假定流体为水（ρ = 1000 kg/m³）。该公式在层流区（Re < 2300）严格成立。
左：入口（高压）／右：出口（低压）／两条粗线＝管壁／箭头＝层流的抛物线速度分布（中心最大、管壁为零）
横轴＝ΔP [kPa]／纵轴＝Q [mL/s]／层流区 Q ∝ ΔP 的直线关系（黄点＝当前值）
哈根-泊肃叶定律以解析式给出圆管完全发展层流的体积流量。它由纳维-斯托克斯方程导出，对牛顿流体在等截面圆管中的层流严格成立。
体积流量与平均流速：
$$Q = \frac{\pi R^{4}\,\Delta P}{8\,\mu\,L},\qquad V_{\mathrm{avg}} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{\Delta P\,R^{2}}{8\,\mu\,L}$$
抛物线速度分布（中心最大流速为平均流速的两倍）：
$$u(r) = V_{\max}\!\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad V_{\max} = 2\,V_{\mathrm{avg}}$$
用于层流判定的雷诺数：
$$Re = \frac{\rho\,V_{\mathrm{avg}}\,(2R)}{\mu}$$
$R$ 为管半径 [m]，$L$ 为管长 [m]，$\Delta P$ 为两端压差 [Pa]，$\mu$ 为动力黏度 [Pa·s]，$\rho$ 为密度 [kg/m³]，$r$ 为距管中心的径向距离。
什么是哈根-泊肃叶流动模拟器
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听说点滴的滴落速度由针的粗细、药液黏度和瓶子高度决定，这有公式可以算吗？
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那正好就是哈根-泊肃叶定律 $Q = \pi R^{4}\Delta P/(8\mu L)$。流量正比于针的半径 R 的 4 次方与压差 ΔP，反比于针的长度 L 和药液的黏度 μ。R⁴ 这一项尤其关键，把针的半径减半，流量就降到 1/16。所以临床上「粗针 vs 细针」的选择对滴速影响巨大。
🙋
咦，是半径的四次方！那只要管子细一点，流动就大幅减少了？
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没错。这也是动脉硬化导致血管轻微变窄就会带来血流大幅下降的原因。在模拟器里把 R 从 2 mm 调到 1 mm 试试,流量正好变为 1/16。相比之下,压差 ΔP 是一次方,加倍只能让流量加倍——「把管子做粗」比「提高压力」要有效得多。
🙋
速度分布图里,中心箭头长、靠近管壁的短,这表示什么意思？
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这就是著名的层流抛物线速度分布。式子是 $u(r) = V_{\max}(1 - (r/R)^{2})$,中心 r=0 处最大,管壁 r=R 处为零。管壁速度为零叫做「无滑移条件」,是黏性流体的基本假设。在截面上做平均会得到最大流速的一半,所以 $V_{\max} = 2\,V_{\mathrm{avg}}$。默认值（R=2 mm, L=10 m, ΔP=10 kPa, μ=0.001 Pa·s）下 V_avg = 0.5 m/s,V_max = 1.0 m/s。
🙋
那为什么还要显示 Re（雷诺数）？这是层流公式啊。
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好问题。哈根-泊肃叶定律仅在「流动确实是层流」的前提下严格成立。所以需要监视 Re 来确认仍处于层流区——经验值是 Re < 2300 为层流,2300〜4000 为过渡,4000 以上为湍流。默认参数下 Re = 2000,刚好接近层流边界,继续把 ΔP 调大,Re 也会成比例增加并最终进入湍流区。湍流情况下需要使用达西-韦斯巴赫方程结合穆迪图——可以再去试试「穆迪图」模拟器。
常见问题
为什么只有层流时公式才严格成立？
