CQC法（完全二次合成法）
理论与物理
CQC法是什么
老师，CQC法是SRSS的改进版吗？
CQC（完全二次组合）是Der Kiureghian（1981）提出的考虑模态间相关性的组合方法。是SRSS的上级替代。
$\rho_{ij}$ 是模态相关系数。
模态相关系数
$\rho_{ij}$ 采用Der Kiureghian公式：
$r = \omega_j / \omega_i$。
当 $r = 1$（相同频率）时 $\rho = 1$（完全相关），$r$ 远离时 $\rho \to 0$（不相关）对吧。
模态充分远离时 $\rho_{ij} \to 0$，CQC退化为SRSS。也就是说CQC包含了SRSS。
SRSS与CQC的差异
存在密集模态时，CQC的结果可能比SRSS大10〜30%。因为SRSS忽略了模态间的正相关性，从而低估了密集模态的贡献。
总结
要点：
- $R = \sqrt{\sum \sum \rho_{ij} R_i R_j}$ — 包含模态间相关性的完全组合
- $\rho_{ij}$ — Der Kiureghian公式。取决于频率比和阻尼
- CQC是SRSS的上级替代 — 模态远离时退化为SRSS
- 密集模态时比SRSS大10〜30% — SRSS是非保守的
- 当前设计规范推荐CQC — 欧洲规范8、ASCE 7
CQC作为SRSS的“精确版”于1981年登场
CQC（完全二次组合）法由E.L. Wilson等人（加州大学伯克利分校）在1981年发表的论文《A Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis》中提出。该论文指出SRSS法忽略了相近固有频率间的相关性从而导致误差，并引入了使用相关系数ρij的二次组合公式。对于密集模态成为问题的地面上的不规则建筑或反应堆厂房，其精度尤其高。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，但那是“因为缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉伸，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓的紧固力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷的方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
CQC的实现
所有FEM求解器都将CQC作为标准选项：
- Nastran: *RESPONSE SPECTRUM, CQC
- Abaqus: *RESPONSE SPECTRUM, COMBINATION=CQC
- Ansys: SRSS→CQC的切换
- ETABS/SAP2000: CQC为默认选项
将CQC设为默认，就不用担心SRSS的问题了呢。
正是如此。始终使用CQC是最安全的。因为模态远离时结果与SRSS相同，所以使用CQC没有缺点。
总结
计算相关系数需要模态阻尼比
CQC法的相关系数ρij由固有频率比βij = ωj/ωi 和两模态的阻尼比ζi, ζj计算得出。阻尼比ζ = 5%（建筑标准）时，频率比在1.1以内（10%差以内）相关系数ρ > 0.1，不可忽略。SRSS（假设ρ=0）与CQC的差异最大出现在βij=1（完全一致）且ρij达到最大值1的情况，此时响应值会产生√2 = 1.41倍的差异。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2〜3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细分。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元分割）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉夫森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度是线性的。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略的答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计大概位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，因此精度有限。2次单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
CQC的实务
CQC是当前抗震设计的标准组合方法。
实务检查清单
CQC的结果如果和SRSS相同，也可以作为“没有密集模态”的确认呢。
CQC-SRSS比较也可以作为确认模态间是否存在相关性的工具来使用。
在有些国家，反应堆厂房使用CQC是法定要求
美国NRC的管理导则RG 1.92（2006年修订）推荐（事实上要求）对具有密集模态（固有频率差10%以内）的结构使用CQC法。日本原子力规制厅也有类似指针，国内所有BWR·PWR核电站的抗震分析均以CQC为标准。只有在证明模态间隔足够宽（差>10%）的情况下，才允许使用SRSS。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先是采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一塌糊涂。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实严重偏离。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽视这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以应该正确”这种危险的错觉。
边界条件的思考方式
边界条件的设定，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的吧。“这个面真的是完全固定的吗”“这个载荷真的是均匀分布的吗”——正确建模现实的约束条件，其实往往是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
CQC的工具
所有FEM求解器都标准支持CQC。建筑设计软件（ETABS, SAP2000, MIDAS Gen）默认使用CQC。
选型指南
SAP2000和Etabs是CQC的事实标准实现
在建筑·土木结构的响应谱分析中，最常使用CQC的软件是CSI（Computers and Structures, Inc.）的SAP2000和ETABS。其原型是加州大学伯克利分校的E.L. Wilson教授在1970年代开发的SAP（结构分析程序），由于Wilson本人参与了CSI的创立，因此其CQC实现尤为强大。在核能领域，NASAP/NRC的PIPESYS/PRIME作为专用工具被使用。
选型时最重要的3个问题
- “要解决什么问题”：CQC法所需的物理模型·单元类型是否支持。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的对应能力会成为差异点。
- “谁来使用”：新手团队适合GUI充实的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的AT车（GUI）和MT车（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC对应）、向其他部门扩展、与其他工具的联动进行选择，有助于长期的成本削减。
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