默认值（正弦, A=1, f₀=10, N=512）下 E_t=E_f=256，相对误差仅为浮点舍入级别（约 1e-12）。
上：时间信号 x[n]（蓝色，前 200 采样点）／下：PSD = |X[k]|²/N（红色，k = 0..N/2，峰值高亮）
帕塞瓦尔定理表明信号的总能量在时域与频域之间是守恒的。对于长度为 N 的离散信号 x[n]，有以下关系：
离散傅里叶变换（DFT）：
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j 2\pi k n / N}$$
帕塞瓦尔定理（标准 DFT 归一化约定）：
$$\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$$
功率谱密度（周期图估计）：
$$\mathrm{PSD}[k] = \frac{|X[k]|^2}{N}$$
对单频正弦信号 $x[n] = A\cos(2\pi f_0 n / N)$，由于 $\cos^2$ 的平均为 1/2，时域能量为 $\sum |x[n]|^2 = N A^2 / 2$。
什么是帕塞瓦尔定理模拟器？
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教材里见过『帕塞瓦尔定理』这个名字，可只看公式总觉得抽象。它到底有什么用？
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一句话总结：它保证信号的总能量在时域和频域都给出完全相同的数值。看模拟器的默认参数（正弦、A=1、N=512）：E_t = 256，E_f 也 = 256，相对误差基本为零。因为 $\cos^2$ 的平均是 1/2，理论值正好是 $N \cdot A^2/2 = 512 \cdot 1/2 = 256$。用两条完全不同的路径计算，结果一定一致——这就是定理的核心。
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确实，E_t 和 E_f 都正好是 256！相对误差显示约 1e-13。这是什么误差？
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那是浮点运算的『舍入误差』。理论上应该为零，但累加 N 次时每次都有约 2⁻⁵² 的误差累积。反过来说，1e-13 的误差正是定理在双精度下严格成立的证据。把振幅 A 改为 2 试试：E_t 与 E_f 会一起跳到约 1024（= N·A²/2），始终保持相等。
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切到信号类型 1（矩形脉冲），能量大幅下降，但两边依然相等！
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矩形脉冲只在中央 N/8 个采样点取 A=1，其他为 0，所以时域能量应该是 N/8 = 64。下方频谱呈现 sinc 函数般的宽分布，把所有 bin 加起来再除以 N，正好也是 64。信号波形完全不同，两侧的能量总和却始终平衡——这就是帕塞瓦尔的力量，它不在乎信号长什么样。
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高斯信号（类型 2）的频谱更平滑。这在实际工程中怎么用？
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最典型的是振动与声学测量。要从加速度计信号求总振动能量，可以直接对时间波形平方求和，也可以做 FFT 后对频谱求和——两条路径结果相同，正是帕塞瓦尔保证的。更妙的是，如果只想得到 100Hz–200Hz 的『带功率』，只需在频域对该范围 bin 求和，结果与时域带通滤波后的能量完全一致——这在工程上极为实用。
常见问题
DFT 的归一化约定不同时公式怎么变？
