从投手手中放开到本垒板的轨迹显示。纵轴以释放点（身高约2米）为0进行计算。
理论·主要公式
$$\vec{F}_{Magnus} = \frac{1}{2} \rho C_L A |\vec{v}|^2 \hat{n}$$
\(\rho\): 空气密度（1.2 kg/m³）, \(C_L\): 升力系数, \(A\): 截面积
\(\hat{n}\): 转轴与速度矢量的叉积方向（变化方向）
升力系数 \(C_L\) 取决于旋转参数 \(S = r\omega / v\)（表面速度/投球速度）。
棒球的 \(C_L \approx 0.1 \sim 0.3\) 范围内变动。
空气阻力（阻力）
$$F_{drag} = \frac{1}{2} \rho C_D A v^2$$
棒球的阻力系数 \(C_D \approx 0.35\)（缝线效应使其比光滑球更大）
变化量估计（简化模型）
下落量 \(\approx \frac{1}{2}g t^2 + \Delta y_{mag}\)
横变化量 \(\approx \Delta x_{mag} \propto F_{mag} \cdot t^2 / (2m)\)
棒球变化球·马格努斯力模拟器说明
本模拟器将作用在投出的球上的力限定为重力和马格努斯力两种，通过运动方程的数值积分计算轨迹。设球的质量为 \(m\)、速度矢量为 \(\boldsymbol{v}\)、重力加速度为 \(\boldsymbol{g}\)，则重力项为 \(m\boldsymbol{g}\)。马格努斯力 \(\boldsymbol{F}_M\) 与球的旋转角速度矢量 \(\boldsymbol{\omega}\) 和速度矢量 \(\boldsymbol{v}\) 的叉积成正比，由下式表示：
$$
\boldsymbol{F}_M = C_L \cdot \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}
$$
其中 \(C_L\) 是升力系数，是依赖于空气密度、球半径、转速等的实验参数。这个力使得例如背旋（向上旋转）的直球，升力向上作用，相消重力，变得不易下落。而曲球则因为顶部旋转（向下旋转）产生向下的马格努斯力，与重力相加导致急速下落。滑球则因为横向旋转轴产生水平方向的马格努斯力，产生横变化。这些力的合成加速度为：
$$
\boldsymbol{a} = \boldsymbol{g} + \frac{\boldsymbol{F}_M}{m}
$$
通过每个时间步长更新这个加速度，实现实时轨迹可视化。
$$\vec{F}_{Magnus} = \frac{1}{2} \rho C_L A |\vec{v}|^2 \hat{n}$$
实际应用
产业中的实际应用例
体育用品制造商"美津浓"和"泽特"利用本模拟器在棒球缝线图案和表面材料开发中。通过分析缝线高度和粗糙度对马格努斯力的影响，助力设计更大变化的球。职业棒球球队的侦察部门也将其作为投手评估工具，将候选投手的变化球潜力数值化。
研究·教育应用
在大学流体力学和体育工学讲座中作为马格努斯效应的实证实验而被采用。东京大学工学部学生通过改变球速、转速来比较轨迹，确认理论公式与模拟结果的一致性。高中物理课中也被导入，作为理解重力与空气阻力复合作用的可视化工具。
与CAE分析的联系及实务定位
本工具被定位为详细流体分析（CFD）的前置阶段。通常先用简化模拟器把握大致轨迹趋势，之后用ANSYS Fluent等CAE软件精密分析缝线周围湍流。在实务中，为降低试制成本，它是产品开发初期阶段不可或缺的筛选工具。
常见误解和注意事项
容易认为"转速越高变化球弯曲越大"，但实际上转轴方向对变化量影响更大。相同转速下，转轴越接近垂直于进行方向，马格努斯力就越充分发挥作用；转轴越接近平行于进行方向，效果就越衰减。例如，接近陀螺旋转的球即使转速高也几乎不弯曲。
也有人认为"球速越慢变化球越容易弯曲"，但实际上马格努斯力与速度的平方成正比增加，所以球速越快力本身越大。不过，快球通过空气的时间短，最终变化量由球速和滞空时间的平衡决定，这点需要注意。
另外，本模拟器仅考虑马格努斯效应和重力，不再现实际投球中发生的空气阻力和湍流、缝线影响、气压和湿度变化。请理解这只是理想条件下理解轨迹趋势的工具。