参数设置
假设完全气体、绝热、一维、定常。仅当 M_1 ≥ 1 时衞撃波才成立。
衞撃波与上下游流动
左=上游（浅色、箭头长=高速）／中央竖线=衞撃波／右=下游（暖色、箭头短=低速）
各种比随 M_1 的变化 (P_2/P_1, T_2/T_1, M_2)
红=P_2/P_1（左轴）／橙=T_2/T_1（左轴）／蓝=M_2（右轴）／黄竖线=当前 M_1
理论与主要公式
在完全气体假设下，一维定常垂直衞撃波的兰金-于贡尼奥关系式由质量、动量和能量守恒推导。仅由上游马赫数 M_1 和比热比 γ 决定下游的所有状态。
下游马赫数 M_2（M_1 越大越接近 1/√((γ−1)/(2γ))）：
$$M_2^2 = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2}}$$
压力比（衞撃波强度）：
$$\frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_1^2 - 1\bigr)$$
密度比（M_1 → ∞ 时渐近至 (γ+1)/(γ−1)）和温度比：
$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)M_1^2}{2 + (\gamma-1)M_1^2}, \qquad \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{\rho_1}{\rho_2}$$
当 M_1 = 1 时衞撃波消失，M_1 越大不连续越强。仅在 M_1 > 1 的超音速区域有物理意义的解。
垂直衞撃波关系式模拟器简介
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在超音速战斗机的照片上，常常能看到机身周围有白色的圆锥形，那是衞撃波吧？
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完全对。那是斜衞撃波，但本质与这个"垂直衞撃波关系式"相同。气体以超音速流动时，某处必须将流速降低到音速以下，此时会产生薄的面状结构，压力、温度和密度在该面处急剧增加，马赫数从超音速跌落到亚音速。在模拟器上设定 M_1 = 2 时，你会看到下游变成 M_2 = 0.578。
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垂直衞撃波的情况下确实如此。看关系式 $M_2^2 = (1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2)/(\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2})$，M_1 越大，分母越大，M_2 越小。即便 M_1 → ∞，M_2 也只能降到 γ=1.4 时的 1/√7 ≈ 0.378。实际上，在模拟器中设定 M_1=5，你会看到 M_2 大约停留在 0.4 附近。
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看压力比和密度比的曲线，压力比在不断增长，但密度比好像增长到一定程度就不动了？
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观察得很好。密度比 ρ_2/ρ_1 的上限是 (γ+1)/(γ−1)，对 γ=1.4 来说最多只能增加 6 倍。而压力比与 M_1² 成正比，没有上限。因此在强衞撃波中会出现"压力高得离谱，但密度没那么高=温度异常升高"的情况。这就是为什么大气圈再入时飞行器表面会变成高温等离子体。
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顺便说一下，比热比 γ 从 1.20 到 1.67，为什么要调节这么宽的范围？
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单原子气体（氦、氩）的 γ ≈ 1.67，空气 γ ≈ 1.40，CO_2 等多原子分子约 γ ≈ 1.30，高温时发生解离和电离，有效 γ 会降到约 1.20。在再入数值模拟和燃烧室内衞撃波计算中，经常要改变 γ 参数。通过调节 γ，你可以看到在同样的 M_1 下，密度比上限会改变——γ=1.20 时最大可以增加 11 倍。
