球体自然对流
球的自然对流
理论：浮力产生的流动与球体
概述
没有风的地方热球冷却时，换热系数有多大？
球周围的空气被加热变轻而向上流动，这种自己产生的流动就是自然对流。流动较弱，空气中换热系数只有几到20 W/m²K左右。相应地，同等量级的辐射影响就相对变大。我们用Churchill公式求自然对流换热系数，与辐射比较，计算热钢球的冷却和装热水的大球罐的散热。
Churchill公式
$$ Nu_D = 2 + \frac{0.589\,Ra_D^{1/4}}{\left[1 + (0.469/Pr)^{9/16}\right]^{4/9}},\qquad Ra_D = \frac{g\beta\,(T_s - T_\infty)\,D^3}{\nu\alpha} $$
物性按膜温度（表面与周围的平均）取值，气体体膨胀系数 β 取膜温度的倒数。
辐射换热系数
$$ h_r = \frac{\varepsilon\sigma\left(T_s^4 - T_\infty^4\right)}{T_s - T_\infty} $$
发射率0.8、300℃表面与20℃环境时约为16 W/m²K，与自然对流同一量级。
Coffee Break 随笔闲谈
连接关联式的技巧
美国的丘吉尔在1970年代把分别在低值和高值成立的公式平滑连接的方法系统化了。自然对流公式中常见的“2 + …”和“[1 + (…)^n]^m”形式就来自这一思路。球体自然对流中，它把瑞利数趋于0时的Nu = 2与大瑞利数时正比于Ra^(1/4)的公式连接起来。这种方法至今仍用于许多流体与传热关联式。
算例
例1：瑞利数与努塞尔数（Pr 0.71）
| 瑞利数 | 努塞尔数 |
|---|---|
| 1 | 2.45 |
| 10² | 3.44 |
| 10⁴ | 6.54 |
| 10⁶ | 16.4 |
| 10⁸ | 47.5 |
| 10¹⁰ | 146 |
例2：直径10 mm钢球自然冷却（300℃→50℃，环境20℃）
| 冷却方式 | 300℃时换热系数 | 到50℃时间 |
|---|---|---|
| 仅自然对流 | 20.8 W/m²K | 818 秒 |
| 自然对流＋辐射（ε 0.8） | 20.8 + 16.3 W/m²K | 561 秒 |
| 送风5 m/s（无辐射） | 86.8 W/m²K | 158 秒 |
钢球在300℃时瑞利数约4,700。随温度下降换热系数也减小，因此按时间逐步计算。
例3：直径1 m球罐（60℃，环境20℃）
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 瑞利数 | 3.0×10⁹ |
| 自然对流换热系数 | 2.95 W/m²K |
| 对流散热 | 371 W |
| 辐射散热（ε 0.9） | 791 W |
| 合计（每天） | 1,161 W（27.9 kWh） |
水罐的散热中辐射竟是自然对流的两倍。
球越大，努塞尔数虽然增大，但要除以直径，换热系数反而变小，直径1 m时只有约3 W/m²K。而辐射换热系数只由温度决定，即使60℃、发射率0.9时也有约6 W/m²K。所以大容器和建筑外表面上，辐射往往大于自然对流。在保温材料外包铝箔这类低发射率材料能大幅减少散热，就是这个原因。反之小钢球自然对流更大，但计入辐射后冷却时间仍缩短三成。
计算要点
- 物性按膜温度取值，冷却过程中随时间更新。
- 自然对流几乎总要同时考虑辐射。
- 附近有墙或其他物体时流动受阻，公式不再适用。
- 有微风时按混合对流与强制对流比较。
- 用CFD求解时加入浮力，并取足够大的周围空间。
Coffee Break 随笔闲谈
“保温了还是变凉的储热罐”
某工厂包了保温材料的储热水罐散热比预想大。计算时只看了保温层外表面的自然对流，估计散热很小。但外表面是黑色涂装、发射率高，辐射散失的热量接近对流的两倍。外面包上铝制外壳降低发射率后，散热大幅减少。自然对流换热系数越小，辐射越成为主角，这一点不能忘记。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 忽略辐射 | 散热算成一半以下 | 加上辐射 |
| 物性固定 | 冷却时间算错 | 按膜温度更新 |
| 特征长度取半径 | Ra变为1/8 | 用直径 |
| 忽略周围障碍物 | 高估传热 | 确认布置 |
| 忽略微风 | 低估冷却 | 按混合对流确认 |
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