弱磁控制的电磁场仿真
理论与物理
弱磁控制是什么
弱磁，是故意削弱磁铁的力吗？ 不会很浪费吗？
看起来好像很浪费，但要想在基速以上运行，会受到逆变器电压限制的制约。通过向d轴注入负向电流来抵消磁铁的磁通，从而抑制反电动势，实现高速旋转。这是电动汽车高速公路行驶必不可少的技术。
诶，电动汽车不是用齿轮变速的吗？
很多电动汽车没有变速器，也就是所谓的单速齿轮。对于燃油车，高速行驶时会挂入5档或6档，而电动汽车的电机则通过弱磁控制，将转速提升到额定转速的3~4倍来应对。也就是说，弱磁控制可以说是让电机实现“虚拟换挡”的技术。
原来如此，就是通过改变电流的使用方式来代替齿轮变速对吧！但是削弱磁铁的力，扭矩不会下降吗？
没错。在弱磁区域，扭矩与转速成反比下降。也就是说，会进入一个输出功率（=扭矩×转速）大致保持恒定的“恒功率区域”。对于在高速公路上以100km/h巡航来说，所需扭矩较小，这样就足够了。
弱磁控制（Field Weakening Control）是一种电流控制技术，用于在永磁同步电机（IPMSM/SPMSM）中实现超过基速的高速运行。通过向d轴注入负向电流（$i_d < 0$）来电气抵消永磁体磁通 $\psi_m$，降低反电动势，从而在逆变器输出电压约束范围内实现高速旋转。
dq轴电压方程与约束条件
具体来说，控制是受什么公式约束的呢？
我们从IPMSM的dq轴电压方程出发。假设稳态（$di/dt = 0$），可以得到：
其中 $R_s$ 是绕组电阻，$L_d, L_q$ 是dq轴电感，$\omega_e$ 是电角速度，$\psi_m$ 是永磁体磁链。在高速区域，$R_s$ 引起的电压降很小可以忽略，则电压限制条件可以整理如下：
同时，逆变器的电流额定值施加了电流限制条件：
也就是说，电压和电流都有上限，必须在这个范围内驱动电机，对吧。
是的。这里很重要的一点是，在 $i_d$-$i_q$ 平面上看电压限制式，它是一个椭圆。转速升高，$\omega_e$ 增大，椭圆就会缩小。所以在高速区域，可用的电流工作区域会变得越来越窄。
电压限制圆与电流限制圆
在 $i_d$-$i_q$ 平面上重写电压限制条件，如下所示：
这是一个中心在 $(-\psi_m/L_d, \, 0)$，长轴和短轴分别为 $V_{\max}/(\omega_e L_d)$, $V_{\max}/(\omega_e L_q)$ 的椭圆。对于IPMSM，由于 $L_d < L_q$，d轴方向为短轴。随着转速上升，椭圆缩小，与电流限制圆 $i_d^2 + i_q^2 = I_{\max}^2$ 的交集区域发生变化。
椭圆的中心不在原点，而是偏移到 $(-\psi_m/L_d, 0)$，这是为什么？
因为永磁体磁通 $\psi_m$ 始终存在于d轴方向，这部分磁通会“消耗”电压。即使d轴电流为零，永磁体磁通也会产生反电动势。所以椭圆的中心会偏移到 $i_d = -\psi_m/L_d$ 的位置。弱磁控制，本质上就是将工作点向这个椭圆中心移动。
MTPA控制与MTPV控制
经常听到MTPA和MTPV，它们有什么区别？
简单来说，这是根据速度区域区分的两种最优电流策略。
MTPA（最大转矩电流比）： 在电流限制圆内，选择对于给定电流幅值能产生最大转矩的电流矢量角 $\beta$ 的策略。在IPMSM的转矩公式：
中，为了利用磁阻转矩项 $(L_d - L_q) i_d i_q$，工作点在 $i_d < 0$ 的区域。MTPA轨迹在 $i_d$-$i_q$ 平面上呈双曲线状。
MTPV（最大转矩电压比）： 选择在电压限制椭圆上产生最大转矩的工作点的策略。在高速区域达到电压限制后，工作点沿着椭圆边缘移动。MTPV轨迹的条件式为：
那么，随着速度变化，工作点会从MTPA轨迹 → 电压限制椭圆上 → MTPV轨迹，这样移动变化吗？
没错。低速区域在MTPA轨迹上实现最高效率运行，在基速附近达到电压限制后开始在椭圆上移动，进入更高速度区域则过渡到MTPV轨迹。平滑地切换这三个区域是控制技术的体现，在CAE中，需要为所有速度-扭矩组合计算最优电流点，制作“效率图”。
退磁风险的物理原理
听说d轴电流过大磁铁会损坏，是真的吗？
与其说损坏，不如说“退磁”。钕磁铁有退磁曲线（B-H曲线的第二象限），当工作点超过拐点（曲线转折点）时，磁力会不可逆地下降。弱磁控制中会流过较大的负向d轴电流，因此存在磁铁内部磁通密度下降到接近拐点的风险。
温度也有关系吧？ 夏天什么的好像很危险...
