LU分解 — CAE用语解说

LU分解是将矩阵A分解为L（下三角矩阵）和U（上三角矩阵）的乘积A=LU的方法。只要分解一次，求解Ax=b就只需先用Ly=b求y，再用Ux=y求x。通过前进代入和后退代入可以快速求解。

对于对称正定的刚度矩阵，通常使用Cholesky分解（A=LL^T），但对于非对称系统（流体、接触等）则使用LU分解。MUMPS和PARDISO等并行直接求解器是典型代表，具有精度高、无需收敛判定等优点。

自由度在数十万以下的相对小规模问题，直接法（LU分解）更快更可靠。自由度达到数百万以上时，直接法会因内存不足而失效，需要改用迭代法。但对于接触问题或屈曲分析这样的病态问题，往往还是选择收敛性稳定的直接法。

是的。原来的矩阵可能很稀疏（几乎全是零），但分解过程中非零元素会增加，这就是填入问题。它会占用很多内存。重排序（使用METIS或AMD等行列重排序算法）可以最小化填入，这是直接法性能优化的关键。

很多求解器会根据模型规模和问题性质自动选择。养成查看日志，确认使用了哪种方法的习惯很重要。