参数设置
等熵流动关系：
$$\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
$$\frac{P_0}{P}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\!\gamma/(\gamma-1)}$$
$$\frac{A}{A^*}=\frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\!(\gamma+1)/[2(\gamma-1)]}$$
正激波（Rankine-Hugoniot）：
$$M_2=\sqrt{\frac{M_1^2(\gamma-1)+2}{2\gamma M_1^2-(\gamma-1)}}$$
$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{2\gamma M_1^2-(\gamma-1)}{\gamma+1}$$
什么是可压缩流动与马赫数
🙋
老师，总听人说“马赫数”，它到底是个啥？和速度有啥区别？
🎓
简单来说，马赫数（M）就是物体速度与当地声速的比值。它衡量的是空气的“可压缩性”。比如飞机速度是340米/秒，当地声速也是340米/秒，那马赫数就是1。你可以在模拟器里把马赫数M₁从0.3拖到3试试，你会发现当M<1时是亚音速，M>1时就是超音速，流动性质会发生剧变！
🙋
诶，真的吗？那为什么超音速飞机前面会有一道“白雾墙”（激波）？这和马赫数有什么关系？
🎓
问得好！那堵“墙”就是激波。当物体以超音速飞行时，前面的空气来不及“躲开”，被剧烈压缩和加热，形成一道很薄的波面。在实际工程中，比如导弹或航天飞机再入大气层时，头部就会产生强烈的弓形激波。你试着在模拟器里把马赫数调到2以上，然后看看“正激波”相关的参数，比如激波后的压力P₂会突然跳升好几倍，这就是激波压缩的效果。
🙋
原来如此！那旁边还有个叫“比热比γ”的参数是干嘛的？空气不都是一样的吗？
🎓
γ（伽马）是气体的一个关键属性，等于定压比热容除以定容比热容。它决定了气体被压缩或膨胀时，温度和压力变化的“剧烈程度”。比如，对于常温空气，γ≈1.4；但对于火箭发动机喷出的高温燃气，或者氦气这样的单原子气体，γ就不同。你可以在模拟器里把γ从1.4改成1.67（模拟氦气），再看看同样的马赫数下，温度比T/T₀和压力比P/P₀的变化曲线，会发现曲线形状都变了！这对设计不同工质的发动机至关重要。
物理模型与关键公式
等熵流动关系（核心）：描述气流在绝热、无摩擦（熵不变）条件下，马赫数如何影响温度、压力和密度。这是分析喷管、风洞的基础。
$$\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$$
$$\frac{P_0}{P}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\!\gamma/(\gamma-1)}$$
$$\frac{\rho_0}{\rho}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\!1/(\gamma-1)}$$
其中，$T_0, P_0, \rho_0$ 是气流速度降为零时的“总温”、“总压”、“总密度”（也叫驻点参数）。$T, P, \rho$ 是当地的实际参数。$\gamma$ 是比热比，$M$ 是马赫数。
正激波关系（Rankine-Hugoniot方程）：描述气流垂直通过一道无限薄的激波时，参数发生的突跃变化。这是一个不可逆过程，总压会下降（熵增）。
$$M_2 = \sqrt{\frac{M_1^2(\gamma-1)+2}{2\gamma M_1^2 - (\gamma-1)}}$$
$$\frac{P_2}{P_1}= \frac{2\gamma M_1^2 - (\gamma-1)}{\gamma+1}$$
其中，下标 $1$ 和 $2$ 分别代表激波前和激波后的状态。$M_1$ 必须大于1（超声速），而 $M_2$ 必然小于1（亚声速）。
现实世界中的应用
航空航天发动机喷管设计：火箭和喷气式发动机的尾喷管是收缩-扩张形的（拉瓦尔喷管）。工程师利用等熵流动中的 $A/A^*$（面积比）公式，精确设计喉部（$M=1$）和扩张段，确保气流能加速到设计马赫数（如 $M>5$），产生最大推力。
超音速飞行器与再入舱热防护：飞船或导弹以高超音速再入大气层时，前方会产生极强的弓形激波。激波后的气体温度极高（可达数千度）。通过正激波关系计算压力与温度跃升，是设计防热大底材料厚度和冷却系统的关键输入。
风洞试验与CFD仿真设置：在风洞中，通过测量静压和总压，利用等熵公式反推出实验段的马赫数。在CFD软件（如Fluent、OpenFOAM）中，这些公式用于设置超声速入口、出口和远场的边界条件，确保计算收敛且符合物理。
压气机与涡轮叶片流动分析：在航空发动机的压气机和涡轮中，气流速度很高，属于可压缩流动。叶片表面的局部区域可能达到跨音速甚至超音速，形成复杂的激波系。分析这些激波的位置和强度，对于提高效率、防止失速和喘振至关重要。
常见误解与注意事项
开始使用此工具时，有几个需要特别注意的要点。首先是“比热比γ并非固定值”。默认值1.4对应常温空气，但在例如喷气发动机内部的高温环境下γ会变小，而氩气则为1.67。若此值设置错误，特别是激波后的温度和压力计算结果会产生显著偏差。在实际工程中，务必先确认所处理流体及其温度范围再设定γ值，这是基本原则。
其次，请牢记“等熵流动终究是一种理想状态”。实际流道必然存在摩擦和热传导，因此计算得出的完美温降比（T/T₀）不会完全实现。例如在拉瓦尔喷管设计中，通常会在基于理想计算得到的形状上，额外增加考虑摩擦损失的“安全余量”。
最后，要正确理解斜激波“最大偏转角”的含义。在工具中将马赫数设为3、γ=1.4并逐渐增加偏转角θ时，大约在34度附近计算会失效。这表示“在此条件下物体无法弯曲得更尖锐”的极限。但实际工程中可能需要更大的弯曲角度吧？此时激波会从物体表面“分离”，产生更复杂的干涉波系。工具报错本身正是重要物理现象的信号。