开关磁阻电机（SRM）的电磁场仿真
理论与物理
SRM工作原理
开关磁阻电机不用永磁体吗？不需要稀土？
没错。转子是简单的铁心凸极结构，既无磁体也无线圈。无稀土、成本低、耐高温是其优点。但转矩脉动和噪音大是课题，例如近期Nidec制造的洗衣机用SRM通过AI控制将噪音降低了60%。
没有磁体怎么产生转矩呢？完全无法想象…
简单来说是利用了“铁被磁体吸引的力”。给定子线圈通电产生电磁铁，转子的铁心凸极就会被吸引过去。这就是磁阻转矩。它利用了转子会趋向于移动到磁路电感最大位置的特性。
原来如此！那么只要适时切换线圈电流就能连续旋转了是吗？
正是如此。典型的8/6结构（定子8极·转子6极）中，按A相→B相→C相→D相的顺序通电，转子的凸极就会依次被定子的凸极吸引而旋转。但是，相的切换时机和电流波形是关键，这里一旦出错，不仅可能没有转矩，甚至可能反转。
SRM的基本结构特征总结如下。
| 项目 | SRM | PMSM（参考） |
|---|---|---|
| 转子结构 | 仅凸极铁心（无磁体·线圈） | 内置/表面贴装永磁体 |
| 使用稀土 | 无 | 使用钕磁体 |
| 耐热性 | 250°C以上也可工作 | 受磁体退磁温度限制（约150°C） |
| 转矩脉动 | 大（20〜40%） | 小（3〜8%） |
| 电磁噪音 | 大（课题） | 小 |
| 成本 | 低 | 因磁体而高 |
| 主要用途 | 家电、工业用、EV（研究阶段） | EV、伺服 |
转矩产生机理与控制方程
SRM的转矩公式是怎样的？和PMSM完全不同吗？
根本不同。PMSM的转矩是“电流×磁体磁通”，而SRM的转矩来自电感的变化率。在线性区域（无磁饱和）下，瞬时转矩如下：
其中 $I$ 是相电流 [A]，$L$ 是电感 [H]，$\theta$ 是转子角度 [rad]。从这个公式可以看出三个重要点。
- 转矩与电流的平方成正比 — 与电流方向无关，因此可以用单向电流（单极性）驱动。不需要PMSM那样的正弦波交流电。
- 仅当 $dL/d\theta > 0$ 时产生正转矩 — 必须在电感增加的区间通电，并在进入减少区间前切断电流。
- 忽略磁饱和的近似公式 — 实际电机中铁心会饱和，仅靠这个线性公式是不够的。
饱和了会怎样？公式会变吗？
是的，在饱和区域，电感也依赖于电流，所以变成 $L(\theta, I)$。这种情况下，精确的转矩计算需要从磁共能（Co-energy）推导：
$\psi(\theta, i)$ 是磁链 [Wb]。这个函数无法解析求得，因此通过FEM创建磁链-电流-角度的三维映射 $\psi(\theta, I)$，再通过数值微分求转矩是实际工作中的标准方法。
此外，SRM各相的电路方程如下：
右边第二项是自感项（相当于 $L \cdot dI/dt$），第三项是反电动势项（$e = \omega \cdot d\psi/d\theta$，与转速成正比）。
电感分布 L(θ,I)
$L(\theta, I)$ 的映射是什么形状？我没什么概念…
低电流时形状接近漂亮的梯形波。转子凸极与定子凸极相对的位置（对齐位置，aligned）电感最大 $L_{\max}$，凸极错开的位置（非对齐位置，unaligned）电感最小 $L_{\min}$。
然而当电流增大时，对齐位置附近铁心磁饱和，$L_{\max}$ 会大幅下降。另一方面，$L_{\min}$ 主要由气隙磁路决定，几乎不变。也就是说，饱和后 $dL/d\theta$ 变小，转矩难以产生。这是SRM设计的最大难题。
| 参数 | 典型值（8/6 SRM, 1kW级） | 备注 |
|---|---|---|
| $L_{\max}$（低电流） | 40〜80 mH | 对齐位置，线性区域 |
