通过调整传递函数参数，实时生成增益曲线和相位曲线。直观体验增益裕度、相位裕度和稳定性判别。
增益曲线 (Gain Plot)
相位曲线 (Phase Plot)
$$G(j\omega) = |G(j\omega)| e^{j\angle G(j\omega)}$$
频率响应：复数表示。增益 \(|G|\)（dB）和相位 \(\angle G\)（deg）随频率变化。
$$|G(j\omega)|_{dB} = 20\log_{10}|G(j\omega)|$$
增益（dB）转换公式。0 dB为1倍，20 dB为10倍，−20 dB/dec为一阶滞后斜率。
$$G_M = -|G(j\omega_{pc})|_{dB}, \quad P_M = 180°+\angle G(j\omega_{gc})$$
增益裕度 \(G_M\)（在相位交叉频率处）和相位裕度 \(P_M\)（在增益交叉频率处的稳定余量）。
环路成形（Loop Shaping）手法会以伯德图为基础，设计补偿器以满足目标带宽、相位裕度和增益裕度。PID调整、铅滞补偿、凹陷滤波器设计等广泛应用。
伯德图在传递函数已稳定的系统（最小相位系统）上直观展示稳定余裕。奈奎斯特图是更通用的稳定判别法，即使有不稳定极点也能用。实际工程中两者都用，但伯德图更直观。
分贝（dB）= 20log₁₀(增益比)，用于表示电压、速度等幅度量。增益2倍≈6dB，10倍=20dB，0.1倍=-20dB。功率比用10log₁₀。
从CAE生成的柔性结构频率响应函数（FRF）可以画成伯德图，供控制系统设计参考。机器人和航天器等"柔性结构模态控制"设计中常用这种方法。
以传递函数 \( G(s) = \frac{K \omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2} \) 为基础模型，通过滑块调整比例增益 \( K \)、固有角频率 \( \omega_n \)、阻尼比 \( \zeta \)。在这个二阶系统的基础上，还可串联一阶滞后元件 \( \frac{1}{Ts+1} \) 和滞后时间元件 \( e^{-Ls} \)，分析复合频率响应。增益曲线绘制 \( 20 \log_{10}|G(j\omega)| \)，相位曲线绘制 \( \angle G(j\omega) \)，自动检测增益交叉频率 \( \omega_{gc} \) 和相位交叉频率 \( \omega_{pc} \)。例如当 \( K=10, \zeta=0.3 \) 时，增益裕度 \( G_m = -20 \log_{10}|G(j\omega_{pc})| \) 约6dB，相位裕度 \( \phi_m = 180^\circ + \angle G(j\omega_{gc}) \) 约30°，直观呈现稳定性指标。让学生和工程师能直观理解参数调整与稳定性的因果关系。
工业中的实际应用
汽车行业中，电动助力转向（EPS）的电动机控制系统设计会用到本模拟器。通过实时观察增益裕度和相位裕度，调整转向助力的响应稳定性。丰田、日产等车企在实车试验前通过本工具进行参数预优化，降低了试验次数。在工业机器人伺服电动机控制中，也用模拟器补偿负载变化导致的相位延迟。
教学和研究
大学制控实验课中，学生用本工具直观理解伯德图理论，观察PID参数变化对增益裕度的影响，体感式学习稳定判别（与奈奎斯特判别法的联系）。无人机姿态控制研究中，设计人员在模拟器上试验相位补偿器效果，再与实机对比验证。
和CAE分析的关联
从MATLAB/Simulink或ANSYS等工程软件得到的传递函数模型，可直接导入本模拟器进行稳定性评估。例如机械振动分析得出的传递函数输入模拟器，设计者快速调整增益以满足6dB增益裕度要求，再驱动硬件试验。这种流程已成为行业标准做法。
很多人认为"增益始终小于0dB就稳定"，实际上需要同时检查增益裕度和相位裕度。即使增益曲线在0dB以下，如果相位交叉频率处的增益不足以形成正的增益裕度，系统仍可能不稳定。而且现实系统中噪声和非线性会影响稳定性，不能完全依赖仿真结果。
有人误认为"相位裕度为正就必然稳定"。对于非最小相位系统或含大滞后的系统，增益曲线可能穿过0dB多次，此时相位裕度的定义模糊，容易误判。需要同时看增益裕度。
常见错误是"模拟器显示稳定，实机就一定稳定"。现实的传感器噪声、执行器饱和、温度漂移等线性模型未考虑的因素，会影响实际稳定性。伯德图基于线性近似，高频的寄生参数也被忽略了。必须为实现增设足够的安全余裕。
电动机速度控制系统：设K=5、τ=0.1秒、K2=2、ωn=10rad/s。在100Hz（约628rad/s）的交叉频率处，增益裕度GM=6dB、相位裕度PM=45°。钢制齿轮减速机（转动惯量0.05kg·m²）情况下，开环增益20dB可实现过渡响应时间0.4秒以下。反之，相位裕度低于20°时极限环振荡风险增加。