水平平板自然对流
理论与物理
概要 — 上面与下面的决定性差异
水平板的自然对流，朝上和朝下会完全不同吗？
完全不同。加热面朝上时，板表面被加热的空气因浮力上升，产生羽流（热上升流）。被加热的空气不断离开，新鲜的冷空气从侧面流入，因此传热效果非常好。
相反，加热面朝下时，暖空气被困在板的下方。暖空气较轻想往上走，但板就像盖子一样盖住了。结果形成稳定分层，几乎不发生对流。传热系数会降到上面的一半以下。
具体在什么场景下会成为问题呢？
最贴近生活的是PCB（印刷电路板）水平放置时的芯片冷却。如果芯片安装在板的上表面，就能通过自然对流有效冷却；但如果安装在下表面，冷却效果会急剧变差。在服务器机架内的主板，或嵌入式设备中电路板安装在天花板面的情况下，这种差异有时会是致命的。
其他如太阳能集热器（平板型）上表面的热损失评估、厨房电热板的散热、工厂天花板的隔热设计等，水平板的自然对流关联式也是必备知识。
控制方程与瑞利数
用公式怎么表示呢？首先是瑞利数对吧？
对。控制自然对流强度的无量纲数是瑞利数 Ra。它表示浮力产生的驱动力与粘性、热扩散产生的抑制力之比：
各符号含义如下：
- $g$：重力加速度 [m/s²]
- $\beta$：体膨胀系数 [1/K]（理想气体则 $\beta = 1/T_f$，$T_f$ 为膜温度）
- $T_s$：板表面温度 [K]
- $T_\infty$：周围流体温度 [K]
- $L_c$：特征长度 [m]（后述）
- $\nu$：运动粘度系数 [m²/s]
- $\alpha$：热扩散率 [m²/s]（$\alpha = k / \rho c_p$）
Ra数越大对流越剧烈吗？
没错。Ra数大 = 温差大、板尺寸大、粘性小——即浮力占主导，对流活跃。反之，Ra数小则热传导占主导，几乎不发生对流。水平板上表面的情况，大约在 $Ra \approx 10^7$ 处从层流过渡到湍流。
努塞尔数关联式（McAdams・Lloyd-Moran）
终于到关联式了！上面和下面的公式不同对吧？
对，有McAdams（1954年）通过实验整理的著名关联式。首先是加热面朝上（Hot Surface Up）：
然后是加热面朝下（Hot Surface Down）：
下面的系数是0.27，正好是上面0.54的一半呢！而且下面没有湍流的公式吗？
观察得很仔细。下面由于稳定分层，对流很弱，几乎不发生湍流转换。所以只用1/4次方律就能覆盖很宽的范围。系数是一半，意味着实质上传热系数 $h$ 是上面的一半。相同温差下冷却能力只有一半——这在设计上是巨大的差异。
顺便提一下，从努塞尔数到传热系数 $h$ 的转换是：
这里 $k$ 是流体（如空气）的热导率。
冷却面的情况是相反的吗？也就是说冷板的下表面冷却效果好？
很敏锐。冷却面朝下（Cold Surface Down）与加热面朝上的机理相同——板下方被冷却的空气变重，产生下沉羽流。所以使用与加热面朝上相同的关联式（系数0.54/0.15）。相反，冷却面朝上则与加热面朝下相同，是稳定分层，使用系数0.27。
| 配置 | 物理现象 | 适用关联式 |
|---|---|---|
| 加热面朝上（Hot Up） | 羽流上升 → 高Nu | 0.54 / 0.15 |
| 加热面朝下（Hot Down） | 稳定分层 → 低Nu | 0.27 |
| 冷却面朝下（Cold Down） | 下沉羽流 → 高Nu | 0.54 / 0.15 |
| 冷却面朝上（Cold Up） | 稳定分层 → 低Nu | 0.27 |
特征长度 Lc = A/P 的含义
垂直板的话板的高度是特征长度对吧。水平板用什么？
水平板的情况，特征长度使用板的面积 $A$ 除以周长 $P$ 的值：
来看看具体形状下的值：
| 板的形状 | 面积 $A$ | 周长 $P$ | $L_c = A/P$ |
|---|---|---|---|
| 正方形（边长 $a$） | $a^2$ | $4a$ | $a/4$ |
| 长方形（$a \times b$） | $ab$ | $2(a+b)$ | $\frac{ab}{2(a+b)}$ |
| 圆板（直径 $D$） | $\pi D^2/4$ | $\pi D$ | $D/4$ |
为什么是面积÷周长呢？直觉上不太明白…
问得好。水平板的自然对流中，流体从板的边缘（棱边）流入流出。$L_c = A/P$ 表示的是“流体移动的代表性距离”，即从板中心到边缘的距离。周长相对于面积越大（即板越细长），靠近边缘的位置越多，流体越容易交换。相反，大的正方形板中心部分的流体不易交换。$L_c = A/P$ 正是对这种“到边缘的平均距离”进行缩放。
上面·下面的流动结构差异
上面的羽流，是以什么形状产生的呢？
加热面朝上（层流区）时，从板中心附近准周期性地升起“蘑菇型”羽流。冷空气从边缘流入，贴着板面流向中心，在中心附近被加热后上升。这形成了“大规模循环”。
进入湍流区（$Ra > 10^7$）后，从整个板面随机涌起羽流。会出现类似贝纳德对流的胞状结构，传热急剧增强。1/3次方律对应这种状态。
