参数设置
球接触中心轴（r=0）上的弹性应力解（Johnson, Contact Mechanics）。表面 z=0 处 σz=−p_max。
中心轴上的应力深度分布 σ_z、σ_r、τ_max
横轴=z/a / 纵轴=stress/p_max（红=σ_z、蓝=σ_r、绿=τ_max、橙虚线=τ_max 峰值位置 0.48、黄虚线=当前评价深度）
理论与主要公式
赫兹球接触中心轴（r=0）上的应力。a 是接触半径，p_max 是表面最大接触应力，ν 是泊松比，z 是深度：
$$\frac{\sigma_z}{p_{\max}} = -\frac{1}{1+(z/a)^2}$$
径向（=周向）应力：
$$\frac{\sigma_r}{p_{\max}} = (1+\nu)\!\left[\frac{z}{a}\arctan\!\frac{a}{z}-1\right] + \frac{1}{2}\frac{1}{1+(z/a)^2}$$
中心轴上的最大剪应力（主应力差的一半）：
$$\tau_{\max} = \frac{|\sigma_z - \sigma_r|}{2}$$
ν=0.3 时，τ_max/p_max ≈ 0.31 出现在深度 z*/a ≈ 0.48 处，这里是滚动接触疲劳（点蚀与剥落）的起源位置。
赫兹接触次表面应力模拟器是什么
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钢球在轴承里滚的时候，是表面被压得最厉害对吧？那不是应该从表面开始坏吗？
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直觉上是这样，但其实正好相反。没错，压应力 σz 在表面（z=0）最大，为 −p_max。但真正能撕裂材料的「剪应力」却出现在表面下方一点点的位置。看上面的模拟器，p_max=1500 MPa、a=0.5 mm、ν=0.3、z/a=0.5 的初始状态，应该显示 σ_z = −1200 MPa、σ_r = −270 MPa、τ_max = 465 MPa。绿线（τ_max）的山峰大约在 z/a≈0.48 处——这就是次表面剪应力峰值。
🙋
为什么正好在 0.48a 处最大？这能从公式里自然推出来吗？
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是的，从 Johnson《接触力学》的弹性解直接得到。在中心轴上，σz 与 σ_r=σ_θ 各有不同的深度分布。表面处两者几乎相等（差很小），所以 τ_max 很小。但稍微往下，σ_z 缓慢下降，而 σ_r 迅速趋近于零。因此两者之差（τ_max=|σ_z−σ_r|/2）在中间深度处达到峰值。调节「ν」滑块，σ_r 一侧会变化，峰值位置也会移动。ν=0.5 时大约在 0.55a，ν=0 时大约在 0.38a。
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这就是滚动接触疲劳（RCF）的起源。钢球每滚过一次，次表面 0.48a 附近就会出现一次脉冲式剪应力。重复 10^6～10^9 次后，那个深度产生微裂纹。裂纹向表面扩展，最终金属片剥落——这就是轴承的「剥落」、齿轮的「点蚀」。实务中我们把 p_max 控制在 1.5～3 GPa 以下，让 τ_max 不超过屈服应力的一半。另外，如果该深度处有非金属夹杂物（如 MnS），会加速裂纹萌生，所以长寿命用途会使用高洁净度的轴承钢（如 VIM-VAR）。
常见问题