这正是最危险的一点。钕磁铁的矫顽力会随着温度升高而急剧下降。20°C时矫顽力为2000 kA/m，到150°C时可能降到一半以下。所以在CAE中，必须确认最恶劣条件（最高温度 × 最大d轴电流 × 瞬态电流超调）下的磁铁工作点。
退磁判定是通过将FEM求得的磁铁内部磁通密度分布与对应温度的退磁曲线进行比对来进行的。磁铁角落部分（角部）由于反磁场集中，局部磁通密度容易下降，需要特别注意。
特斯拉Model 3的电机设计堪称“弱磁教科书”的理由
特斯拉Model 3的后电机（IPMSM类型），额定转速约5,000rpm，最高转速约18,000rpm。也就是说，通过弱磁控制将转速提升到了基速的3.6倍。实现这一点，得益于磁铁埋入结构（V型布置）对磁阻转矩的利用，以及SiC逆变器带来的高电压利用率。在设计阶段，可以推测进行了大量基于FEM的弱磁时退磁裕度分析。日本的汽车OEM也标准化了类似的设计流程，JMAG或Ansys Maxwell的FEM-电路联合分析在其中扮演着核心角色。
dq轴电压方程的推导过程
- d轴电压 $v_d = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt} - \omega_e L_q i_q$：d轴磁链 $\lambda_d = L_d i_d + \psi_m$ 的时间微分加上电阻压降。$-\omega_e L_q i_q$ 项是q轴磁通旋转产生的速度电动势（干扰项）。
- q轴电压 $v_q = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt} + \omega_e(L_d i_d + \psi_m)$：q轴磁链 $\lambda_q = L_q i_q$ 的时间微分，加上d轴磁通旋转产生的反电动势 $\omega_e(L_d i_d + \psi_m)$。这个反电动势项是弱磁控制的本质约束。
- 转矩公式 $T = \frac{3}{2}p(\psi_m i_q + (L_d - L_q)i_d i_q)$：第一项是磁铁转矩（永磁体磁通与q轴电流的相互作用），第二项是磁阻转矩（利用凸极性 $L_d \neq L_q$ 带来的磁各向异性）。对于IPMSM，$L_q > L_d$，所以 $i_d < 0$ 时磁阻转矩为正贡献。
弱磁控制的适用极限与假设
- 稳态假设：在 $di/dt = 0$ 的稳态下描绘电压限制椭圆。瞬态时椭圆会变动，可能发生瞬时电压超限
- 磁饱和影响：高负载时 $L_d$, $L_q$ 会随电流变化。如果不使用FEM得到的非线性电感映射图，误差会很大
- 温度依赖性：$\psi_m$ 随磁铁温度升高而减小，$R_s$ 随绕组温度升高而增加。需要在宽温度范围内制作效率图
- 空间谐波：集中绕组电机存在由绕组配置引起的空间谐波磁通，可能导致dq轴模型精度下降
- 铁损影响：增加d轴电流会改变铁心磁通密度波动幅度，从而改变铁损分布。等效电路模型有时精度不足
主要参数典型值（EV用IPMSM）
| 参数 | 典型值 | 备注 |
|---|---|---|
| 永磁体磁链 $\psi_m$ | 0.05〜0.15 Wb | 温度升高约下降 -0.1%/°C |
| d轴电感 $L_d$ | 0.1〜0.5 mH | 电流依赖（饱和时下降） |
| q轴电感 $L_q$ | 0.3〜1.5 mH | IPMSM中 $L_q > L_d$ |
| 凸极比 $L_q/L_d$ | 2〜8 | 越大磁阻转矩越大 |
| 基速 | 3,000〜6,000 rpm | 电压利用率达到100%的点 |
| 最高速度 / 基速比 | 3〜5 | 弱磁恒功率区域的宽度 |
| 直流母线电压 | 300〜800 V | $V_{\max} = V_{dc}/\sqrt{3}$（SVPWM） |
数值解法与实现
FEM电机建模基础
用FEM仿真弱磁控制，具体是做什么样的计算呢？
主要有两种方法。一种是用2D截面FEM进行磁场分析，计算各旋转角度位置下的扭矩、磁链、损耗。另一种是将FEM与驱动电路（逆变器）耦合，直接仿真弱磁控制算法本身。
