参数设置
默认值（正弦, A=1, f₀=10, N=512）下E_t=E_f=256，相对误差约为浮点数精度误差（1e-12）。
时间信号 x[n] 和功率谱 |X[k]|²/N
上段：时间信号 x[n]（蓝色，横轴 n 显示前200个采样）／下段：PSD = |X[k]|²/N（红色，横轴 k 为 0〜N/2，峰值高亮）
理论与主要公式
帕塞瓦尔定理是信号处理中的基本定理，表明信号的能量在时间域和频率域中得到保存。对于离散信号 x[n]（长度 N），以下关系成立：
离散傅里叶变换（DFT）：
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j 2\pi k n / N}$$
帕塞瓦尔定理（标准DFT正规化约定）：
$$\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$$
功率谱密度（周期图估计）：
$$\mathrm{PSD}[k] = \frac{|X[k]|^2}{N}$$
对于单个周频率的余弦信号 $x[n] = A\cos(2\pi f_0 n / N)$，时间域能量为 $\sum |x[n]|^2 = N A^2 / 2$（因为$\cos^2$的平均值为 1/2）。
帕塞瓦尔定理模拟器说明
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我在教科书中看过"帕塞瓦尔定理"这个名字，但最终有什么用处呢？看公式没有实际感受。
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简单说，"无论用时间还是用频率来测量，信号的能量值必然相同"。看模拟器的默认值（正弦, A=1, N=512）。E_t是256，E_f也是256，相对误差几乎为零吧？$\cos^2$ 的平均值是 1/2，所以理论值正好是 $N \cdot A^2 / 2 = 512 \cdot 1 / 2 = 256$。时间和频率分别计算，但结果完全一致——这就是定理的核心。
🙋
真的！E_t和E_f都精确到256！相对误差约1e-13。这个误差是什么？
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那是"浮点数舍入误差"。理论上应该是零，但计算时N次加法中每次都会产生2⁻⁵²左右的误差积累。反过来说，误差只有1e-13其实是"定理精确成立"的证明。试试把振幅A改成2。E_t和E_f会一起跳到约1024（=N·A²/2）。
🙋
确实！信号类型改成1（矩形脉冲）时，能量大幅下降，但还是完全一致啊。
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矩形脉冲只在中央 N/8 个采样点为 A=1，其余为0，所以时间域能量应该是 N/8 = 64。下方频谱显示了类似sinc函数的分散谱。把所有这些频率分量加起来再除以N，结果就是64——能量完全守恒。信号形状改变，但时间和频率的能量总和必定平衡——这就是帕塞瓦尔的威力。
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高斯信号（类型2）的频谱更平滑。实际应用中怎么用呢？
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典型应用是振动和声学测量。比如加速度传感器数据，要计算"总振动能量"，可以对时间波形的平方积分，也可以FFT后对频谱求和——两种方法结果相同，帕塞瓦尔保证了一致性。还有，如果只想要"100Hz到200Hz的能量"，在频率域只对这个范围的分量求和，结果会等于时间域通过带通滤波后的能量——非常实用。
常见问题
DFT定义有三种正规化约定。(1)正向变换不乘以N的非正规化约定：Σ|x|² = (1/N)·Σ|X|²（本工具采用）。(2)正向变换乘以1/N的约定：Σ|x|² = N·Σ|X|²。(3)正向变换乘以1/√N的对称约定：Σ|x|² = Σ|X|²。NumPy默认采用(1)，MATLAB fft()也是(1)，SciPy可以用 norm='ortho' 切换到(3)。不同约定帕塞瓦尔都成立，但系数不同，实现时务必注意。