是的。球接触中 τmax/p_max ≈ 0.31 出现在 z/a ≈ 0.48，而圆柱的线接触（二维赫兹）中 τmax/p_max ≈ 0.30 出现在 z/b ≈ 0.78（b 是接触半宽）。线接触的剪应力峰值更深，因此滚柱轴承的破坏起源比球轴承更深。本工具专用于球接触，线接触请参考 hertz-contact.html 的圆柱模式。
纯滚动（无摩擦）的理想赫兹解中，峰值在 z/a≈0.48。加入滑动或切向力（牵引力）后，最大剪应力位置向表面移动。摩擦系数 μ≈0.3 左右时，τmax 到达表面，引起「表面起源」的点蚀或微点蚀。齿轮设计中用润滑膜厚比 Λ 判断次表面起源与表面起源哪个占主导。
经典 RCF 寿命理论（Lundberg–Palmgren）使用最大剪应力 τmax 或正交剪应力 τ0。现代理论（Ioannides–Harris、ISO 281 寿命修正系数）采用冯·米塞斯应力或应力体积积分。作为设计初步原则，把 τmax/p_max ≈ 0.31（球接触, ν=0.3）控制在允许值以下，则冯·米塞斯应力也在约 0.62·p_max 以下，处于屈服安全侧。本工具显示最基本的量 τmax。
现实应用
滚动轴承寿命设计：在球轴承和滚柱轴承中，滚动体与内外圈的接触所产生的次表面剪应力 τmax 是疲劳裂纹的起源。Lundberg–Palmgren 理论与 ISO 281 通过 τmax（或 τ0）的深度分布和回转次数预测 L10 寿命。在本工具中改变 p_max 并观察 τmax，可以直观感受设计接触应力对寿命的影响程度。
齿轮齿面的点蚀评估：齿轮啮合面承受接近线接触的赫兹应力反复作用。出现在深度 0.5b 附近的剪应力峰值，是典型点蚀（凹坑状表面剥离）的起源。AGMA / JIS 齿轮强度计算通过比较表面压力（接触应力）与材料疲劳强度来求安全系数，但其背后正是本工具所展示的次表面应力理论。
凸轮-从动件机构的磨损分析：内燃机的凸轮与摇臂、机械压力机的凸轮机构等反复线接触的机械元件中，滑动和滚动混合，表面起源和次表面起源两种损伤模式同时出现。次表面应力分析是出发点，再叠加润滑膜厚和表面粗糙度的影响来预测损伤。
铁路车轮-钢轨接触：车轮踏面与轨头的接触是典型的赫兹接触，p_max 可达 1～2 GPa。轨头下方数毫米处出现 τmax，是钢轨内部疲劳破坏（detail fracture、横向缺陷）的起源。在钢轨寿命预测和维护计划中，与本工具等价的应力分析被日常使用。
常见误解与注意点
最常见的误解是把「最大应力＝最大破坏风险」简单短路。最大压应力 σz=−p_max 确实出现在表面 z=0，但纯压缩对金属破坏几乎没有贡献。让延性金属破坏的是「剪切」，而剪应力 τmax 在表面下方略深处 z≈0.48a 达到峰值。请仔细观察模拟器中的绿色曲线——表面处 τ_max 很小，在深度 0.48a 形成山峰，然后缓慢衰减。决定疲劳破坏起源的不是「哪里被压得最厉害」，而是「哪里被剪得最厉害」。
其次，请不要忘记本工具仅显示「中心轴上 (r=0)」的应力。实际接触应力场是三维的，接触圆边缘 (r=a, z=0) 处会产生拉应力（最大拉应力在表面、沿径向延伸），这是陶瓷与玻璃锥裂、表面起源疲劳的原因。当存在滚动或滑动时，τmax 还会向表面移动。本工具显示的是「纯滚动、无摩擦、中心轴上」的理想情况，实机还会叠加摩擦、滑动、残余应力和材料夹杂的影响。
最后，请注意赫兹弹性解的适用极限。赫兹理论假设完全弹性体、光滑表面和接触面小（a≪R）。当 p_max 超过屈服应力的约 1.6 倍（球接触的塑性开始条件 p_max ≈ 1.60·σ_y，Tabor）时，材料屈服，应力分布将重新分配。对钢而言，p_max > 4～5 GPa 已进入塑性区。本工具允许 p_max 设置到 5000 MPa，但构造用钢实机中该值已达到屈服领域，结果应作为「若完全弹性则」的参考值来解读。