度变化，所以变得非线性了。这就是需要仿真的原因啊。
我把实际工作中损耗比例的大致情况总结成表格：
| 损耗源 | Qi 15W（手机） | WPT3 11kW（电动汽车） | 主要影响因素 |
|---|---|---|---|
| 铜损（Tx+Rx） | 40〜50% | 25〜35% | 利兹线结构、频率、电流 |
| 铁氧体铁损 | 20〜30% | 30〜40% | 磁芯材质、磁通密度、温度 |
| 屏蔽层涡流损 | 15〜25% | 15〜20% | 屏蔽层材质与厚度、距离 |
| 电路损耗（逆变器等） | 10〜15% | 10〜20% | MOSFET/GaN器件、开关频率 |
控制方程 — 电磁场与热的耦合
如何将电磁场和温度场耦合起来呢？请告诉我控制方程。
电磁场由麦克斯韦方程组控制，温度场由傅里叶热传导方程控制。对于WPT，通常将准静态磁场的频域分析（以磁矢量势 $\mathbf{A}$ 为未知量）与稳态或瞬态的热传导方程进行耦合。
电磁场的控制方程（A-V 公式化，频域）：
其中 $\mu$ 是磁导率（铁氧体具有温度依赖性），$\sigma$ 是电导率（铜的 $\sigma$ 也随温度变化：$\sigma(T) = \sigma_0 / [1+\alpha_R(T-T_0)]$），$\mathbf{J}_s$ 是源电流密度。
热传导的控制方程：
$Q_{\text{em}}(T)$ 是从电磁分析中得到的体积发热率，它以空间分布的形式给出铜损、铁损和涡流损的总和。这个 $Q_{\text{em}}$ 通过温度依赖的电阻率或磁导率成为温度 $T$ 的函数，因此本质上需要双向耦合（强耦合）。
电磁场改变温度，温度改变电气特性，这又反过来改变电磁场…如此循环往复对吧。
正是如此。不过在实际工作中，常利用“与温度变化相比，电磁场的响应足够快”这一点，采用弱耦合（单向迭代）来求解。后面会详细说明。
FOD（金属异物）的涡流发热
听说把硬币之类的东西放在无线充电器上会很危险，问题有那么严重吗？
这被称为FOD（异物检测/异物）问题，是安全方面非常重要的课题。当硬币、回形针、铝箔等金属片夹在Tx和Rx之间时，交变磁场会感应出很大的涡流。
仅仅一枚1日元硬币（铝制，直径20mm，厚度1.5mm），如果放置在磁通集中区域，涡流损耗会产生 数瓦的局部发热，金属片本身温度可能达到100°C以上。即使是15W等级，对于表面只有一层薄布的充电垫来说，也存在火灾风险。
诶，会那么热吗！CAE也能仿真FOD的发热吗？
当然可以。要分析FOD的涡流损耗，需要将异物的形状、材质、位置作为参数，通过电磁FEM计算损耗分布，然后将结果输入热FEM。当异物的尺寸与趋肤深度 $\delta$ 相当时，损耗最大，因此网格需要 $\delta/3$ 以下的单元尺寸。Qi标准中，其FOD检测算法的验证也会用到这个分析结果。
电磁-热耦合的物理意义
- 焦耳发热反馈：导体的电阻率随温度升高而增加（铜的温度系数 $\alpha_R \approx 0.0039\,\text{K}^{-1}$）。电阻增加→损耗增加→温度进一步升高，存在这样一个正反馈。在通常的WPT条件下不会发散，会收敛到稳定点，但在极端过载情况下存在热失控的风险。
- 铁氧体的温度依赖性：MnZn铁氧体的居里温度为200至300°C。在100°C附近，磁导率就已经大幅下降，会引起耦合系数 $k$ 变化→传输效率下降→损耗增大的连锁反应。Steinmetz参数 $C_m$, $\alpha$, $\beta$ 本身也具有温度依赖性，因此最好使用修正Steinmetz模型（iGSE法）。
