Mohr-Coulomb破壊基準
理论与物理
Mohr-Coulomb准则是什么
老师，Mohr-Coulomb破坏准则是土力学的基础吧。
Mohr-Coulomb（MC）准则是描述土体和岩体剪切破坏最经典的准则。由Coulomb于1773年提出。
- $\tau$ — 剪应力（破坏面上）
- $c$ — 粘聚力（cohesion）
- $\sigma_n$ — 法向应力（压缩为正）
- $\phi$ — 内摩擦角
和von Mises的区别是？
von Mises不依赖于静水压（平均应力）。MC准则依赖于静水压（包含法向应力 $\sigma_n$）。土的围压越大，剪切强度越高。这是MC准则的本质。
主应力表示
在偏应力空间中为不规则六边形（与von Mises的圆柱体不同）。
FEM中的设置
总结
要点：
- $\tau = c + \sigma_n \tan\phi$ — 剪切强度依赖于法向应力
- $c$（粘聚力）和 $\phi$（摩擦角）两个参数
- 静水压依赖 — 与von Mises的根本区别
- 土、岩体、混凝土的破坏准则 — 岩土工程学的基础
Coulomb摩擦定律的起源
Charles-Augustin de Coulomb于1776年整理了土体滑坡的实验数据，表明剪切强度可以用τ=c+σtanφ表示。随后在1900年，Otto Mohr将其与主应力空间中的几何解释（Mohr圆）相结合，系统化为Mohr-Coulomb破坏准则。在岩体/土体工程中已使用了近250年。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动就越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，但这是“缓慢施力因此加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种“难以伸长的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“难以变形的程度”，强度是“难以破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，因此设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
MC准则的FEM处理
MC准则的屈服面有角（棱角）。角点处的应力回映（Return Mapping）在数值上很困难。
对策：
- 用Drucker-Prager（DP）准则近似 — 用圆锥面（无角）近似。收敛性好
- MC准则的精确处理 — 角点处的特殊处理。Abaqus支持精确MC
- Plaxis — 完全支持MC准则。专业岩土软件的优势
剪胀角 $\psi$
决定塑性流动方向的剪胀角 $\psi$。$\psi = \phi$（相关联流动）时体积膨胀会过大。通常 $\psi < \phi$（非相关联流动）。
相关联 vs. 非相关联？
相关联是指屈服面与塑性势相同（$\psi = \phi$）。非相关联是指不同（$\psi < \phi$）。对于土，实践中 $\psi = 0 \sim \phi/3$ 较为常见。
总结
c·φ的三轴试验确定
粘聚力c（cohesion）和内摩擦角φ通过三轴压缩试验（CU试验或CD试验）确定。改变围压σ₃至少3个等级，在τ-σ平面上绘制Mohr圆，用最小二乘法求公切线的斜率（tanφ）和截距（c）。砂质土的φ一般为28〜40°，粘土的c一般为0〜100kPa。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2〜3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿·拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以越过载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，因此精度有限。2次单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。不过，每个单元的计算成本增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
MC准则的实务
用于开挖、边坡稳定、挡土墙、隧道、坝基的地基分析。
地基参数的典型值
| 地基 | $c$ (kPa) | $\phi$ (°) |
|---|---|---|
| 软弱粘土 | 10〜25 | 0〜5 |
| 中等粘土 | 25〜50 | 15〜25 |
| 砂土（松散） | 0〜5 | 28〜32 |
| 砂土（密实） | 0〜5 | 35〜42 |
| 岩体（软弱） | 100〜500 | 25〜35 |
| 岩体（坚硬） | 1000〜5000 | 35〜55 |
实务检查清单
隧道开挖分析的实绩
在2016年竣工的圣哥达基线隧道（瑞士，全长57公里）的掘进支护设计中，使用Phase2（现Rocscience RS2）分析了花岗岩岩体的Mohr-Coulomb参数φ和c。据报道，高围压下剪切破坏区的预测精度与现场测量结果在±10%以内一致。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易掉入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实有很大偏差。至少用3个等级的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以肯定正确”这种危险的错觉。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的吧。“这个面真的是完全固定的吗”“这个载荷真的是均匀分布的吗”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
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