竖直平板的自然对流
理论：受热空气沿平板上升
概述
我在设计无风扇电源的机壳，想估算侧板能散掉多少热。
接触热板的空气变轻，沿板面上升，下方新的冷空气流入后又被加热。这就是自然对流，温度边界层从板下端向上逐渐变厚。驱动力只有浮力，所以流动缓慢，传热能力远弱于强制对流——因此要用数字来把握。
瑞利数
$g$ 为重力加速度，$\beta$ 为体积膨胀系数（空气为绝对温度的倒数），$\Delta T$ 为板与环境的温差，$H$ 为板高，$\nu$ 为运动黏度，$\alpha$ 为热扩散率。它表示浮力与黏性、热扩散之比，特点是与高度的三次方相关。超过约10⁹时转捩为湍流。
Churchill–Chu关联式
它用一个公式给出从层流到湍流的平板平均努塞尔数，适用于等温平板，物性按板与环境的平均温度（膜温度）取值。仅层流时也常用简单形式 $\overline{Nu} = 0.59\,Ra^{1/4}$。
源于暖气片的研究
竖直平板的自然对流从20世纪初就以暖气片和电气设备冷却为背景开始研究。20世纪30年代，人们细致测量了板附近空气的温度和速度，并用边界层理论加以解释。1975年Churchill和Chu把大量实验数据归纳成一条曲线，因为从层流到湍流都能用，至今仍是教科书和设计的标准。被称为“散热器”的室内暖气片，其实大部分热量也是靠自然对流而不是辐射传递的。
算例
例1：不同高度和温差的换热系数
在25 ℃空气中，对等温竖直平板用Churchill–Chu公式求得（物性按膜温度取值）：
| 温差 | 高度 | 瑞利数 | 换热系数 | 热流密度 |
|---|---|---|---|---|
| 10 K | 0.05 m | 1.1×10⁵ | 5.0 W/(m²·K) | 50 W/m² |
| 10 K | 0.2 m | 7.0×10⁶ | 3.7 W/(m²·K) | 37 W/m² |
| 30 K | 0.05 m | 2.8×10⁵ | 6.5 W/(m²·K) | 194 W/m² |
| 30 K | 0.2 m | 1.8×10⁷ | 5.0 W/(m²·K) | 151 W/m² |
| 30 K | 1.0 m | 2.2×10⁹ | 4.3 W/(m²·K) | 129 W/m² |
| 60 K | 0.2 m | 2.9×10⁷ | 6.0 W/(m²·K) | 360 W/m² |
矮的板换热系数反而更大。
层流时边界层越往上越厚，热量越难通过。平均换热系数与高度的−1/4次方成正比，所以面积相同时，并排的矮板比一块高板略有利。不过这些都在3～8 W/(m²·K)范围内，与风扇吹风时的几十W/(m²·K)差一个数量级。0.2 m见方的板在温差30 K时单面只能散约6 W。
例2：转捩高度与边界层厚度
| 温差 | Ra = 10⁹ 的高度 |
|---|---|
| 10 K | 1.05 m |
| 30 K | 0.76 m |
| 60 K | 0.65 m |
温差30 K时，层流边界层厚度在距下端0.05 m处约11 mm，0.2 m处约15 mm。相邻板间距小于其约2倍时，两侧边界层相遇、流动受阻，换热下降。这可作为确定散热器翅片间距的参考。
例3：与辐射比较
| 温差 | 辐射（发射率0.9） | 自然对流（高0.2 m） |
|---|---|---|
| 10 K | 5.7 W/(m²·K) | 3.7 W/(m²·K) |
| 30 K | 6.3 W/(m²·K) | 5.0 W/(m²·K) |
| 60 K | 7.3 W/(m²·K) | 6.0 W/(m²·K) |
在涂装表面（发射率约0.9）上，辐射带走的热量与自然对流相当甚至更多。抛光铝（约0.05）的辐射几乎不起作用。无风扇设备常把表面涂黑就是这个原因。
分析方法
CFD注意事项
- 取足够大的计算域：在上方和侧面留出足够空间，避免上升的热空气从边界回流，边界设为环境压力开放边界。
- 解析边界层：在约10 mm厚的边界层内沿壁面法向布置10层以上网格。
- 浮力模型：温差小时可用Boussinesq近似，几十K以上时应把密度作为温度的函数给出。
- 计入辐射：空气中的自然对流不要省略辐射。
结果确认
- 先用Churchill–Chu公式估算换热系数，再与CFD平均值比较。
- 确认扩大计算域后结果不变。
- 确认热量收支（发热＝对流＋辐射）平衡。
“装进机箱后温度升高”
在桌上没问题的电路板，装进通风口很小的机箱后温度升高10 K以上——这是自然对流中常见的事。板周围的流动依靠冷空气从下方进入、热空气从上方排出；进出口太小，流动就会减弱，热空气积聚在箱内。进风口放低、出风口放高并加大高差，烟囱效应会增强流动。分析时不把箱外空气也算进去，就看不到这个效应。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 省略辐射 | 散热量低估近一半 | 计入发射率 |
| 使用强制对流换热系数 | 温度严重低估 | 用自然对流公式确认3～8 W/(m²·K) |
| 计算域过小 | 热空气回流，温度升高 | 上方加大并设开放边界 |
| 翅片间距过小 | 边界层相遇、流动受阻 | 保证约2倍边界层厚度 |
| 物性按环境温度取值 | 几个百分点误差 | 按膜温度取值 |
我想自己改数值算一算。