输入合成波形，实时可视化快速傅里叶变换（FFT）的频率谱。交互体验窗函数、混叠效应和频谱泄漏现象。
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$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}$$
离散傅里叶变换（DFT）：把时间信号 $x[n]$ 分解为频率分量 $X[k]$。FFT 以 $O(N\log N)$ 计算它。
$$f_k = \frac{k \cdot f_s}{N}$$
频率分辨率：采样频率 $f_s$（Hz）除以数据点数 $N$ 所得的最小可检测频率间隔。
$$f_{Nyquist} = \frac{f_s}{2}$$
奈奎斯特频率（Hz）：高于它的分量会产生混叠，因此无法测量 $f_s/2$ 以上的频率。
库利–图基 FFT 算法在 N=2^k（2 的幂）时递归分割计算，实现 O(N log N)。也有适用于任意长度的算法（如 Rader-Brenner），但 2 的幂要快得多。
声学和振动的动态范围可能超过 10⁶，用线性刻度时小峰会看不见。用 dB = 20 log₁₀(X/X_ref) 表示，可以均匀地显示 120dB 的动态范围。
FFT 以平稳信号为前提，对非平稳信号（频率随时间变化）短时 FFT（STFT）很有用。小波变换在高频处时间分辨率高、在低频处频率分辨率高，适合冲击信号和语音分析。
就是在信号末尾添加零以增加采样点数后再做 FFT。这样频率分辨率 Δf=fs/N 表面上提高，频谱变得平滑（实际分辨率并没有增加，但有插值效果）。
FFT 频谱分析工具的物理模型，用离散傅里叶变换（DFT）的快速算法 FFT 把输入信号转换到频域。对以采样周期 \( T_s \) 离散化连续时间信号 \( x(t) \) 得到的序列 \( x[n] \)，N 点 FFT 定义如下。 $$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi k n / N} $$ 其中 \( k \) 为频率仓编号，对应的物理频率为 \( f_k = k / (N T_s) \)。但为了抑制截取有限长数据时产生的频谱泄漏，要乘以窗函数 \( w[n] \)。例如汉宁窗为 \( w[n] = 0.5 - 0.5 \cos(2\pi n / (N-1)) \)，应用后的频谱如下。 $$ X_w[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, w[n] \, e^{-j 2\pi k n / N} $$ 另外，超过采样频率 \( f_s = 1/T_s \) 一半的频率成分会引起混叠，在本工具中改变输入合成波形的频率设置和采样条件，可以实时观察其影响。通过选择窗函数，可以体会频率分辨率与泄漏抑制之间的权衡，并理解混叠发生的条件。
工业中的实际应用
在汽车行业，发动机和电机的振动分析离不开 FFT。例如在混合动力车的逆变器中用 FFT 识别开关噪声的频率成分用于 EMC 对策，在航空发动机的涡轮叶片上对随旋转产生的共振频率做频谱分析以评估疲劳破坏风险。适当选择窗函数（如汉宁窗）可以抑制频谱泄漏，提高故障诊断的精度。
研究与教学中的应用
在大学电气、机械工程实验和信号处理课程中，它是理解声学信号和振动数据频率特性的题材。可以确认方波 FFT 中出现的吉布斯现象以及混叠的影响，并通过改变窗函数的种类体会频率分辨率与振幅精度之间的权衡。
与 CAE 分析的联系及实务定位
在对 CAE（例如 ANSYS、COMSOL）计算得到的瞬态响应波形做后处理时，FFT 也是基本工具。例如对结构分析得到的应力波形做 FFT，确定共振频率作为设计变更的依据。在实验数据与 CAE 结果的相关性验证（模型修正）中，选择能抑制频谱泄漏的窗函数也决定了分析精度。本工具是用来确认这些思路的学习工具。
人们容易认为“只要加窗函数就能完全防止频谱泄漏”，但实际上窗函数只是减少泄漏，并不能完全消除。尤其对于以非整数周期截取的信号，无论使用哪种窗，频率成分都会泄漏到相邻的频率仓中，准确读取振幅时需要注意。
人们容易认为“到采样频率的一半（奈奎斯特频率）为止都能正确显示”，但实际上若抗混叠滤波器不足，奈奎斯特频率附近的信号会受到混叠的影响。实际中建议采样频率留有余量，取要分析的最高频率的 2.5～5 倍左右。
人们容易认为“增加采样点数 FFT 的分辨率就能无限提高”，但实际上时间窗越长，越容易错过非平稳信号随时间的变化。频率分辨率与时间分辨率成反比，因此根据目的选择合适的窗长很重要。
以采样频率 1024 Hz 分析 50 Hz（振幅 1.0）与 150 Hz（振幅 0.5）的合成波。本工具的 FFT 点数为 N=512，因此频率分辨率为 Δf=fs/N=2.0 Hz。振幅 |X[k]| 已包含窗函数补正并归一化，因此主峰显示为 50 Hz、振幅≈1.00。使用汉宁窗可以减少频谱泄漏（漏入相邻频率仓），旁瓣被抑制在约 −31 dB。奈奎斯特频率为 fs/2=512 Hz，因此到 150 Hz 的成分都能正确分析。