参数设置
默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz、观测时间=50 ms、N=8 bit。由于 f>f_s/2=500 Hz 违反奈奎斯特条件，混叠频率 f_alias=|600−1·1000|=400 Hz，量化 SNR=6.02·8+1.76=49.92 dB。
连续波、采样点与重建波
横轴 时间 t (ms)，纵轴 振幅。细橙线为连续正弦波 sin(2π·f·t)，白点为采样点（间隔 1/f_s），粗黄线为重建波（频率 f_alias）。当发生混叠时可直观看到表观低频。
信号频率 f 与感知频率 f_alias 的折叠关系
横轴 信号频率 f (Hz) [0–5000]，纵轴 感知频率 (Hz)。蓝色锯齿即 f_perceived(f)：f≤f_s/2 时为恒等（斜率 1），其上按 f_s 周期折叠。黄色标记为当前工作点 (f, f_alias)。
理论与主要公式
采样定理给出时间轴离散化的频率上限，量化 SNR 公式则给出振幅离散化的噪声性能。
奈奎斯特频率（折叠极限）：
$$f_{N} = \tfrac{f_{s}}{2},\qquad f_{s} \ge 2 f_{\max}\ \text{时可重建}$$
折叠（混叠）频率：
$$f_{\text{alias}} = \bigl|\,f - \mathrm{round}(f/f_{s})\cdot f_{s}\,\bigr|$$
N 比特均匀量化的理论 SNR（正弦输入）：
$$\mathrm{SNR}_{q} = 6.02\,N + 1.76\ \mathrm{dB}$$
$f$ 为信号频率 [Hz]，$f_{s}$ 为采样频率 [Hz]，$f_{N}=f_{s}/2$ 为奈奎斯特频率。若 $f \le f_{N}$ 则原信号可唯一重建，$f_{\text{alias}}=f$；超过则高频成分折叠到基带形成伪谱。$N$ 为比特数，每增加 1 比特 SNR 改善约 6 dB。
什么是奈奎斯特采样定理模拟器
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默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz 时显示 f_alias=400 Hz。为什么用 1000 Hz 采样 600 Hz 信号，会看成 400 Hz 的信号呢？
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问得好。采样频率 f_s=1000 Hz 的一半 f_N=500 Hz 就是奈奎斯特频率。超过这个上限的 600 Hz 信号，单凭离散采样值已经无法区分原始是 600 Hz 还是 400 Hz。具体地，按折叠规则 f_alias=|f − round(f/f_s)·f_s|=|600 − 1·1000|=400 Hz。在上方图中，把白点连接起来，正好就是粗黄色的 400 Hz 重建波，与橙色的 600 Hz 连续波完全错开。
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下面那张图像锯齿一样的曲线就是表示这个吗？把 f 从 0 扫到 5000 Hz，感知频率会像三角波一样上下波动？
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正是。f_perceived(f) 是以 f_s 为周期的三角折叠函数：f≤f_N=500 Hz 时为恒等（斜率 1），500→1000 Hz 时从 500 Hz 回落到 0 Hz，1000→1500 Hz 又从 0 升回 500 Hz，如此往复。点击"扫描 f"按钮，可看到黄色标记沿锯齿滑动。再把 f_s 提到 2000 Hz，则 f_N=1000 Hz，600 Hz 信号便不再折叠，处于正常采样区。这就是奈奎斯特条件 f_s ≥ 2·f_max 的实际含义。
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结果卡显示量化 SNR=49.92 dB，这个 SNR 又和采样频率是什么关系？