加热面朝下则完全不同。暖空气在板背面形成薄的热边界层，但由于浮力方向朝上（与板面垂直），流体无法离开。只有极弱的横向扩散，缓慢流向边缘。因此传热系数极低。不过，当 $Ra > 10^5$ 左右时，类似“泰勒不稳定性”的机制开始起作用，板下方也会出现微弱的对流胞。
原来如此…板的朝向一变，流动的物理就完全不同了呢。
McAdams 1954年的实验
William H. McAdams是MIT的教授，在1954年的名著《Heat Transmission》（第3版）中系统整理了水平板的自然对流关联式。他的实验是将加热铜板（10〜30 cm见方）水平置于空气中，用电加热器施加等热流，相对简单。但“将上面和下面分开整理”这一构思具有划时代意义，即使在70多年后的今天，仍作为工程设计标准使用。后来，Lloyd & Moran（1974年）引入了 $L_c = A/P$ 的定义，使其能推广到任意形状的板。
物性值的评估温度（膜温度）
关联式中代入的物性值（$\nu$, $\alpha$, $\beta$, $k$, $Pr$）在膜温度 $T_f$ 下评估：
空气的情况下，$\beta = 1/T_f$（理想气体近似）。水或油等则需要从物性表中读取 $\beta$。当温差 $(T_s - T_\infty)$ 超过100 K时，膜温度评估会略显粗糙，应使用更精确的温度相关物性。
等温条件 vs 等热流条件
上述McAdams式是在等温面（表面温度恒定）条件下推导的。等热流面（恒定发热量）的情况需要使用略有不同的关联式，但在工程上，McAdams式通常能获得足够实用的精度（约±15%）。等热流条件下，有时在Ra数定义中用 $q'' L_c / k$ 代替 $\Delta T$，使用修正的Ra数 $Ra^*$。
数值解法与实现
CFD分析的基本策略
用CFD求解水平板的自然对流时，采取什么方法呢？
基本是纳维-斯托克斯方程+能量方程的耦合分析。自然对流中速度场和温度场通过浮力项强耦合。需要求解的控制方程是：
连续性方程：
动量方程（Boussinesq近似）：
能量方程：
关键是最后的浮力项 $-\rho_0 \beta (T - T_0) \mathbf{g}$。温差驱动流动，所以必须同时求解温度和速度。
网格策略与边界层分辨率
网格需要多细呢？我知道壁面附近很重要…
自然对流需要解析速度边界层和温度边界层。水平板的情况下，温度边界层厚度大致为：
例如 $L_c = 0.05$ m、$Ra = 10^6$ 时，$\delta_T \approx 0.05 / 31.6 \approx 1.6$ mm。需要在这个厚度内布置至少10〜15层网格。壁面第一层网格厚度约为 0.05〜0.1 mm。
另一个极其重要的是计算域的宽广度。如果板周围没有足够的空间，诱导流（entrainment）会受到阻碍。参考标准是：
- 板面到水平方向：板尺寸的3〜5倍以上
- 上侧（羽流上游）：板尺寸的5〜10倍
- 下侧：板尺寸的3倍以上
计算域太窄会导致Nu数被低估。实际工作中，通过“将计算域扩大2倍，Nu数变化在1%以内”来确认计算域独立性。
Boussinesq近似与完全可压缩性
Boussinesq近似什么时候可以用呢？
Boussinesq近似是“密度变化只影响浮力项，其他项视为密度恒定”的假设。适用条件是：
空气（$T_\infty = 300$ K）的情况下，$\Delta T < 30$ K 左右是安全范围。电子设备冷却（$\Delta T \sim 20$〜$60$ K）则接近适用极限。对于 $\Delta T > 100$ K 的工业应用（炉子、高功率电子设备），应该使用完全可压缩性（理想气体状态方程）。
湍流模型的选择
湍流模型该选哪个？听说自然对流可以用 $k$-$\varepsilon$？
自然对流的湍流模型选择相当有难度。标准 $k$-$\varepsilon$ 在壁面附近的预测不准确，有时会将自然对流的Nu数高估30%以上。推荐优先级如下：
| 湍流模型 | 精度 | 计算成本 | 备注 |
|---|---|---|---|
| SST $k$-$\omega$ | 良好 | 中 | 壁面附近分辨率优秀。最推荐 |
| $k$-$\varepsilon$（低雷诺数型） | 良好 | 中 | 不使用壁面函数，直接求解到壁面 |
| 标准 $k$-$\varepsilon$ + 壁面函数 | 不良 | 低 | 无法准确捕捉自然对流的壁面流动 |
| LES（大涡模拟） | 非常高 | 非常高 | 研究用。用于羽流动态的详细分析 |
层流区（$Ra < 10^7$）则不需要湍流模型，层流分析就足够了。
CFD计算域的比喻
计算域的宽广度等同于“实验室的大小”。在狭小的密闭箱子里做水平板的自然对流实验，板产生的上升气流会撞击天花板，导致结果改变。CFD中如果计算域边界太近，也会发生同样的情况。为了再现“在足够宽敞的实验室里做实验”的状态，需要板尺寸5倍以上的空间。
实践指南
PCB水平放置的芯片冷却设计
在实际的PCB冷却设计中，怎么使用这个关联式呢？比如希望能用具体数字说明。
なった
詳しく
報告