参数设置
球接触中心轴（r=0）上的弹性应力解（Johnson, Contact Mechanics）。表面 z=0 处 σz=−p_max。
接触次表面应力场（实时）
钢球滚过时，剪切峰值（橙色圆环）在 z≈0.48a 处移动；在固定的材料点（白框）τ 呈脉冲上升——滚动接触疲劳的起点。颜色＝剪切大小，红色曲线＝赫兹压力分布 p(r)。
中心轴上的应力深度分布 σ_z, σ_r, τ_max
横轴=z/a / 纵轴=stress/p_max（红=σ_z、蓝=σ_r、绿=τ_max、橙虚线=τ_max 峰值位置 0.48、黄虚线=当前评估深度）
理论·主要公式
赫兹球接触的中心轴（r=0）上的应力。a 为接触半径，p_max 为表面最大接触应力，ν 为泊松比，z 为深度：
$$\frac{\sigma_z}{p_{\max}} = -\frac{1}{1+(z/a)^2}$$
径向（=圆周方向）应力：
$$\frac{\sigma_r}{p_{\max}} = (1+\nu)\!\left[\frac{z}{a}\arctan\!\frac{a}{z}-1\right] + \frac{1}{2}\frac{1}{1+(z/a)^2}$$
中心轴上的最大剪切应力（主应力差的一半）：
$$\tau_{\max} = \frac{|\sigma_z - \sigma_r|}{2}$$
当 ν=0.3 时，τ_max/p_max ≈ 0.31 在深度 z*/a ≈ 0.48 处发生，这里是滚动接触疲劳（点蚀·剥落）的起点。
赫兹接触次表面应力模拟器是什么
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轴承的钢球转动时，表面受压最大，对吧？那破坏也应该从表面开始吧？
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直觉上好像是这样，但实际不同。确实，压缩应力 σz 在表面（z=0）最大，为 −p_max。但真正"撕裂"材料的剪切应力在表层下面某个深度最大。看上面的模拟器初始状态，p_max=1500 MPa、a=0.5 mm、ν=0.3、z/a=0.5：σ_z = −1200 MPa、σ_r = −270 MPa、τ_max = 465 MPa。图表中绿线（τ_max）的峰值在 z/a≈0.48 的位置。这就是地下剪切应力峰值。
🙋
为什么深度 0.48a 会是最大值？是从公式直接得出来的吗？
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对，从 Johnson "Contact Mechanics" 的弹性解自然得出。中心轴上，σz 和 σ_r=σ_θ 有各自不同的深度剖面。表面处两者基本相等（差很小），所以 τ_max 很小。但往深处，σ_z 下降缓慢，σ_r 快速趋于零。因此两者的差（τ_max=|σ_z−σ_r|/2）在中间位置达到峰值。改变"ν"滑块试试——只有 σ_r 那侧变化，峰值位置也会略微移动。ν=0.5 时约在 0.55a，ν=0 时约在 0.38a。
🎓
滚动接触疲劳（RCF）的起点就是这个应力。每当钢球通过一次，表层下 0.48a 位置的剪切应力就脉冲一次。重复 10^6～10^9 次后，该深度会产生微小裂纹。裂纹向表面延伸，最后导致金属片剥落——这就是轴承的"剥落"，齿轮的"点蚀"。实际设计中要保持 p_max ≤ 1.5～3 GPa，τ_max 不超过屈服应力的一半。同时，那个深度有非金属夹杂物（比如 MnS）会加速裂纹产生，所以高寿命轴承用超净钢（VIM-VAR 等）。
常见问题