在层流下纳维-斯托克斯方程的惯性项可忽略，剩下的黏性项与压力项的平衡能解析求解，其解就是抛物线速度分布。沿截面积分即得 Q = πR⁴ΔP/(8μL)。湍流情况下惯性项产生的湍流应力（雷诺应力）占主导，没有解析解。经验上 Re 大约超过 2300 后就进入湍流，因此哈根-泊肃叶定律只用于 Re < 2300 的层流区，超过该范围 Q ∝ ΔP 的线性关系会破坏并趋向 Q ∝ √ΔP。
能用于血流计算吗？
在主动脉等大血管中血流呈脉动流动，公式严格意义上不适用；但毛细血管、细动脉、细静脉等低 Re（数到数十）的细血管里，哈根-泊肃叶式是较好的近似，在生理学与医学中被广泛采用。需要注意的是血液并非牛顿流体，其表观黏度依红细胞浓度变化（特别是低剪切率下表观黏度增加），需要做表观黏度修正。现代血流仿真往往以哈根-泊肃叶式为出发点，逐步加入非牛顿项、脉动项、血管壁弹性项以提高精度。
「完全发展」是什么意思？
在管入口处速度分布近乎均匀（柱塞流），管壁黏性影响逐渐向中心传播，经过一段距离（入口段）后速度分布稳定为抛物线泊肃叶分布,这种状态即「完全发展」。层流入口段长度大约为 L_e ≈ 0.06·Re·D（D 为直径），如 Re=2000、D=4 mm 时 L_e ≈ 0.48 m。本模拟器计算的是入口段之后的稳态值,入口附近实际流量与速度会略有差异。设计中通常假设管长远大于 L_e，或对短管单独加上入口损失系数。
非圆截面（矩形风管等）能用吗？
不能直接套用，但层流下矩形、三角形、环形等截面也存在各自的解析解。例如边长 a 的正方形管道有 Q = K·a⁴·ΔP/(μ·L)，其中 K ≈ 0.0351。实务中常用「水力直径」D_h = 4A/P（A=截面积，P=湿周）替代圆管直径来近似，但层流下这种近似的误差大约在 10〜20%。精确计算时应使用对应截面形状的解析解，或借助 CFD 数值求解。
实际应用
医疗：点滴、输液与导管设计： 点滴的滴速由针孔与瓶子高度（水头压力）决定，设计基础公式正是哈根-泊肃叶式。半径以 R⁴ 进入,标准化针号（18G、20G、22G…）的选择是给药速度的主要因素。透析血液回路、麻醉药持续输注、CT/MRI 造影剂注射等都要用此式估算流量、黏度与导管直径之间的关系。
微流控与 Lab on a Chip： 微流控芯片的流道宽度从几十到几百微米，Re 几乎总在 1 以下，因此默认就是层流。哈根-泊肃叶式（以及矩形截面解析解）是 PCR、细胞培养、蛋白质结晶等生物器件流道设计的标准公式。流道越细，所需 ΔP 以 R⁴ 急剧增加，因此泵压与流道尺寸的折衷是设计的核心。
地下水与多孔介质渗流： 多孔介质中的流动用达西定律 q = -(k/μ)∇P 描述,其推导过程正是把哈根-泊肃叶式按孔径分布平均后得到（Kozeny-Carman 式的出发点）。地下水流动分析、油气藏数值模拟、土壤中污染物输运、CO₂地质封存等本质上都可视为大量哈根-泊肃叶流动的集合。
润滑与摩擦学： 轴承、齿轮间隙中润滑油的流动也可用哈根-泊肃叶式的框架——薄间隙层流来处理（库埃特流与泊肃叶流的叠加）。它是雷诺方程的出发点，常用于由油膜厚度、黏度、转速估算摩擦损失与发热量。
常见误区与注意点
最常见的误解是「只要不停地提高压力，流量就会无限增大」 。哈根-泊肃叶式表面上看是 Q ∝ ΔP，但仅在「流动保持层流」的前提下才成立。一旦提高压力使 Re 超过 2300，流动就转入湍流，关系变为 Q ∝ √ΔP——压力加倍，流量只增加约 1.4 倍。在模拟器里把 ΔP 调大到 statRe 超过 2300 之后，所显示的 Q 是「假设维持层流」下的理论值，实际流量会更小，需特别注意。
第二个常见误解是把「半径与直径」「平均与最大」搞混 。哈根-泊肃叶式中的 R 是半径,不是直径 D。如果跟直径形式 Q = πD⁴ΔP/(128μL) 弄混,会出现 16 倍的差。同样,Re = ρVD/μ 是基于直径,平均流速 V_avg 是最大流速 V_max 的一半,定义上的小差异都很关键。本工具自始至终采用半径 R 输入、平均流速 V_avg、基于直径的 Re 这一统一惯例。
最后还要提防「反正是水，可以忽略黏度」的想当然 。水的黏度在 20°C 下约为 1.0 mPa·s，不算大，但温度与添加物会让它显著变化。甘油约 1500 mPa·s（水的 1500 倍），发动机机油约 100〜500 mPa·s。哈根-泊肃叶式中流量与 μ 成反比，因此黏度增加 10 倍流量就降到 1/10。把 μ 从 0.0010（水）逐渐调到 0.01、0.1（油）能直观感受到流量是如何剧减的。CAE 计算中黏度输入错误正是导致结果偏差极大的典型原因之一。