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上段＝逐采样点处理输入 x[n]（黄＝扫描线）／下段＝目标周频扫描的检测强度 |X(k)|（在音调周频处出现尖峰）
Goertzel 算法针对目标周频 f 最接近的频率块 k = round(f·N/F_s)，用二阶 IIR 递推式直接计算幅度²。
角周频与系数 c：
$$\omega = \frac{2\pi k}{N},\qquad c = 2\cos\omega$$
二阶 IIR 递推式（s_{-1} = s_{-2} = 0）：
$$s_n = x_n + c\,s_{n-1} - s_{n-2}$$
N 个采样点后的幅度²（频率块功率）：
$$|X_k|^2 = s_{N-1}^2 + s_{N-2}^2 - c\,s_{N-1}\,s_{N-2}$$
单个频率块计算量为 O(N)，M 个周频则为 O(N·M)。与 FFT 整体 O(N log N) 相比，需要检测的频率块越少，Goertzel 越优势。
Goertzel 算法模拟器说明
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既然有 FFT，为什么还要特别用 Goertzel 这个算法呢？
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简单说，Goertzel 是「只需要 1 个周频块」场景的专家。FFT 计算所有 N 个频率块，复杂度 O(N log N)，但 DTMF 检测只需要 8 个周频，这样 FFT 就大材小用了。Goertzel 单个频率块 O(N)，只用 3 个变量的二阶 IIR 滤波器搞定，非常适合嵌入式单片机。改变模拟器里的按键，你会发现实际上只需检测行列各 1 个周频。
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其实很简单。就是递推式 $s_n = x_n + c\,s_{n-1} - s_{n-2}$，每步迭代一次就行。系数 $c = 2\cos(2\pi k/N)$ 开始只算一次。状态变量就 $s_{n-1}$ 和 $s_{n-2}$ 两个，内存用不了 3 个字。最后 $|X_k|^2 = s_{N-1}^2 + s_{N-2}^2 - c\,s_{N-1}s_{N-2}$ 就出来了。DSP 的乘累加指令非常适合。
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模拟器里「噪声级别」增大时，条形图会摇晃。实际硬件怎么判定呢？
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好问题。实际产品要加多重判定：最强频率块的电平要超过最小检测电平，行列电平比要在 ±6 dB 内，与第二强频率块的比（扭曲度）要在规定范围，音调持续时间 40 ms 以上——用 AND 逻辑全满足才判为有效按键。即便噪声让最强频率块一瞬间切换，持续时间条件也能挡掉误检。这个规定写在 ITU-T Q.24 标准里。
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N 越大，周频分辨率 $\Delta f = F_s/N$ 越细，相邻周频的分离越清楚。但计算量也线性增加。F_s=8 kHz，N=205 时 $\Delta f \approx 39$ Hz，这是 DTMF 的经典配置。帧太短的话各 bin 会从 DTMF 周频位置偏离，检测强度下降。模拟器里把 N 从 128 调到 1024，条形图的选择性会明显变化。
常见问题
除了 DTMF，还有什么应用呢？
需要检测特定周频的场景都有。比如电力系统周频监测（50/60 Hz 及其高调波分析）、工业传感器载波检波、超声波测距回波检测、无线电 CTCSS/DCS 音调检测、医疗设备脉搏检测等。共同点都是「不需要全部 N 个频率块，就要数个块的高速检测」。
k 一定是整数吗？
基本形式假设 k 是整数。但有个扩展版叫广义 Goertzel，支持任意实数 k。这样即使目标周频不在 DFT 格子上，也能抑制谱泄漏、精密估计幅度。电力系统周频估计（频率偏离 50 Hz 的情况）这类应用就很重要。
在定点 DSP 上实现要注意什么？
二阶 IIR 滤波器的内部状态容易发散，N 很大时 s_n 的动态范围暴增。要么提前缩放输入（比如乘以 1/N），要么每步用饱和算术防止溢出。用 Q1.15 或 Q1.31 定点时，系数 c 通常量化到 Q14 以抑制误差。
能得到位相信息吗？
可以。最后一步算复数 DFT 值 X_k = s_{N-1} − e^{-jω} s_{N-2}，就有实部虚部，atan2 求位相角。本模拟器只演示幅度检测，但 AM/FM 解调、同步检波这些要用位相，实现时就要用复数输出版本。只要幅度的话省掉一次乘法，这也是 Goertzel 的简洁优点。
实际应用
电话通信 DTMF 解码： 固定电话、IP 电话、自动应答系统 (IVR) 在实时检测用户按键时，标准做法就是 Goertzel 法。模拟线路接收的是语音与 DTMF 叠加的信号，接收端 8 个 Goertzel 滤波器并行运行，通过电平比、持续时间、扭曲度等多重判定提取有效按键。VoIP 虽然可用 RFC 2833 数字传输 DTMF，但互操作需求依然让 Goertzel 解码器常驻线路。
电力系统频率分析： 50 Hz/60 Hz 及其高调波（150/180、250/300、350/420 Hz 等）的幅度需要连续监测，用于电能质量评估。不是对所有周频做 FFT，而是只用 Goertzel 计算那数根目标高调波，这样 CPU 负荷大幅下降，告警响应也快。配合广义 Goertzel，还能在系统周频略偏离 50 Hz 时精密推估幅度。
无线电 CTCSS/DCS 音调检测： 业余和专业无线电广泛用 CTCSS 方式（亚音频 67～250 Hz，约 50 种）标记信号组。接收机持续监听目标音调的 Goertzel 输出，当电平超阈值才开放扬声器。这是 Goertzel 最擅长的场景：低频、少数频率块。
嵌入式设备载波检波： FSK 调制解调器前导检测、超声传感器回波强度测量、脉搏血氧仪心率同步等，ARM Cortex-M 级单片机「只需数根周频、要 FFT 级精度」的需求中，Goertzel 被广泛应用。CMSIS-DSP 库也提供了基于 biquad 的 Goertzel 实现，配合硬件乘法器，可以在微秒级时间内处理一个帧。
常见误解与注意事项
最普遍的误解是「Goertzel 总比 FFT 快 」。其实有个损益分岐点——当需要的周频数 M 达到 log₂N 数量级就超过了。比如 N=1024，log₂N = 10，若需检测 10 个以上频率块，FFT 一次性全算反而更快。模拟器的「计算量」卡片显示 Goertzel 的 N·M，心里要和 FFT 的 N·log₂N 比一下。Goertzel 赢家条件是「频率块少」且「目标 bin 提前知道」。
另一常见问题是忽视目标周频贴近 DFT 格子的重要性 。标准 Goertzel 用 k = round(f·N/F_s) 取整，若目标周频偏离 bin 中心就产生「频谱泄漏损耗」，最大能掉 3.9 dB（ΔdB ≈ 20log₁₀(sinc(0.5))），幅度推估严重下降。DTMF 用 F_s=8000，N=205 就是精巧选择，8 个 DTMF 周频都贴近 DFT 格子。模拟器改变 N 时条形图高度变化，就是这个频谱泄漏效应。
最后是「Goertzel 输出大＝检测成功」的短路逻辑 。单选最强 bin 在噪声和语音高调波干扰下极易误判。实机必须多条件 AND：最强频率块绝对电平超过最小检测电平、行列比在 ±6 dB 内、与次强频率块的比在规定范围、音调持续 ≥40 ms、静音间隔 ≥40 ms——全满足才算有效按键。模拟器噪声拉到 1.0 会看到最强频率块频繁切换，直观说明单纯选最强的危险。