Palace电磁场分析
理论：Palace求解的问题
概述
Palace和HFSS这类商用电磁场求解器有什么不同？
能求解的问题类型相近，但开发目的不同。Palace是AWS为量子计算机开发而编写的，2023年作为开源软件公开。超导量子比特电路在几毫米见方的芯片上排列着几十微米宽的线路，还要评估其中极薄介质层的损耗。为了高精度求解这种尺度差异很大的问题，Palace建立在有限元库MFEM之上，以高阶Nédélec单元和在超级计算机或云上的大规模并行计算为前提。分析类型有五种：本征模（谐振频率和Q值）、频率响应（S参数）、时域、静电场（电容矩阵）和静磁场（电感矩阵）。设置写在JSON格式的输入文件中，没有图形界面，网格需用Gmsh等另行生成。
本征模方程与理论解
E为电场，μ_r、ε_r为相对磁导率和相对介电常数，k₀为自由空间波数。矩形腔（宽a、高b、长d）的谐振频率由右式给出，TE模要求m或n不为零且p ≥ 1，TM模要求m、n ≥ 1。
壁损耗引起的Q值
TE101模的导体Q值（k为波数，η为自由空间波阻抗，R_s为表面电阻，σ为壁的电导率）。
为量子计算机而生的求解器
超导量子比特是由约瑟夫森结、电容和谐振器组成的电路，其频率、耦合强度和能量损失速度都由电磁场分布决定。每次修改设计都试制并在极低温下测量很费时间，因此高精度电磁场仿真不可或缺。AWS为此开发了Palace，并以Apache 2.0许可证公开。不受商用软件许可证数量限制、能在云上的大量CPU同时运行数百个算例，被认为是开源的优势之一。
算例
例1：矩形腔谐振频率（22.86×10.16×30 mm，空气）
| 顺序 | 模式 | 谐振频率 |
|---|---|---|
| 1 | TE101 | 8.244 GHz |
| 2 | TE102 | 11.952 GHz |
| 3 | TE201 | 14.034 GHz |
| 4 | TE011 | 15.577 GHz |
| 5 | TM110 | 16.145 GHz |
| 6 | TE103 | 16.361 GHz |
| 7 | TE202 | 16.488 GHz |
| 8–9 | TE111与TM111（简并） | 16.901 GHz |
宽22.86 mm、高10.16 mm与WR-90波导的截面相同。在Palace中求约10个本征模，确认频率与理论值相差在0.1%以内，并且提高单元阶次或加密网格后不再变化。
在16.9 GHz附近，理论上是TE111，但Palace给出了两个几乎相同的频率。哪个是对的？
两个都对。矩形腔中TE111与TM111的频率完全相同，都是16.901 GHz（简并）。数值计算中网格的微小不对称会使两个值略有差别，只拿其中一个与理论比较，容易误以为“多出了一个模式”。简并模式的本征向量也可能是两个模式的任意组合，所以要看电场方向（TE模沿传播方向电场为零，TM模磁场为零）来对应。给本征值求解器指定“求解个数”时，简并可能使边界处的模式时有时无，因此多求几个比较安全。
例2：壁材料与Q值（TE101，8.244 GHz）
| 壁材料 | 电导率 | 导体Q值 |
|---|---|---|
| 铜 | 5.8×10⁷ S/m | ≈ 7,700 |
| 铝 | 3.5×10⁷ S/m | ≈ 6,000 |
| 黄铜（参考） | 1.0×10⁷ S/m | ≈ 3,200 |
铜的表面电阻为0.0237 Ω，趋肤深度为0.73 µm，Q值与电导率的平方根成正比。在Palace中对腔壁施加阻抗（表面电阻）边界条件，就能在不对壁内部划分网格的情况下处理损耗。超导壁的导体损耗几乎为零，Q值由介质和表面薄层的损耗决定。
入门流程
- 用Spack、容器或从源码编译安装Palace，运行一个附带的例题。
- 用Gmsh生成矩形腔网格，给边界和区域编号（属性）。
- 在JSON输入文件中设置本征模分析，把谐振频率与理论值比较。
- 改变单元阶次（Order）和网格确认收敛，给壁加表面电阻并比较Q值。
- 进入实际电路形状，求电容矩阵或S参数。
“与其加密网格，不如提高阶次”
高频电磁场的精度取决于每个波长有多少个节点，一阶单元需要每波长10〜20个分段。在Palace这类高阶单元求解器中，同样的自由度数下，提高阶次往往比加密网格更快地减小误差。不过在角部和细线附近电场具有奇异性而很强，只有那里需要减小单元尺寸。同时改变阶次和网格确认结果不变，是验证的基本做法。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 忽视简并模式 | 误认为多余模式 | 按场的方向对应 |
| 求解模式数太少 | 漏掉需要的模式 | 多求几个 |
| 对壁内部划分网格 | 单元数巨大 | 阻抗边界 |
| 属性编号搞错 | 边界条件施加到别的面 | 检查Gmsh物理组 |
| 单位混淆 | 频率差几个数量级 | 明确长度单位 |
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