DFT 有三种常见约定：(1) 正变换不归一化（本工具及 NumPy fft、MATLAB fft）：Σ|x|² = (1/N)·Σ|X|²；(2) 正变换乘 1/N：Σ|x|² = N·Σ|X|²；(3) 对称约定（正变换乘 1/√N，SciPy norm='ortho'）：Σ|x|² = Σ|X|²。三种约定下帕塞瓦尔均成立，只是系数不同。使用 FFT 库前务必查阅其文档。
为什么频谱上出现两个峰（k=10 与 k=N-10）？
实信号的 DFT 具有『厄米对称性』：X[N-k] 等于 X[k] 的复共轭，因此 |X[k]|² = |X[N-k]|²。cos 信号包含 +f₀ 与 -f₀ 两个频率成分，会对称地出现在 k=f₀ 与 k=N-f₀ 两个 bin。本工具下方图只显示 k=0..N/2，所以仅看到左侧的峰（k=10），峰值 bin 也以此为准。
PSD 与功率谱有什么区别？
严格地说，『功率谱』指每 bin 的功率 |X[k]|²/N²，『功率谱密度（PSD）』指单位频率的功率 |X[k]|²/(N·Δf)，当 Δf=fs/N 时即 |X[k]|²/fs。在能量守恒语境下本工具采用归一化周期图 |X[k]|²/N，便于使 (1/N)·Σ|X|² 直接等于时域能量。涉及物理单位（V²/Hz、g²/Hz）的测量则需除以采样频率以使量纲一致。
与连续信号的帕塞瓦尔定理有什么区别？
连续信号的帕塞瓦尔（Plancherel 定理）为 ∫|x(t)|²dt = ∫|X(f)|²df，积分形式。离散信号中积分变为求和，并按 DFT 归一化约定出现 1/N 系数。物理本质相同——时间与频率间的能量守恒——但有限长离散情形会受到帧端不连续引起的频谱泄漏影响。不过帕塞瓦尔本身严格成立：泄漏只是将能量在各 bin 间重新分布，总和不变。
实际应用
振动与声学测量： 在机械状态监测和声学测量中，从加速度计或麦克风得到时间序列，无论是用时域平方求和得到『总 RMS 值』，还是用 FFT 后从频谱求和计算，结果都相同——帕塞瓦尔定理保证了这两种计算路径的一致性。1/3 倍频程分析等只提取特定频带能量的方法，本质就是在频域对相应 bin 求和。
通信系统的 SNR 评估： 无线通信与光通信中测量信号功率 S 与噪声功率 N 之比（SNR），既可以从时域波形平方平均得到总功率，也可以在频谱上分离信号带与噪声带分别计算——两者完全等价。MATLAB 的 snr() 函数与 NumPy 的频谱分析内部都使用了这一原理。
图像处理与压缩： JPEG/MPEG 等图像压缩将图像变换到频域（DCT、DFT）后舍弃能量较少的高频成分。这时用 PSD 评估『各频率成分含有多少能量』，优先丢弃低能量成分。结合 Wiener-Khinchin 定理，自相关性强（PSD 集中）的信号可获得更高压缩率。
量子力学的概率诠释： 帕塞瓦尔定理在数学上是酉变换的范数守恒律。量子力学中，波函数 ψ(x) 的位置概率密度 |ψ(x)|² 与动量表示 φ(p) 的 |φ(p)|² 满足 ∫|ψ|²dx = ∫|φ|²dp，保证无论在位置空间还是动量空间计算概率，『总概率 = 1』始终成立——这是量子论的根本性质。
常见误解与注意事项
最常见的错误是『忘记归一化常数 1/N』 。NumPy 和 MATLAB 的 fft() 采用不归一化的正变换约定，所以原始频谱和 Σ|X[k]|² 是时域能量的 N 倍。要验证能量守恒必须先除以 N。反之，SciPy 使用 norm='ortho' 时为对称约定，Σ|X[k]|² 直接等于时域能量。务必查阅所用库的文档后再进行跨域比较。
其次是『不考虑原始周期图的统计不稳定性』 。本工具显示的 PSD[k] = |X[k]|²/N 只是单帧估计，对随机噪声而言每个 bin 的方差很大，估计值会围绕真值剧烈波动。实务中需用 Welch 法（重叠分段平均）、Bartlett 法（不重叠分段平均）或自回归（AR）建模等降低方差。帕塞瓦尔定理对任何估计法都严格成立，但单个 bin 的可靠性则是另一回事。
最后是误以为『有频谱泄漏时帕塞瓦尔不成立』 。当信号频率不正好落在整数 bin 上、或没有加窗时，会出现频谱泄漏，把单根谱线扩散到附近多个 bin。这只是使特定 bin 的值偏离真功率，对所有 bin 求和后总能量仍与时域能量完全一致——帕塞瓦尔严格成立。本工具切到高斯信号即可看到：尽管频谱宽广，E_t 和 E_f 仍精确到机器精度地相等。