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这个问题切中要害。采样是对时间轴的离散化，而模数转换还伴随对振幅轴的离散化——量化。给 N 比特均匀量化器输入正弦波，信号功率与量化噪声功率之比就是 SNR_q = 6.02·N + 1.76 dB：N=8 得 49.92 dB，N=16（CD 音质）得 98.08 dB，N=24（专业音频）得 146.24 dB。每增加 1 比特 SNR 改善约 6 dB。实机中要降低量化噪声，可以提高 ADC 比特数，或用过采样+抖动把带内量化噪声稀释下去。
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这种问题在 CAE 实践里也常遇到吗？比如振动测量？
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非常常见。例如旋转机械的振动模态分析，关心 0–500 Hz 频带时通常取 f_s=1024 Hz，保险起见取 2048 Hz。为防止 kHz 量级的轴承谐波、几 kHz 的齿轮啮合谐波折叠到带内，必须在 ADC 前置模拟抗混叠滤波器（巴特沃斯 4–8 阶，截止频率约 0.4·f_s）。一旦忽略这一步，FRF 上就会出现并不存在的伪峰，被错误识别为固有频率——这是 CAE 计测前处理中典型的致命错误。采样定理因此处于一切 CAE 测量链路的核心位置。
物理模型与主要公式
奈奎斯特-香农采样定理给出了由 $T_{s}=1/f_{s}$ 间隔采样得到的离散序列 $x[n]=x(nT_{s})$ 能否完全重建连续信号 $x(t)$ 的条件：
$$f_{s} \ge 2 f_{\max},\qquad f_{N} = \tfrac{f_{s}}{2}$$
其中 $f_{\max}$ 是信号最高频率，$f_{N}$ 即奈奎斯特（折叠）频率。当 $f_{s}$ 不满足该条件时，频谱 $X(f)$ 在 $f_{s}$ 的整数倍位置发生重叠并向基带折叠（spectral folding），感知频率成为
$$f_{\text{alias}} = \bigl|\,f - \mathrm{round}(f/f_{s})\cdot f_{s}\,\bigr|.$$
重建在理论上由 sinc 插值 $x(t)=\sum_{n} x[n]\,\mathrm{sinc}(f_{s}(t-nT_{s}))$ 完成，实际中以 FIR/IIR 低通滤波器近似。对 N 比特均匀量化，将信号功率 $A^{2}/2$ 与量化步长 $\Delta=2A/2^{N}$ 对应的均匀分布噪声功率 $\Delta^{2}/12$ 相除得
$$\mathrm{SNR}_{q} = 10\log_{10}\!\left(\frac{A^{2}/2}{\Delta^{2}/12}\right) = 6.02\,N + 1.76\ \mathrm{dB}.$$
对默认值 $f=600$ Hz、$f_{s}=1000$ Hz、$N=8$ bit，工具返回 $f_{N}=500$ Hz、$f_{\text{alias}}=400$ Hz、$\mathrm{SNR}_{q}=49.92$ dB，与上述理论式完全一致。
实际应用
音频模数转换：CD 规范采用 f_s=44.1 kHz（人耳可听 20 kHz 的 2 倍并留余量）、N=16 bit（SNR=98.08 dB）。把 f=20000 Hz、f_s=44100 Hz、N=16 输入本工具，可得到 f_N=22.05 kHz、f_alias=20000 Hz（无折叠）、SNR=98.08 dB，是 CD 规格设计的直接逻辑依据。而 96 kHz/24 bit 的高解析度规格 SNR 高达 146.24 dB，为母带制作提供充足余量。
振动测量与模态分析：旋转机械振动诊断通常针对 0–2 kHz 频段，因此取 f_s=5120–10240 Hz（即 f_s=4·f_max），并以模拟巴特沃斯低通滤波器（4 阶、截止频率 0.4·f_s）从物理上去除 f_s/2 以上的成分。设 f_s=5120 Hz、f_max=2000 Hz，则 f_N=2560 Hz，f_alias=2000 Hz（恒等）。若忽略抗混叠滤波器，6000 Hz 的轴承谐波会折叠到 f_alias=|6000−1·5120|=880 Hz，造成根本不存在的模态被错误识别，这是教科书级别的测量陷阱。
