参数设置
假设完全气体、绝热、一维定常流动。仅当 M_1 ≥ 1 时激波在物理上成立。
激波及上下游流动
左＝上游（冷色，箭头长＝高速）／中央竖线＝激波／右＝下游（暖色，箭头短＝低速）
M_1 对各种比的关系 (P_2/P_1, T_2/T_1, M_2)
红＝P_2/P_1（左轴）／橙＝T_2/T_1（左轴）／蓝＝M_2（右轴）／黄竖线＝当前 M_1
理论与主要公式
对完全气体的一维定常正激波，兰金-雨贡尼奥关系式由质量、动量和能量守恒导出。仅由上游马赫数 M_1 和比热比 γ 即可确定下游全部状态。
下游马赫数 M_2（M_1 越大越接近 1/√((γ−1)/(2γ))）：
$$M_2^2 = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2}}$$
压力比（激波强度）：
$$\frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_1^2 - 1\bigr)$$
密度比（M_1 → ∞ 时趋向 (γ+1)/(γ−1)）与温度比：
$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)M_1^2}{2 + (\gamma-1)M_1^2}, \qquad \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{\rho_1}{\rho_2}$$
M_1 = 1 时激波消失，M_1 越大不连续越强。仅在 M_1 \gt 1 的超音速区，解才具有物理意义。
正激波关系模拟器是什么
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超音速战机的照片里经常能看到机身周围有白色的圆锥形云雾，那就是激波吗？
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正是与激波有关的凝结云。那是斜激波，但本质和这里的"正激波关系式"一样。气体在超音速下流动，一旦某处必须减到亚音速以下，就会在一个薄面上瞬间出现压力、温度、密度跃升、马赫数下降的不连续。在模拟器里把 M_1 设为 2，下游马赫数就会显示 0.577。
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对正激波来说必然如此。从公式 $M_2^2 = (1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2)/(\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2})$ 可见，M_1 越大分母越大，M_2 越小。即使 M_1 → ∞，γ=1.4 时 M_2 也只能降到 1/√7 ≈ 0.378。试着把 M_1 拉到 5，M_2 大约稳定在 0.4 左右。
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看曲线发现压力比一直猛增，但密度比中途就趋于平缓了。
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观察很到位。密度比 ρ_2/ρ_1 的上限正好是 (γ+1)/(γ−1)，γ=1.4 时极限是 6 倍。而压力比按 M_1² 增长无界。所以强激波下"压力极高、密度增加有限"，温度必然异常上升。这正是再入飞行器表面变成高温等离子体的原因。
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为什么比热比 γ 的滑块从 1.20 到 1.67？
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不同气体 γ 不同。单原子气体（氦、氩）γ ≈ 1.67，空气 γ ≈ 1.40，CO₂ 等多原子分子 γ ≈ 1.30，高温下振动激发与解离会使有效 γ 降到 1.20 附近。再入数值仿真和燃烧器内激波研究中常常需要扫 γ，所以这里也设为可调。把 γ 调小，会看到密度比上限上升（γ=1.20 时上限达 11）。
常见问题
M_1 = 1 时激波退化为厚度为零、强度为零的马赫波。代入 M_1 = 1 得到 P_2/P_1 = 1, ρ_2/ρ_1 = 1, T_2/T_1 = 1, M_2 = 1，激波实际上不存在。物理上有意义的激波解仅出现在 M_1 \gt 1 的超音速区，因此模拟器滑块下限设为 1.05。
不存在，被热力学第二定律禁止。若假设 M_1 \lt 1 处有激波，兰金-雨贡尼奥关系式给出的解会让熵下降，这在绝热系统中不可能。因此正激波只能"超音速→亚音速"。反向的"膨胀激波"也不存在，超音速加速只能通过普朗特-迈耶膨胀这样的连续过程发生。
拉瓦尔（收缩-扩张）喷管在设计压力下运行时，喉部下游平稳加速到超音速。若反压高于设计值，出口的超音速流必须减回亚音速以匹配下游压力，于是在扩张段中部出现一道正激波将流动瞬间降至亚音速。反压越低激波位置越靠近出口，足够低时激波消失。
熵变为 Δs/R = ln[(P_2/P_1)·(ρ_1/ρ_2)^γ]，激波越强（M_1 越大）增长越快。M_1 = 2、γ = 1.4 时 Δs/R ≈ 0.33，对应总压损失 P_02/P_01 = exp(−Δs/R) ≈ 0.72。M_1 = 3 时 Δs/R ≈ 1.04、总压比 ≈ 0.35，仅一道激波就损失超过一半的可用总压。
实际应用
超音速飞行器与火箭喷管：战机和火箭推进系统通过拉瓦尔喷管把燃烧室生成的高温高压气体加速到超音速。在非设计工况下扩张段会出现正激波导致总压损失，造成推力下降。地面试车看到的"激波钻石"正是出口压力与外界压力失配产生的斜激波与膨胀波交替图案。正激波关系式和斜激波关系式（θ-β-M）是设计的两大核心工具。
大气再入飞行器热防护：胶囊型再入飞行器在 50-80 km 高空以 M_1 ≈ 20-30 的高超音速进入大气，在机首前形成强烈的脱体弓形激波。沿驻点流线应用正激波关系式，可得驻点温度数千乃至上万开尔文，足以使空气解离并部分电离形成等离子体。设计热防护系统（TPS，烧蚀材料或高温陶瓷瓦）必须精确预测激波后的温度与压力。
超音速进气道（吸气式）：喷气发动机的压气机仅在亚音速下工作，因此超音速飞机的进气道需将流动减到亚音速。最简单的皮托式进气道用一道正激波减速，但总压损失大。SR-71 与协和式飞机采用多道斜激波分级减速、最后用一道弱正激波进入亚音速的多激波进气道。最小化总压损失正是这类进气道独特外形的来源。
激波管与爆炸传播：广泛用于国防、航天与基础物理研究的激波管，通过瞬时破开隔膜分隔的高低压段产生管内正激波。利用兰金-雨贡尼奥关系式可通过选择隔膜压比和气体组成来达到任意目标 M_1，被用于高超音速燃烧研究、材料动态响应试验和星际激波的缩比模型。
常见误解与注意事项
最常见的错误是认为激波前后总温（驻点温度）会上升。正激波是绝热过程，由能量守恒总温 T_0 在波前后严格保持。上升的是静温 T，因为流速大幅下降，动能转化为内能。模拟器显示 T_2 = 489 K 是静温；驻点温度在波前后都保持 T_0 = T_1(1+(γ−1)/2·M_1²) = 290·1.8 = 522 K。
第二个常见误解是忽视密度比有上限。从公式可见 ρ_2/ρ_1 不会超过 (γ+1)/(γ−1)，γ=1.4 时无论 M_1 多大极限都是 6 倍。而压力比 P_2/P_1 按 M_1² 无界增长。这种"压力无上限、密度饱和"的不平衡正是强激波后温度急剧上升的原因。模拟器曲线在 M_1 → 5 附近 T_2/T_1 与 P_2/P_1 明显分离。
另一个要注意的是"关系式只能朝超音速→亚音速方向作用"的热力学约束。兰金-雨贡尼奥方程在数学上对 M_1 \lt 1 也有解，但那些解会让熵减少，物理上被禁止。"从下游传向上游的激波"和"把亚音速加速到超音速的膨胀激波"都不存在。模拟器 M_1 滑块从 1.05 起步，正是因为只有超音速区才有意义。