| $L_{\max}$（额定电流） | 15〜30 mH | 因饱和大幅下降 |
| $L_{\min}$ | 5〜10 mH | 非对齐位置，电流依赖性小 |
| $L_{\max}/L_{\min}$比 | 3〜8（线性）/ 2〜4（饱和） | 此比值越大转矩越高 |
磁饱和与非线性B-H曲线
磁饱和具体在多大磁通密度下发生？材料不同有区别吗？
根据使用的电工钢板完全不同。例如SRM中常见的材料：
- 35A300（日本制薄板）: 饱和磁通密度 $B_s \approx 1.7$ T。铁损小但饱和较早
- 50A470: $B_s \approx 1.8$ T。成本低但铁损稍大
- 10JNEX900（JFE的6.5%Si钢）: $B_s \approx 1.5$ T 但高频铁损极小。适合高速SRM
实际工作中，大约在1.5〜1.8 T附近B-H曲线开始变平，$\mu_r$（相对磁导率）从数千急剧下降到数十。在FEM中，忠实地输入这个非线性B-H曲线是精度的关键。
SRM特有的磁饱和影响
- 局部饱和：定子凸极根部（轭部接合处）和转子凸极尖端磁通集中，局部可能达到2.0 T以上。如果这部分网格粗糙，会给转矩计算带来很大误差。
- 互感显现化：饱和状态下磁路呈非线性，相邻相的电流会影响通电相的电感。线性模型中可忽略的互感会影响转矩计算。
- 铁损增大：饱和区域磁通密度的时间变化 $dB/dt$ 变得陡峭，涡流损耗和磁滞损耗都会急剧增加。高速旋转时铁损有时会超过铜损。
转矩脉动与NVH（噪音振动）
SRM的噪音具体是什么机制产生的？真的比PMSM吵那么多吗？
很吵。直观感觉会发出“嘎—”或“哔—”的金属音。机制很明确，是径向电磁力使定子变形为椭圆形。
SRM中，相的通电ON/OFF使径向力急剧变化。这个力激励定子铁心的固有振动模式（特别是椭圆模式 = 呼吸模式）。当激励力的频率成分与定子的固有振动频率一致时，会发生共振，产生大的振动和噪音。用FEM需要做的是：
- 通过电磁场分析求得径向力的时间波形
- 通过FFT分析激励力的频谱
- 通过结构模态分析求得定子的固有振动频率
- 设计上避免激励频率与固有振动频率一致（共振）
原来如此，需要电磁场和结构的耦合分析啊。看起来相当麻烦…
没错。所以SRM的NVH分析是“电磁场FEM → 提取径向力 → 结构FEM（模态分析）→ 声学分析”这样的多阶段工作流程。JMAG或Maxwell都有向结构分析导出力数据的功能，活用这些功能是一般做法。
SRM作为“无磁体的EV电机”备受关注
SRM完全不使用永磁体，因此完全不受中国稀土出口管制风险的影响。转子只需冲压叠压钢板，据说制造成本是PMSM的1/2〜1/3。Nidec于2023年开始量产家用洗衣机用SRM，通过基于AI的电流波形优化，实现了比传统SRM降低60%的噪音。另一方面，Land Rover的Jaguar I-PACE早期原型车曾考虑过SRM，但因无法满足NVH要求而改回PMSM。“安静的SRM”至今仍是电机行业的热门话题，电磁场FEM和控制仿真的精度是产品化的关键。
数值解法与实现
电磁场FEM的公式化
SRM的电磁场分析，基本就是用FEM解麦克斯韦方程组对吧？但具体是怎么公式化的呢？
SRM的分析频带（〜数十kHz）可以忽略位移电流，所以使用准静态近似（涡流方程）。在2D分析中，变成只处理矢量势 $A_z$ 一个分量的问题：
这里 $\nu = 1/\mu$ 是磁阻率（磁导率的倒数），$\sigma$ 是电导率，$\mathbf{J}_s$ 是施加电流密度。由于 $\nu$ 依赖于 $B$（即 $A$），因此方程是非线性的。
2D就足够了吗？不需要3D吗？