图像处理与显示分辨率：二维采样定理决定了图像像素化的行为。当空间频率超过 1/(2 px) 周期时，细小图案会以粗大莫尔条纹出现。LCD 面板的"次像素渲染"和数码相机镜头前的"光学低通滤波器"都是空间域的抗混叠物理实现。视频帧率（24 fps、60 fps）的时间采样则解释了高速旋转车轮看似反向旋转的"马车车轮效应"。
雷达与声呐的距离/速度模糊：脉冲多普勒雷达中 PRF（脉冲重复频率）相当于采样频率，超过 PRF/2 的多普勒频率（高速目标）会折叠，无法直接还原真实速度。低 PRF 引入距离模糊，高 PRF 引入速度模糊，可用交错 PRF 折中。本工具的折叠函数具有相同的代数结构，可作为雷达工程师的直观训练。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为 "只要严格满足 f_s ≥ 2·f_max 就不会发生混叠"。实际信号中总会混入意外的高频成分（电源谐波噪声、数字电路开关瞬变、RF 干扰、热噪声），它们超过奈奎斯特频率后必然折叠。因此理论不等式只是必要条件，远非充分条件——ADC 前必须物理性地插入一级模拟抗混叠滤波器（典型为巴特沃斯 4–8 阶、截止 0.4·f_s）。一旦折叠发生，任何 FIR/IIR 数字后处理都无法分离。
另一种常见想法是 "若 sinc 插值可完全重建，则 DAC 同样可做到无失真"。理想 sinc 插值需要无限长且非因果的卷积，物理上无法实现。实际 DAC 用零阶保持器（ZOH）后接一级重建低通滤波器近似 sinc，但都存在有限群延迟、通带波纹与阻带泄漏。专业设备通过 4–8 倍过采样配合 ΔΣ 调制，把量化噪声推出可听频带，实现接近理想的重建。
第三个陷阱是认为 "SNR_q=6.02N+1.76 dB 总能达到"。该公式假设：(1) 输入为满量程正弦波，(2) 量化误差呈均匀分布，(3) 无直流偏置与失真。实机中，输入幅度减小一倍 SNR 即降 6 dB，DNL/INL 非线性会引入谐波失真，时钟亚稳态会增加抖动噪声。数据手册中的 ENOB（有效位数）就是由实测 SNR 反推出的等效比特数，必然小于公称 N。例如标称 14 bit 的 ADC，ENOB=12 bit（SNR=74 dB）十分普遍。
常见问题
奈奎斯特-香农采样定理指出：带宽限制在 f_max 以内的连续信号，只要采样频率满足 f_s ≥ 2·f_max，就可由其离散采样值唯一重建原始信号；否则高频成分会折叠到低频侧形成混叠。本工具默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz 时奈奎斯特频率 f_N=500 Hz，由于 f>f_N 出现混叠，所感知频率 f_alias=|600−1·1000|=400 Hz。
当信号频率 f 超过奈奎斯特频率 f_N=f_s/2 时，频谱在 f_s 的整数倍处发生重叠并向基带折叠，感知频率为 f_alias=|f − round(f/f_s)·f_s|。以默认值 f=600 Hz、f_s=1000 Hz 为例，round(0.6)=1，因此 f_alias=|600−1000|=400 Hz，即 600 Hz 信号被感知为 400 Hz 信号。若 f≤f_N，则不会发生折叠，f_alias=f。
对 N 比特均匀量化器输入满量程正弦波，信号功率 (A²/2) 与量化噪声功率 (Δ²/12，Δ=2A/2^N) 之比以 dB 表示得 SNR_q = 10·log10((A²/2)/(Δ²/12)) = 6.02N + 1.76 dB。每增加 1 比特 SNR 改善约 6 dB：N=8 得 49.92 dB，N=16 得 98.08 dB（CD 音质），N=24 得 146.24 dB（专业音频）。本工具即时返回此理论值。
实际信号中总会混入意外的高频成分（电源谐波噪声、旋转机械谐波、热噪声），这些成分若超过 f_s/2 就会折叠到基带，使分析得到的频谱出现伪峰。因此必须在模数转换器前置一级模拟低通滤波器（巴特沃斯或切比雪夫 4–8 阶，截止频率约 0.4·f_s）从物理上去除高频。一旦发生混叠，任何数字后处理都无法恢复。