参数设置
默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz、观测时间=50 ms、N=8 bit。因为 f>f_s/2=500 Hz 违反奈奎斯特条件，产生 f_alias=|600−1·1000|=400 Hz 混叠，量子化 SNR 为 6.02·8+1.76=49.92 dB。
连续波、采样点、重构波
横轴为时间 t (ms)，纵轴为幅度。橙色细线为连续正弦波 sin(2πft)，白圆点为采样点（间隔 1/f_s），黄色粗线为重构的见观波形（频率 f_alias）。当发生混叠时显示低频假象。
信号频率 f 与感知频率 f_alias 的混叠关系
横轴为信号频率 f (Hz) [0–5000]，纵轴为感知频率 (Hz)。蓝色锯齿线为 f_perceived(f)，f≤f_s/2 时为恒等（斜率 1），超过该点则按 f_s 折叠。黄色标记为当前工作点 (f, f_alias)。
理论与主要公式
采样定理给出了离散化连续信号时的频率限制，量子化 SNR 给出了振幅离散化的噪声性能。
奈奎斯特频率（混叠限界）：
$$f_{N} = \tfrac{f_{s}}{2},\qquad f_{s} \ge 2 f_{\max}\ \text{可完全重构}$$
混叠频率：
$$f_{\text{alias}} = \bigl|\,f - \mathrm{round}(f/f_{s})\cdot f_{s}\,\bigr|$$
N 位均匀量子化的理论 SNR（正弦波输入）：
$$\mathrm{SNR}_{q} = 6.02\,N + 1.76\ \mathrm{dB}$$
其中 $f$ 为信号频率 [Hz]，$f_{s}$ 为采样频率 [Hz]，$f_{N}=f_{s}/2$ 为奈奎斯特频率。当 $f \le f_{N}$ 时原信号可唯一重构，$f_{\text{alias}}=f$；超过时高频分量向低频折叠产生假谱。$N$ 为位数，每增加 1 位 SNR 约改善 6 dB。
奈奎斯特采样定理模拟器介绍
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用默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz 时，f_alias=400 Hz。为什么 600 Hz 的信号用 1000 Hz 采样后会变成 400 Hz？
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很好的问题。采样频率 f_s=1000 Hz，其一半即奈奎斯特频率 f_N=500 Hz 是频率的上限。超过 500 Hz 的 600 Hz 信号在采样点上与"某个低于 500 Hz 的信号"无法区别。具体来说，按 f_alias=|f − round(f/f_s)·f_s|=|600 − 1·1000|=400 Hz 折叠。看上面的图表，橙色连续波是 600 Hz，但白圆点采样点连起来看，似乎跟随的是黄色粗线的 400 Hz 波。这就是混叠现象。
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右边锯齿状的图表显示了这种关系吧。f 从 0 到 5000 Hz 扫频时，感知频率像三角形波一样上下波动。
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完全正确。f_perceived(f) 是周期为 f_s 的三角波（折叠函数）。f≤f_N=500 Hz 时为恒等映射（斜率为 1），原信号重构；f 从 500→1000 Hz 时，感知频率从 500→0 Hz 下降；1000→1500 Hz 又从 0→500 Hz 上升。以此类推，在 f_s/2 处达到最高。点击"f 扫频"按钮，黄色标记会沿着锯齿线滑动。尝试把 f_s 改成 2000 Hz 看看，此时 f_N=1000 Hz，600 Hz 信号就不会混叠了，采样状态会变"正常"。这就是奈奎斯特条件 f_s ≥ 2·f_max 的含义。
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统计卡片上显示"量子化 SNR=49.92 dB"，这跟采样频率是不同的概念吗？