实数信号的DFT具有"厄米对称性"：X[N-k] = X[k]*（复共轭）。因此|X[k]|² = |X[N-k]|²。cos信号含有正频率+f₀和负频率−f₀两部分，所以在k=f₀和k=N-f₀处对称出现两个峰。本工具下图只显示k=0..N/2范围，所以看得到左半部分的峰（k=10），峰值分量特定返回最早出现的那个。
严格来说，"功率谱"指单个频率分量的电力|X[k]|²/N²，"功率谱密度（PSD）"指单位频率宽度的电力|X[k]|²/(N·Δf)，其中Δf=fs/N时得|X[k]|²/fs。在能量守恒讨论中，本工具简单使用|X[k]|²/N，称为"正规化周期图"。在实际物理计测中（V²/Hz、g²/Hz等单位），需要除以采样频率fs来校正量纲。
连续信号的帕塞瓦尔（Plancherel定理）形式为 ∫|x(t)|²dt = ∫|X(f)|²df，用积分表示。离散信号用求和替代积分，同时根据DFT正规化约定引入1/N系数。本质相同，都是"时间和频率的能量守恒"，但有限长离散信号会受"帧端不连续导致的泄漏"影响。不过帕塞瓦尔本身严格成立——泄漏只影响具体某些频率bin的值，全部频率相加后的能量总是和时间域一致。
实际应用
振动和声学测量：机械状态监测和声学计测中，用加速度传感器或麦克风记录时间序列，可以通过二乘积分计算"全RMS值"，也可以FFT后频谱求和——结果相同，帕塞瓦尔定理保证一致性。进一步，做1/3倍频程分析时，只在特定频率范围对频率分量求和，得到的带通功率与时间域带通滤波后的能量相等。
通信系统的SNR评估：无线和光通信中，需要计算信噪比SNR。这正是帕塞瓦尔的应用——从时间波形计算全功率，或在频率域分离信号带和噪声带分别计算，两种方法等价。MATLAB的 snr() 函数和NumPy的频谱分析都是这个原理。
图像处理与压缩：JPEG/MPEG等压缩算法，把图像变换到频率域（DCT、DFT），然后删除低能量高频分量。通过PSD评估各频率成分的能量分布，优先删除能量少的分量。结合Wiener-Khinchin定理，自相关强的信号（PSD集中）能获得更高压缩率。
量子力学中的概率解释：帕塞瓦尔本质上是酉变换的模长保存律。量子力学中，波函数ψ(x)的概率密度|ψ(x)|²与动量空间表示φ(p)的|φ(p)|²满足 ∫|ψ|²dx = ∫|φ|²dp。这保证了位置空间和动量空间计算"全概率=1"的一致性，是量子论的基本性质。
常见误解与注意事项
最常见的错误是「忘记1/N正规化系数」。NumPy和MATLAB的 fft() 采用非正规化约定（正向变换不乘N），所以生的频谱平方和 Σ|X[k]|² 是时间域能量的 N 倍。必须除以 N 才能验证能量守恒。而SciPy用 norm='ortho' 就变成对称约定，Σ|X[k]|² 直接等于时间域能量。一定要查阅库文档。
其次常见的是「忽视周期图的统计不稳定性」。本工具显示的 PSD[k] = |X[k]|²/N 仅是单帧估计，对于随机噪声方差很大，PSD值在真值周围摇摆。实务中用Welch法（多帧重叠平均）、Bartlett法（无重叠平均）或AR模型法等来降低估计方差。帕塞瓦尔在任何估计方法下都严格成立，但单个频率bin的可信度是另一回事。
最后一个误解是「有频谱泄漏就破坏帕塞瓦尔」。不使用窗函数（即用矩形窗）的DFT，当信号频率不是整数bin时会产生"泄漏频谱"分散分布。这导致某些bin值偏离真电力，但全频率bin求和后，时间域能量仍然精确相等（帕塞瓦尔严格成立）。本工具用"高斯"信号示例宽谱时，虽然没有明显峰值，但 E_t = E_f 仍然精确成立。
具体计算示例
输入振幅A=5.0、频率f0=10（bin）、采样数N=256的正弦：时间域能量E_t=N·A²/2=256×25/2=3200，频率域能量E_f=3200，相对误差为浮点精度（≈1e-15）。矩形脉冲(中央N/8宽, A=3.0, N=1024)时，E_t=(N/8)·A²=128×9=1152，展宽为sinc状的谱总和同样为1152，可验证帕塞瓦尔定理。