- 趋肤效应的温度依赖性：趋肤深度 $\delta = \sqrt{2\rho/(\omega\mu)}$ 与电阻率 $\rho$ 的平方根成正比。温度升高导致 $\rho$ 增加时，$\delta$ 也会增加，电流会渗透得更深一些。交流电阻系数 $F_r$ 会发生变化，因此铜损的温度依赖性无法用简单的 $I^2R$ 线性缩放来完全描述。
主要单位制与量纲
| 物理量 | 符号 | SI单位 | 典型值（Qi 15W） |
|---|---|---|---|
| 耦合系数 | $k$ | 无量纲 | 0.4〜0.6 |
| 品质因数 | $Q$ | 无量纲 | 50〜200 |
| 趋肤深度 | $\delta$ | m | 0.21 mm (Cu, 100kHz) |
| 体积发热率 | $Q_{\text{em}}$ | W/m³ | $10^5$〜$10^7$ |
| 磁芯损耗密度 | $P_v$ | kW/m³ | 100〜500 (MnZn铁氧体, 100kHz, 100mT) |
| 热导率 | $\lambda$ | W/(m·K) | 铜:400, 铁氧体:3.5〜5, 树脂:0.2〜0.5 |
手机充电时发热的原因不是“电池”而是“线圈”
当用户感觉“无线充电时手机很热”时，原因大多并非电池本身发热，而是受电线圈和铁氧体片的损耗通过背板玻璃传递到了手上。在iPhone的MagSafe（7.5至15W）中，受电线圈正下方层叠有石墨片和屏蔽板，CAE分析已确认此部分的温度可能比电池高出10至15°C。Apple、Samsung等手机制造商利用这个温差实现了“基于电池保护的热节流”——通过监控线圈附近的温度传感器，在超过阈值时自动降低充电功率的机制。
数值解法与实现
耦合分析策略 — 弱耦合 vs 强耦合
电磁场和温度场的耦合，怎样求解才高效呢？我听说有同时求解全部的方法，也有交替求解的方法。
WPT的电磁-热耦合，关键在于两个物理场的时间尺度差异很大：
- 电磁场：频率85至200kHz → 周期5至12μs
- 温度场：热扩散的特征时间 $\tau = L^2/\alpha_{\text{th}}$ → 手机线圈为数秒至数十秒
也就是说，电磁场达到稳态的速度比温度场快好几个数量级。因此在实际工作中，弱耦合（顺序耦合） 是标准做法：
- 基于当前温度 $T^n$ 下的材料特性，在频域求解电磁场
- 将得到的损耗分布 $Q_{\text{em}}(T^n)$ 作为热源求解热传导方程，得到 $T^{n+1}$
- 重复步骤1-2，直到温度变化满足收敛判定标准（例如：$\|T^{n+1} - T^n\| / \|T^n\| < 10^{-3}$）
有需要强耦合的情况吗？
当铁氧体磁芯接近居里温度（磁导率急剧变化的温度区域）时，或者在大功率WPT（50kW以上）导致温升达到数百°C的情况下，由于特性随温度的变化会严重影响解的稳定性，因此需要强耦合（整体式）或带子迭代的弱耦合。
不过，对于Qi标准的消费类产品或SAE J2954的电动汽车充电，弱耦合经过3至5次迭代几乎就能收敛，因此在实际工作中弱耦合就足够了。
电磁场FEM的公式化
电磁场的FEM，和结构分析的FEM有什么不同呢？
结构分析中，节点位移是标量或矢量的自由度，而在电磁场FEM中，未知量是磁矢量势 $\mathbf{A}$。对于3D问题，使用边单元（Edge Element, Nedelec单元）是标准做法，与节点单元不同，它能够自然地满足规范条件。
弱形式为：
这里 $\mathbf{w}$ 是边单元的基函数。离散化后得到复数的联立方程组 $[K_{\text{em}}]\{\mathbf{A}
なった
詳しく
報告