常见问题
当 M_1 = 1 时，衞撃波退化为厚度为零的"马赫波"，上下游没有差别。将 M_1 = 1 代入关系式得到 P_2/P_1 = 1、ρ_2/ρ_1 = 1、T_2/T_1 = 1、M_2 = 1，衞撃波不存在。物理上有意义的衞撃波解只存在于 M_1 > 1 的超音速区域。模拟器的滑块下限设为 1.05 就是基于这个原因。
由热力学第二定律禁止。若假设 M_1 < 1 时存在衞撃波，关系式的解会给出熵减少的方向，这在绝热系统中是不可能的。因此垂直衞撃波必定只能沿"超音速→亚音速"方向存在。反向的"膨胀衞撃波"也不存在，超音速时的加速只能通过普兰特尔-迈耶膨胀这样的连续过程来实现。
拉瓦尔（收缩-膨胀）喷嘴在设计条件下工作时，喉部后流动平稳加速至超音速；但当背压高于设计值时，喷嘴出口的超音速流必须降至亚音速以与高背压相匹配。此时膨胀部会产生垂直衞撃波，瞬间将流动降低至亚音速。背压降低时衞撃波位置向出口移动，足够低时衞撃波消失。
熵变由 Δs/R = ln[(P_2/P_1)·(ρ_1/ρ_2)^γ] 计算，衞撃波越强（M_1 越大）熵增越快。在 M_1 = 2、γ = 1.4 时，Δs/R ≈ 0.33，相应的总压损失为 P_02/P_01 = exp(−Δs/R) ≈ 0.72。M_1 = 3 时，Δs/R ≈ 1.04、总压比 ≈ 0.35，仅一个衞撃波就损失了超过一半的可用总压。
实际应用
超音速飞机与火箭喷嘴：战斗机和火箭推进系统在燃烧室生成高温高压气体，通过拉瓦尔喷嘴加速至超音速。在偏离设计工况运行时，膨胀部会产生垂直衞撃波，引起总压损失并降低推力。地面试验中看到的"激波钻石纹"是喷嘴出口压力与外界大气压不匹配导致的斜衞撃波和膨胀波的重复模式，垂直衞撃波关系式和斜衞撃波关系式（θ-β-M 关系）是设计的两个支柱。
大气圈再入防热设计：再入舱在高度50~80 km 以 M_1 ≈ 20~30 的极超音速冲入大气时，机头前方形成强的弓形衞撃波。在中心线应用垂直衞撃波关系式，滞止点温度可达数千至一万 K，空气发生解离和电离形成等离子体。防热系统（如烧蚀层、陶瓷隔热瓦）的设计需要精确预测衞撃波后的温度和压力，这是生死攸关的问题。
超音速进气口（吸气式）：喷气发动机压缩机只能在亚音速条件下工作，因此超音速飞行的飞机需要通过进气口将流动降速至亚音速。最简单的皮托型进气口用一个垂直衞撃波减速，但总压损失很大。SR-71 和协和式等采用多阶斜衞撃波逐级减速，最后才用一个弱垂直衞撃波落至亚音速，以最小化损失。
衞撃波管与爆炸传播：军事、航天和基础物理实验中广泛使用的衞撃波管（冲击管）通过隔膜分隔高压和低压侧，瞬间破裂隔膜在管内产生垂直衞撃波。利用垂直衞撃波关系式，选择隔膜压比和气体组分可以实现任意所需的 M_1，应用于极超音速燃烧、材料动态响应试验、星际衞撃波的缩尺模型等众多研究领域。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"衞撃波前后总温（滞止点温度）升高"。垂直衞撃波是绝热过程，根据能量守恒总温 T_0 完全保守。升高的是静温 T，因为流速 V 大幅下降，动能转化为内能。即使模拟器显示 T_2 = 489 K，那也是静温，滞止点温度在上下游保持不变，都是 T_0 = T_1(1+(γ−1)/2·M_1²) = 290·1.8 = 522 K。
第二个常见误解是忽视密度比有上限这一事实。根据关系式，ρ_2/ρ_1 的极限是 (γ+1)/(γ−1)，γ=1.4 时再大的 M_1 也只能增加 6 倍。相比之下，压力比 P_2/P_1 与 M_1² 成正比，没有上限。这种"压力无限增长、密度有限"的不对称性导致强衞撃波下 T_2 的急剧上升。在模拟器的曲线上，M_1 ≈ 5 时能清晰看到 T_2/T_1 与 P_2/P_1 的数量级差异。
还有一点要注意：关系式只能单向工作，从超音速到亚音速。兰金-于贡尼奥关系式本身在数学上接受 M_1 < 1 的输入并返回解，但那个解会导致熵减少，物理上被禁止。不存在"逆向衞撃波"，也不存在"膨胀衞撃波"（将亚音速加速至超音速）。超音速加速只能通过普兰特尔-迈耶膨胀等连续过程实现。模拟器的 M_1 滑块从 1.05 开始就是这个原因，只在超音速范围内才有物理意义。