参数设置
CFL 条件：$\mathrm{CFL} = u\,\Delta t/\Delta x \le \mathrm{CFL}_\mathrm{max}$。典型上限：Forward Euler / Lax-Wendroff 为 $\mathrm{CFL}_\mathrm{max} = 1.0$，RK4 约为 2.06。
1D 网格与信号传播
蓝色方框＝宽度为 $\Delta x$ 的空间网格／黄箭头＝一个步长内信号移动的距离 $u\,\Delta t$／绿＝CFL ≤ 1 稳定／红＝CFL > 1 跨越网格的不稳定。箭头超过一个网格时显式格式破坏。
稳定性图（CFL 与裕度）
横轴 CFL ∈ [0, 3]／纵轴 稳定裕度 $\mathrm{CFL}_\mathrm{max} - \mathrm{CFL}$／绿带＝稳定区（CFL < 0.9·CFL_max）／黄带＝临界区／红带＝不稳定区（CFL > CFL_max）／黄●＝当前 CFL。
理论与主要公式
Courant（CFL）数的定义：
$$\mathrm{CFL} = \frac{u\,\Delta t}{\Delta x}$$
显式格式的稳定条件与允许的最大 $\Delta t$、$u$：
$$\mathrm{CFL} \le \mathrm{CFL}_\mathrm{max},\quad \Delta t_\mathrm{max} = \frac{\mathrm{CFL}_\mathrm{max}\,\Delta x}{u},\quad u_\mathrm{max} = \frac{\mathrm{CFL}_\mathrm{max}\,\Delta x}{\Delta t}$$
稳定裕度（为负则不稳定）：
$$\mathrm{margin} = \mathrm{CFL}_\mathrm{max} - \mathrm{CFL}$$
$u$ 为移流速度 [m/s]，$\Delta t$ 为时间步长 [s]，$\Delta x$ 为空间步长 [m]，$\mathrm{CFL}_\mathrm{max}$ 是格式专属的稳定上限（Forward Euler 与 Lax-Wendroff 为 1.0，RK4 约 2.06）。显式时间积分要求 $\mathrm{CFL} \le \mathrm{CFL}_\mathrm{max}$ 才能保证稳定。
什么是 CFL 数
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CFD 教材里总说「CFL 超过 1 就会发散」，CFL 到底是什么？为什么阈值是 1？
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Courant 数 $\mathrm{CFL} = u\,\Delta t/\Delta x$ 就是「一个时间步内信号传播的距离 $u\,\Delta t$」与「网格宽 $\Delta x$」的比值。取本工具的默认值（$u=10$ m/s、$\Delta t=1.00$ ms、$\Delta x=10.0$ mm），$u\,\Delta t = 10 \cdot 10^{-3} = 10$ mm，恰好一个网格，CFL = 10/10 = 1.000，这是「临界点」。再大一点，显式格式就会发散。
🙋
把 $\Delta t$ 调到 2 ms 后 CFL = 2.000，指示器变红「不稳定」。实际求解器里会怎样？
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数值解会指数发散——波幅在几步内增长几个数量级，振荡停不下来，很快出现 Inf 或 NaN。原因是 Forward Euler 的放大因子 $|1 - \mathrm{CFL}| > 1$，每步都会放大误差。这是 von Neumann 稳定性分析的结论，源头就是 1928 年 Courant-Friedrichs-Lewy 的原始论文。
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把 $\Delta x$ 加倍到 20 mm，CFL 降为 0.500、指示器变绿。也就是网格越细，时间步也必须越小？
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没错，这就是「CFL 陷阱」。$\Delta x$ 减半的同时 $\Delta t$ 也要减半，1D 计算量按 $\Delta x^{-2}$ 增长，3D 按 $\Delta x^{-4}$。这就是 DNS（直接数值模拟）成本极高的根本原因，也是 LES、RANS 等湍流模型受欢迎的理由——它们放宽了分辨率要求。
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把 CFL_max 加到 2.06 后，CFL = 1.000 也变成绿色「稳定」。这就是 RK4 吗？
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是的。RK4 是四阶段高阶格式，对移流的有效稳定区域延伸到约 CFL = 2.06。可压 DG-FEM、谱元法等常用 RK4 或 TVD-RK3。代价是每步要算 4 次函数值，约为 Lax-Wendroff 的 2 倍。工程实践就是在稳定区域大小与单步成本之间权衡选择。
常见问题
多维情形要求各方向 CFL 之和受约束。2D 移流为 $\mathrm{CFL}_x + \mathrm{CFL}_y = u\,\Delta t/\Delta x + v\,\Delta t/\Delta y \le 1$，3D 为三方向之和 ≤ 1。等距网格上 $u = v = w$ 时 3D 的 $\Delta t$ 只有 1D 的 1/3。Strang 分裂（维度分裂）能恢复各方向独立的 CFL，但最严苛的方向仍主导 $\Delta t$。高阶格式（Lax-Wendroff、MacCormack、RK4）能略微放宽 $\mathrm{CFL}_\mathrm{max}$，但方向求和约束是显式多维积分的本质属性。