电机的电磁场分析，求解的是基于矢量磁位 $\mathbf{A}$ 的准静态磁场方程：
其中 $\nu$ 是磁阻率（$\nu = 1/\mu$），$\mathbf{J}_s$ 是线圈电流密度，$\sigma \partial \mathbf{A}/\partial t$ 是涡流项，$\mathbf{M}_r$ 是永磁体的剩余磁化矢量。
2D分析没问题吗？ 电机是三维物体吧？
问得好。对于使用叠层硅钢板的电机，轴向电流占主导，所以2D截面分析通常就能获得足够的精度。斜槽或端部线圈的影响用修正系数处理。不过，如果要准确评估3D特有的端部效应，例如斜槽带来的扭矩脉动降低或端部线圈漏感，就需要3D分析了。
电路联合分析
把FEM和电路耦合起来，具体怎么做？
从FEM的各个线圈区域提取磁链 $\psi$ 和反电动势，与外部电路的基尔霍夫定律联立求解。线圈电流影响磁场，磁场又影响线圈的反电动势，所以需要在每个时间步长进行迭代求解。
FEM-电路耦合的基本方程组如下：
其中 $K_{ff}$ 是FEM的磁场刚度矩阵，$K_{cc}$ 是电路的阻抗矩阵，$K_{fc}$, $K_{cf}$ 是FEM与电路的耦合项，$A$ 是节点矢量磁位，$I$ 是线圈电流，$V_s$ 是逆变器输出电压。
连逆变器的PWM开关也一起求解吗？ 那样计算量会非常庞大吧...
这取决于目的。如果只是想看弱磁区域的平均扭矩或效率，用基波电压源就可以了。如果想分析扭矩脉动或EMC，就需要以PWM载波的时间步长（数μs）来求解。实际工作中，通常是先用基波分析制作效率图，然后只对感兴趣的工作点进行PWM耦合的详细研究。
损耗计算（铁损、铜损、磁铁涡流损）
要正确评估弱磁区域的效率，需要准确计算以下损耗成分：
| 损耗成分 | 计算公式 | 弱磁时的变化 |
|---|---|---|
| 铜损 $P_{cu}$ | $\frac{3}{2}R_s(i_d^2 + i_q^2)$ | $|i_d|$ 增加导致增大（最主要的损耗因素） |
| 磁滞铁损 $P_h$ | $k_h f B_m^{\alpha}$ | 频率 $f$ 增加导致增大，$B_m$ 降低导致减少 |
| 涡流铁损 $P_e$ | $k_e f^2 B_m^2$ | 与 $f^2$ 成正比，急剧增加的主要损耗 |
| 磁铁涡流损 | FEM时域分析直接计算 | 谐波磁通增加导致增大 |
| 机械损 | 轴承摩擦 + 风损 | 与转速的2~3次方成正比 |
铁损计算公式里的 $B_m$ 是用什么？ 和磁铁的 $B_r$ 不一样吧？
$B_m$ 是各单元中磁通密度的振幅。通过FEM分析进行一个电角周期的瞬态分析，获取各有限单元的磁通密度波形。然后通过FFT分离基波成分和谐波成分，分别计算各频率下的铁损。这就是基于FEM的铁损计算方法，需要对所有单元进行累加。
效率图的构建方法
效率图是怎么做的？ 要对所有速度×扭矩的组合进行FEM分析吗？
那样计算量太庞大了，实际工作中，会先用FEM进行“参数化扫描dq轴电流的磁场分析”。例如，将 $i_d$ 从 -200A 到 0A，$i_q$ 从 0A 到 300A，各取20个点，就是400个静态磁场分析案例。每个案例可以得到扭矩、磁链、铁损，然后将其制作成查找表（LUT），用于在任意速度、扭矩条件下搜索最优电流。
效率图构建步骤如下：
- FEM参数化分析： 在 $(i_d, i_q)$ 的网格点上进行静态磁场分析 → 制作扭矩 $T(i_d, i_q)$、$\psi_d(i_d, i_q)$、$\psi_q(i_d, i_q)$、铁损 $P_{fe}(i_d, i_q)$ 的映射图
- 最优电流搜索： 对于每个速度、扭矩指令，在满足电压限制和电流限制的条件下，搜索使损耗最小的 $(i_d^*, i_q^*)$
- 效率计算： 绘制 $\eta = P_{out} / (P_{out} + P_{cu} + P_{fe} + P_{mech})$
非线性收敛与磁饱和的处理
硅钢板的B-H曲线是非线性的吧？ 在FEM中怎么处理？
用牛顿-拉夫逊法进行非线性迭代。在每次迭代中，
なった
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