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很敏锐的观察。采样是时间轴离散化，但 A/D 转换同时包括"幅度轴的离散化"，即量子化。N 位均匀量子化器对正弦波的信号功率与量子化噪声功率之比，表示为 SNR_q = 6.02·N + 1.76 dB。N=8 时为 49.92 dB，N=16（CD 音质）为 98.08 dB，N=24（专业音频）为 146.24 dB。每增 1 位约改善 6 dB。拖动 N 的滑块，这个值会立即更新。实际应用中如果想降低量子化噪声，要么增加 ADC 位数，要么用过采样加 Delta-Sigma 调制，这是数字音频的常规做法。
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在 CAE 实务中，做振动计测时会用到这些概念吗？
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非常常见。比如在旋转机械振动的模态分析中，目标频率带 0~500 Hz，采样频率通常设 f_s=1024 Hz 或 2048 Hz（规则：2~4 倍最大频率）。在 A/D 前必须加模拟抗混叠滤波器（Butterworth 4~8 阶，截止频率约 0.4·f_s），把 f_s/2=512 Hz 之上的成分物理除去。否则轴承缺陷的高频谐波（几 kHz）或齿轮啮合的 5 kHz 等会折叠到低频，在频响函数中产生"不存在的模态"这样的致命错误。所以抗混叠滤波器是 CAE 信号采集链的必需品。
物理模型与主要公式
连续信号 $x(t)$ 以采样周期 $T_{s}=1/f_{s}$ 离散化得到序列 $x[n]=x(nT_{s})$。奈奎斯特-香农采样定理规定了从采样序列完全重构原信号的条件。
$$f_{s} \ge 2 f_{\max},\qquad f_{N} = \tfrac{f_{s}}{2}$$
其中 $f_{\max}$ 是信号的最高频率，$f_{N}$ 称为奈奎斯特（折叠）频率。当 $f_{s}$ 不满足该条件时，信号谱 $X(f)$ 在 $f_{s}$ 的整数倍位置产生周期延拓，向低频折叠（谱混叠），感知频率为
$$f_{\text{alias}} = \bigl|\,f - \mathrm{round}(f/f_{s})\cdot f_{s}\,\bigr|$$
理想重构采用 sinc 补间 $x(t)=\sum_{n} x[n]\,\mathrm{sinc}(f_{s}(t-nT_{s}))$，但实现时用 FIR/IIR 低通滤波器近似。同时，当幅度量子化为 $N$ 位时，理论 SNR 由信号功率 $A^{2}/2$ 与量子化阶梯 $\Delta=2A/2^{N}$ 的均匀分布噪声功率 $\Delta^{2}/12$ 之比给出
$$\mathrm{SNR}_{q} = 10\log_{10}\!\left(\frac{A^{2}/2}{\Delta^{2}/12}\right) = 6.02\,N + 1.76\ \mathrm{dB}$$
本工具用默认参数 $f$=600 Hz、$f_{s}$=1000 Hz、$N$=8 bit 计算出 $f_{N}$=500 Hz、$f_{\text{alias}}$=400 Hz、$\mathrm{SNR}_{q}$=49.92 dB，与理论完全吻合。
实际应用
音频与 A/D 转换：CD 采用 f_s=44.1 kHz（人耳可听上限 20 kHz 的两倍加余量）、N=16 bit（SNR=98.08 dB）标准。在本工具中输入 f=20000 Hz、f_s=44100 Hz、N=16，得到 f_N=22.05 kHz、f_alias=20000 Hz（无混叠）、SNR=98.08 dB，直观验证了 CD 规格的设计逻辑。高分辨率音频（96 kHz/24 bit）则提供 SNR=146.24 dB，为母带处理提供更大编辑裕度。
振动测量与模态分析：旋转机械振动诊断的关注频带通常 0~2 kHz，采样频率设 f_s=5120~10240 Hz（即 f_s=4~8 倍最大关注频率）。在 A/D 前置入模拟低通滤波器（Butterworth 4 阶，截止 0.4·f_s），物理消除 f_s/2 以上分量。用本工具验证：f_s=5120 Hz、f_max=2000 Hz 时，f_N=2560 Hz 满足奈奎斯特条件，f_alias=2000 Hz（原型）。如果没有抗混叠滤波器，6000 Hz 的轴承高频缺陷信号会折叠到 f_alias=|6000−1·5120|=880 Hz，导致检出不存在的模态，这是现场计测的常见故障。