对流扩散方程 $\partial \phi/\partial t + u\,\partial \phi/\partial x = \nu\,\partial^2 \phi/\partial x^2$ 同时受两个约束：对流 $\mathrm{CFL} = u\,\Delta t/\Delta x \le 1$ 与扩散 $d = \nu\,\Delta t/\Delta x^2 \le 0.5$（一阶显式）。另有联合条件 $\mathrm{CFL}^2 \le 2d$，由两者中更严的一方决定。对流主导（高 Re）由 CFL 决定，扩散主导（低 Re）由 d 决定。IMEX（隐显混合）格式将扩散项隐式处理、对流项显式处理，只剩对流的 CFL 约束。
可压缩 Euler / Navier-Stokes 用 $|u| + a$（$a$ 为当地声速）作为特征速度，$\mathrm{CFL} = (|u| + a)\,\Delta t/\Delta x \le 1$。亚音速流场（$M = u/a \ll 1$）中声速主导，导致 $\Delta t$ 大幅缩小——这是低马赫可压缩 CFD 的难点之一。例：空气 $u = 10$ m/s、$a = 340$ m/s 时，特征速度为 350 m/s，$\Delta x = 10$ mm 对应 $\Delta t \le 28.6$ μs。常用预处理（Turkel、Choi-Merkle）或基于压力的不可压求解器来缓解。
每步在所有网格上计算最大 CFL，按目标 CFL_target（典型 0.5〜0.8）调整下一步：$\Delta t_\mathrm{new} = \mathrm{CFL}_\mathrm{target}/\mathrm{CFL}_\mathrm{current} \cdot \Delta t_\mathrm{current}$。OpenFOAM 的 adjustTimeStep、ANSYS Fluent 的 CFL-based time step、SU2 均采用此思路。为保持 BDF2 的二阶精度，单步变化通常限制在 1.2 倍以内，并对 $\Delta t$ 设置上下限，以应对激波形成或边界条件突变带来的 CFL 剧烈波动。
实际应用
商用 CFD 软件中的时间步长设计：ANSYS Fluent、STAR-CCM+、OpenFOAM、SU2 等主流 CFD 求解器都在内部监控 CFL。可压缩流场、爆炸冲击分析常用显式格式并设 CFL = 0.3〜0.7；定常不可压缩流场则用隐式格式取 CFL = 5〜100 加速收敛。以本工具默认值（$u = 10$ m/s、$\Delta x = 10$ mm）为例，允许的最大 $\Delta t = 1$ ms，可推导出 LES 计算中 CFL_target = 0.5 时常用 $\Delta t \approx 0.5$ ms。
气象与海洋模型的超算运行：WRF（美国数值天气预报）、MPAS、NICAM（日本全球非静水力学模型）等都是典型的显式 CFD，其计算成本基本由 CFL 决定。水平 $\Delta x = 1$ km、风速 50 m/s 时 $\Delta t$ 限制为 20 秒，即使在「地球模拟器」或「富岳」上，24 小时预报也需要数小时墙钟时间。
地震波传播与 FDTD 电磁分析：FDTD（时域有限差分）法广泛用于电磁、地震波与声学分析，其 Courant 条件为 $c\,\Delta t \le \Delta x/\sqrt{N}$（$N$ 为空间维度、$c$ 为波速）。3D FDTD 要求 $c\,\Delta t \le \Delta x/\sqrt{3} \approx 0.577\,\Delta x$，对光速（$c \approx 3 \times 10^8$ m/s）与 1 mm 网格，$\Delta t \le 1.93$ ps。这正是 RF 与天线分析中网格不能任意细化的根本原因。
冲击波与爆炸模拟（ALE、SPH）：LS-DYNA、AUTODYN、Abaqus/Explicit 等水力学软件以「声速 + 粒子速度」作为特征速度，激波附近局部 CFL 会剧增。工程实践中常将 CFL_target 保持在 0.6〜0.7，并结合自适应网格细化（AMR）跟踪激波。鸟撞、汽车碰撞、防爆建筑等都依赖此类格式。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为 「只要 CFL ≤ 1 就一定准确」。CFL 是稳定的必要条件，而非精度保证。CFL = 0.001 会带来很大的数值耗散，抹平尖锐波形。事实上，Lax-Wendroff 等二阶格式的波形保留性在 CFL = 0.7〜1.0 附近最好。务必将网格分辨率（$\Delta x$）与时间步长（$\Delta t$）综合权衡——稳定 ≠ 精度。
其次是 「隐式格式可以随便加大 $\Delta t$」 的误解。Backward Euler 与 BDF2 是无条件稳定的，但过大的 $\Delta t$ 会让数值耗散占主导，抹除非定常涡结构。LES 计算中 $\Delta t$ 必须小于关心的最小时间尺度（Kolmogorov 尺度），通常 CFL = 1〜5；定常求解可放宽到 100。在采用隐式格式前务必做时间步收敛验证（$\Delta t$ 减半看结果是否变化）。
第三是 「CFL 是线性理论，对非线性问题无关紧要」 的误解。Burgers 方程或 Euler 方程等非线性对流问题，会在激波附近导致特征速度局部剧增，从而抬高有效 CFL。工业代码常保守地取 CFL = 0.3〜0.5，并使用 $(|u| + a)\,\Delta t/\Delta x$ 而非线性 $u\,\Delta t/\Delta x$。本工具的线性定义足够教学，但用于工业计算前请务必查阅求解器内部的具体 CFL 定义。