是的，不同。球接触时 τmax/p_max ≈ 0.31 在 z/a ≈ 0.48 处发生，而圆柱线接触（2D 赫兹）的 τmax/p_max ≈ 0.30 在深度 z/b ≈ 0.78（b 为接触半宽）处发生。线接触的剪切峰值更深，因此轴承滚柱的破坏起点通常比球轴承更深。本工具专用于球接触；线接触请参考另外的圆柱模式工具。
在纯滚动（无摩擦）的理想赫兹解中峰值在 z/a≈0.48，但当有滑动或切向力（牵引力）时，最大剪切应力位置向表面移动。当摩擦系数 μ≈0.3 时，τmax 可能达到表面，导致"表面起源"点蚀或微点蚀。齿轮设计中用膜厚比 Λ 来判断是表面下起源还是表面起源为主。
传统 RCF 寿命理论（Lundberg–Palmgren）用最大剪切应力 τmax 或正交剪切应力 τ0。新近理论（Ioannides–Harris、ISO 281 寿命修正系数）采用冯·米塞斯应力或应力体积积分。作为第一近似，控制 τmax/p_max ≈ 0.31（球接触，ν=0.3）不超过一定值，则冯·米塞斯也约 0.62·p_max 以下，处于屈服应力的安全侧。本工具显示最基础的 τmax。
实际应用
滚动轴承寿命设计：钢球轴承和滚柱轴承中，转动体与内外圈接触产生的地下剪切应力 τmax 是疲劳裂纹的起点。Lundberg–Palmgren 理论或 ISO 281 标准根据 τmax（或 τ0）的深度分布和旋转次数来预测 L10 寿命。用本工具改变 p_max，观察 τmax 的变化，可以直观地把握接触应力设计对寿命的影响。
齿轮齿面点蚀评估：齿轮啮合面是接近线接触的赫兹应力场。深度 0.5b 附近产生的剪切应力峰值是典型点蚀（坑状表面剥离）的起点。AGMA/JIS 齿轮强度计算通过比较表面压（接触应力）与材料疲劳强度来确定安全系数，背后就是本工具所示的地下应力理论。
凸轮-从动件机构磨损分析：内燃机凸轮与摇臂、机械压床凸轮机构等反复线接触的机械元素中，滑动和滚动并存，表面起源和地下起源损伤模式都会出现。从地下应力解析入手，叠加润滑膜厚和表面粗糙度影响，进行损伤预测。
铁路车轮-轨道接触：车轮踏面与轨道头部是典型赫兹接触，p_max 达到 1～2 GPa。轨道顶面下数毫米处产生 τmax，是轨道内部疲劳断裂（细节裂纹、横向缺陷）的起点。轨道寿命预测与维护计划以本工具等价的应力分析为基础。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"最大应力＝最大破坏风险"。确实最大压缩应力 σz=−p_max 在表面 z=0 处发生，但纯压缩对金属破坏贡献几乎为零。延性金属的破坏由"剪切"引起，τmax 在表面下 z≈0.48a 处最大。仔细观察模拟器的绿线——表面处 τ_max 较小，深度 0.48a 处形成山峰，之后逐渐衰减。决定疲劳破坏起点的不是"哪里被压得最强"，而是"哪里被剪切得最强"。
其次，本工具仅显示"中心轴 (r=0)"上的应力，勿忘此点。实际接触应力场是 3D 的，接触圆边缘 (r=a, z=0) 有拉伸应力（最大拉伸在表面，沿径向扩散），这是圆锥裂纹（陶瓷、玻璃破坏模式）和表面起源疲劳的原因。另外，转动和滑动时 τmax 向表面移动。本工具展示的是"纯滚动、无摩擦、中心轴"的理想情况；实际机器上还要叠加摩擦、滑动、残余应力、材料夹杂物等因素。
最后，要意识到赫兹弹性解的适用限界。赫兹理论假设完全弹性体、光滑表面、接触面很小（a≪R）。当 p_max 超过屈服应力约 1.6 倍（球接触塑性开始条件 p_max ≈ 1.60·σ_y，Tabor）时，材料屈服，应力重新分配。钢铁的情况下 p_max > 4～5 GPa 进入塑性区是粗略参考值。本工具可调 p_max 至 5000 MPa，但对构造钢而言，实机已进入屈服范围，结果应理解为"如果完全弹性"的参考值。