图像处理与显示：二维采样定理应用于像素化。空间频率超过 1/2 像素周期（奈奎斯特空间频率）的细纹会产生粗糙摩尔条纹。LCD 的"子像素渲染"、数码相机的"光学低通滤波器"都是光学抗混叠的实例。视频帧率（24 fps、60 fps）是时间轴采样，汽车车轮在电影中逆向旋转的"车轮效应"就是时间混叠的经典现象。
雷达与声纳的距离模糊：脉冲多普勒雷达的 PRF（脉冲重复频率）相当于采样频率，超过 f_s/2 的多普勒频移（高速目标）会混叠为错误速度，导致"速度模糊"。低 PRF 时产生"距离模糊"，高 PRF 时产生"速度模糊"，两者须权衡优化。复合 PRF（交错 PRF）方案就是为了在两种模糊间找到最优。本工具的折叠函数具有相同的数学结构，可用于雷达设计师的直观教学。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"只要严格满足 f_s ≥ 2·f_max 就没有混叠"。实际上任何真实信号都含有不期望的高频分量——电源工频谐波、数字电路开关噪声、射频干扰、热噪声，这些若超过 f_s/2 必然向低频混叠。因此光满足理论条件不够，必须在 A/D 前置入物理模拟低通滤波器（通常 Butterworth、Chebyshev 4~8 阶，截止频率 0.4·f_s），在硬件上除去高频。数字后处理（IIR 或 FIR）无法恢复已混叠的成分。
其次常见误解是"用 sinc 补间能完美重构，所以 DAC 也一样能零失真输出"。理想 sinc 补间需要无限长卷积和非因果处理，物理上不可实现。实际 DAC 用零阶保持（ZOH）加重构低通滤波器近似，必然存在群延迟、通带波纹、阻带泄漏。高端器材用 4~8 倍过采样 + Delta-Sigma 调制来大幅降低可听频带的量化噪声。
最后是"量子化 SNR=6.02N+1.76 dB 总能达到"的错觉。这个公式假设 (1) 输入为满幅正弦波，(2) 量化误差均匀分布，(3) 无 DC 偏置和谐波失真。实机中输入幅度减小时 SNR 下降（−6 dB/两倍衰减），ADC 的 DNL/INL（微分/积分非线性）引入谐波失真，时钟抖动和亚稳态增加额外噪声。数据表的"ENOB（有效位数）"是由实测 SNR 反推的有效精度，通常远低于公称位数。如 14 bit ADC 实际 ENOB=12 bit（SNR=74 dB）很常见。
常见问题
奈奎斯特-香农采样定理是信号处理的基本定理，表述为：若连续信号的带宽受限于 f_max，采样频率 f_s ≥ 2·f_max，则可从采样值唯一重构原信号。反之违反该条件就会发生混叠，高频分量向低频折叠产生假象。本工具默认参数 f=600 Hz、f_s=1000 Hz 时，奈奎斯特频率 f_N=500 Hz，因 f>f_N 发生混叠，感知频率为 f_alias=|600−1·1000|=400 Hz。
当信号频率 f 超过奈奎斯特频率 f_N=f_s/2 时，通过最近邻折叠得到 f_alias = |f − round(f/f_s)·f_s|。例如默认参数 f=600 Hz、f_s=1000 Hz，round(0.6)=1，所以 f_alias=|600−1000|=400 Hz，即 600 Hz 信号被感知为 400 Hz。当 f≤f_N 时无混叠，f_alias=f 直接重构。
N 位均匀量子化器对正弦波的信号功率（A^2/2）与量子化噪声功率（Δ^2/12，其中 Δ=2A/2^N）之比，用分贝表示为 SNR_q = 10·log10((A^2/2)/(Δ^2/12)) = 6.02N + 1.76 dB。每增 1 位约改善 6 dB；N=8 时 49.92 dB，N=16（CD 音质）时 98.08 dB，N=24（专业音频）时 146.24 dB。
实际信号总是含有不期望的高频分量（如电源谐波、机械振动高次谐波、热噪声等）。这些若直接进入 A/D 转换器且超过 f_s/2，就会混叠到低频，污染目标信号。因此必须在 A/D 前置入模拟低通滤波器（通常 Butterworth、Chebyshev 4~8 阶），物理上移除高频。数字后处理无法消除已混叠的信号，所以模拟抗混叠滤波器是必需的。