空心圆柱截面特性：
$$I = \frac{\pi}{64}(D_o^4 - D_i^4), \quad J = \frac{\pi}{32}(D_o^4 - D_i^4)$$
弯曲：$\sigma = \dfrac{M \cdot c}{I}$，压缩：$\sigma = \dfrac{F}{A}$，扭转：$\tau = \dfrac{T \cdot r}{J}$
S-N疲劳（皮质骨）：$\sigma_a = \sigma_f (2N)^b$（$\sigma_f \approx 150$ MPa, $b \approx -0.07$）
骨质疏松修正：$\sigma_{ult,OP}= \sigma_{ult}\times (1 + 0.15 \times T\text{值})$
什么是Fracture风险与骨强度疲劳
🙋
这个计算器说能算Fracture风险，骨头不是活的吗，怎么像算钢管一样算它会不会断？
🎓
问得好！简单来说，虽然骨头是活的，会自我修复，但从力学角度看，它和一根空心钢管很像，都要承受日常的力。比如你走路、跑步，大腿骨（股骨）就像一根梁在弯曲。这个工具就是把你的骨头尺寸（外径、内径）输进去，再告诉它你承受了多大的力或弯矩，它就能算出骨头内部的应力有多大。你试着在模拟器里把“外径”调小一点，马上就能看到计算出的应力值飙升，这就是为什么骨质疏松、骨头变“薄”后更容易Fracture。
🙋
诶，真的吗？那旁边还有个“T值”是干嘛的？我看说明里说骨质疏松会影响强度。
🎓
T值就是医生用来诊断骨质疏松的关键指标。在实际工程中，我们不能用健康骨头的强度去算一个骨质疏松病人的Fracture风险。所以这个工具做了一个很实用的修正：骨质疏松越严重（T值越小），骨头的极限强度就越低。公式是 $\sigma_{ult,OP}= \sigma_{ult}\times (1 + 0.15 \times T值)$。你可以在模拟器里把T值从0调到-3，看看“安全系数”那个条会怎么变化，一下子就明白骨质疏松对骨强度的巨大影响了。
🙋
哦！那“疲劳”又是什么意思？难道走路走多了，骨头也会像金属一样“累”坏吗？
🎓
没错，就是这个意思！工程现场常见的是，很多零件不是被一次大力弄断的，而是被反复的小力“磨”坏的，这叫疲劳。骨头也一样，你每天走一万步，骨头就承受了一万次微小的循环应力。这个工具用了一个叫S-N曲线的模型来预测疲劳寿命，公式是 $\sigma_a = \sigma_f (2N)^b$。你改变“应力幅”那个滑块，比如从60 MPa调到120 MPa，下面预测的“疲劳寿命”会从接近无限次骤降到只有几万次循环，非常直观。这解释了为什么突然增加运动强度（应力幅增大）容易导致疲劳性Fracture。
物理模型与关键公式
首先，我们将皮质骨简化为一个空心圆柱梁模型。它的截面特性决定了其抵抗弯曲和扭转的能力，其中惯性矩 I 对抗弯至关重要，极惯性矩 J 则对抗扭。
$$I = \frac{\pi}{64}(D_o^4 - D_i^4), \quad J = \frac{\pi}{32}(D_o^4 - D_i^4)$$
$D_o$ 和 $D_i$ 分别是骨的外径和内径（髓腔直径）。$I$ 值越大，骨头在弯曲时越不容易变形。
基于上述截面特性，我们可以计算骨头在各类载荷下的应力。这是评估其是否会发生屈服或断裂的基础。
$$\sigma_{bending}= \frac{M \cdot c}{I}, \quad \sigma_{compression}= \frac{F}{A}, \quad \tau_{torsion}= \frac{T \cdot r}{J}$$
$M$ 为弯矩，$c$ 为到中性轴的最大距离（通常为 $D_o/2$）；$F$ 为轴向压力，$A$ 为横截面积；$T$ 为扭矩，$r$ 为半径。计算出的应力需要与骨的强度（如170 MPa）比较。
为了评估骨骼在反复载荷下的长期耐久性，我们使用疲劳S-N曲线模型。该模型描述了应力幅与导致破坏的循环次数之间的关系。
$$\sigma_a = \sigma_f (2N)^b$$
$\sigma_a$ 是循环应力幅，$N$ 是到破坏的循环次数，$\sigma_f$ 是疲劳强度系数（约150 MPa），$b$ 是疲劳强度指数（约-0.07）。应力幅越低，寿命越长；当应力幅低于疲劳极限（约60 MPa）时，理论上寿命无限。
现实世界中的应用
临床Fracture风险评估：医生可以结合患者的骨密度T值、年龄、BMI以及日常活动估算的载荷，使用此工具量化患者未来10年的Fracture风险。例如，为一位患有骨质疏松的老年女性计算其髋部在跌倒时的应力是否超过骨的强度极限，从而制定预防策略。
骨科植入物设计：在设计Fracture固定钢板或髓内钉时，工程师需要确保植入物本身强度的同时，也要评估其对骨骼的应力遮挡效应。通过对比植入前后骨骼的应力水平，可以优化植入物刚度和设计，避免因应力过低导致骨骼萎缩。
运动医学与训练计划制定：运动员，尤其是跑步和跳跃项目选手，存在疲劳性Fracture风险。运动医学专家可以利用此工具，根据运动员的骨骼几何尺寸和训练强度（应力幅），估算其骨骼的疲劳寿命，从而科学安排训练与恢复周期。
生物力学研究与仿真前处理：在进行复杂的有限元分析前，研究者可以使用此工具快速进行参数研究和灵敏度分析。比如，快速计算不同髓腔直径（内径）对股骨颈弯曲强度的贡献，为后续详细的3D仿真确定关键参数范围。
常见误解与注意事项
开始使用此工具时，有几个需要注意的要点。首先，认为“计算出的安全系数大于1就绝对不会Fracture”是危险的。该计算仅基于“静态”和“简单载荷形式”的假设。实际人体中会存在意想不到的扭转、冲击和重复载荷的组合作用。例如，即使安全系数为2.0，在冰面滑倒用手支撑时产生的复合应力也可能瞬间进入危险区域。
其次，参数输入值的现实性。极端改变外径或内径时，计算上可能产生极其脆弱或强韧的骨骼，但实际成人长管骨（如股骨）的皮质骨厚度通常在数毫米左右。例如，将外径30mm的股骨内径设为28mm（皮质骨厚度1mm），就能直观感受到刚度和强度会低于视觉预期。对照临床数据，在合理范围内调整参数是加深理解的捷径。
最后，“疲劳寿命”的解读。这里显示的“寿命”是指在该应力幅值下骨骼完全断裂前的循环次数。但活体骨骼是生命组织，破坏与修复（重塑）同时发生。即使每天跑步产生一万次冲击，只要修复能跟上就无妨。反之，在修复能力下降（营养不良或衰老）状态下持续施加接近该“疲劳寿命”的负荷，才意味着疲劳Fracture风险真正升高。