SRM基本的转矩、电感计算，2D-FEM足以获得足够的精度。因为轴向结构是均匀的。但以下情况需要3D：
- 斜槽（扭转）结构的转子 — 为降低转矩脉动而设计的转子扭转结构
- 端部效应评估 — 线圈端部的漏感和端部涡流
- 轴向磁通分量不可忽略的情况 — 轴向磁通型SRM
将FEM转化为弱形式时，应用伽辽金法，用三角形单元（2D）或四面体/棱柱单元（3D）离散空间。以下是SRM电磁场FEM中特别重要的单元技术总结。
| 单元技术 | 用途 | 在SRM中的重要性 |
|---|---|---|
| 节点单元（标量 $A_z$） | 2D截面分析 | 最基本。计算成本低 |
| 边单元（Nedelec单元） | 3D分析（矢量 $\mathbf{A}$） | 避免伪模式所必需 |
| 二次单元（6节点三角形） | 提高气隙磁通精度 | 直接关系到转矩精度。推荐 |
| 滑动网格 | 处理转子旋转 | 必需（后述） |
非线性牛顿-拉弗森法
要处理非线性的B-H曲线，需要在每个时间步进行牛顿-拉弗森迭代吗？收敛没问题吗？
没错。在每个时间步内进行牛顿-拉弗森迭代。残差方程如下：
这里 $[S(\mathbf{A})]$ 是非线性刚度矩阵（依赖于 $\nu(B)$），$[M]$ 是质量矩阵（涡流项），$\{\mathbf{F}\}$ 是电流源向量。雅可比矩阵是：
收敛有三个技巧：
- 对B-H曲线进行平滑样条插值 — 折线近似会导致 $d\nu/dB^2$ 不连续，雅可比矩阵振荡
- 使用前一步的解作为初始值 — 从零初始值开始收敛慢
- 引入阻尼（衰减系数） — $\Delta \mathbf{A}^{(k+1)} = \alpha \cdot [J]^{-1}\mathbf{R}$，其中 $\alpha=0.5\sim0.8$ 左右
通常经过3〜8次迭代可收敛到 $\|R\|/\|R_0\| < 10^{-4}$。如果超过这个次数，可能是B-H数据或网格有问题。
时间步进与旋转运动的处理
转子是旋转的，网格怎么办？每步都重新生成吗？
问得好。实际工作中主要使用两种方法：
1. 滑动网格法（Band法）
在气隙内设置圆周方向的“滑动带”，分别创建转子侧网格和定子侧网格。每次旋转只更新带上的节点对应关系。这是JMAG和Ansys Maxwell的标准方法。不需要重新生成网格，但如果带上的单元尺寸和旋转角度步长不匹配，插值误差会影响转矩。
2. 气隙重网格法
每个时间步只对气隙区域重新划分网格。比滑动带法更通用但计算成本高。COMSOL中有时会使用。
时间步长 $\Delta t$ 的确定方法，在SRM中可以根据转速和通电角度按以下公式估算：
$\theta_{\text{step}}$ 是一相的通电角度 [rad]，$\omega$ 是角速度 [rad/s]。例如6000 rpm的8/6 SRM，$\theta_{\text{step}} = 15°$，$\omega = 200\pi$ rad/s，所以需要 $\Delta t \leq 4.2 \times 10^{-6}$ s（约4 μs）左右。
电路耦合分析
实际的SRM是用逆变器驱动的吧？只用FEM不知道电流波形吧？
很敏锐。要认真做SRM的电磁场FEM，与驱动电路（逆变器）的耦合是绕不开的。典型的SRM非对称半桥电路中，根据上下开关器件和续流二极管的状态，端电压会在 $+V_{dc}$、$0$、$-V_{dc}$ 之间切换。
耦合方法有两种：
- 直接耦合：在FEM求解器中嵌入电路方程。JMAG和Maxwell都标准支持。电压源驱动，FEM计算电流。精度最高
なった
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