预设
葡萄酒瓶
汽水瓶
大型水罐
小型哨子
播放时颈部空气柱以共鸣频率振动。声音仅在用户操作后开始，默认静音。端部补正采用双端法兰当量的 L_eff = L + 1.7·r；公式在 f < c/(2π·d_n) 的长波长近似条件下成立。
颈部空气柱（质量）相对空腔空气（弹簧）以共鸣频率振动。蓝色＝压缩（高压）／红色＝膨胀（低压）。右侧「弹簧-质量」模型与之同相。黄色标签＝实时数值。
横轴＝V [L]（对数）／纵轴＝f [Hz]（对数）／f ∝ 1/√V 斜率 -1/2 直线（黄点＝当前值）
亥姆霍兹共鸣器由密闭空腔（体积 V）和短颈部（截面积 A、几何长 L）组成，是一个集中参数声学系统。颈部内的空气柱充当「质量」，空腔内的空气充当「弹簧」，产生固有共鸣。
共鸣频率（含端部补正）：
$$f_H = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V\,L_{\mathrm{eff}}}},\qquad A = \pi r_n^{2}$$
双端法兰当量的有效颈部长：
$$L_{\mathrm{eff}} = L + 1.7\,r_n$$
共鸣波长和周期：
$$\lambda_H = \frac{c}{f_H},\qquad T_H = \frac{1}{f_H}$$
其中 $V$ 为空腔体积 [m³]，$L$ 为颈部几何长 [m]，$r_n$ 为颈部半径 [m]，$A$ 为颈部截面积 [m²]，$c$ 为空气音速 [m/s]。20°C 空气中 $c \approx 343$ m/s，$\rho \approx 1.2$ kg/m³。
亥姆霍兹共鸣器模拟器简介
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吹果汁瓶的瓶口时会发出「嗯」的低音。那是什么在振动呢？
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这就是「亥姆霍兹共鸣」。瓶口（颈部）里的空气充当「重物」，瓶内的空气充当「弹簧」，像弹簧-质量系统一样振动。公式是 $f_H = (c/2\pi)\sqrt{A/(V\,L_{\mathrm{eff}})}$。用默认参数 V=1 L、颈部直径 20 mm、长度 50 mm、c=343 m/s 计算，约得 118 Hz——这正好是低音频段。
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为什么体积越大的瓶子音越低？我觉得大的应该音更高啊。
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直觉确实会骗人。在弹簧-质量系统中，「弹簧越软＝振动越慢＝频率越低」。体积 V 增大时，空腔空气的「弹簧常数」下降（k ∝ 1/V），弹簧变软，共鸣频率也随之下降。具体关系是 f ∝ 1/√V，右边图表以对数为坐标轴时，log f vs log V 呈斜率 -1/2 的直线。体积增加 100 倍，频率就变成原来的 1/10。在模拟器里把 V 从 1 L 改到 100 L，你能亲眼看到频率如何平滑下降。
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这叫「端部补正」。颈部两端的外侧空气也会被吸引着随之振动，这样振动空气柱的有效长就比几何长更长。法兰开放端的标准补正是单端 0.85·r，两端合计约 1.7·r（r 是颈部半径）。默认参数中颈部半径 r=10 mm，所以补正为 17 mm，L_eff = 50 + 17 = 67 mm。如果忽视这个补正，计算出的共鸣频率会高估约 14%，在消音器设计里这是严重误差。
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应用很多。扬声器的低音炮端口就是故意利用共鸣来增强低音的。汽车消音器则是反过来，用亥姆霍兹腔室「吸收」特定频率的排气噪音。建筑里的「共鸣吸音体」可以抑制室内特定频率的共鸣声。陶笛和竖笛的原理也是亥姆霍兹共鸣器。在模拟器里，你能看到从几百毫升的果汁瓶到几十升的葡萄酒柜，再到房间大小的空间，共鸣频率怎样随体积变化。体感一下这个关系，很有意思。
常见问题
为什么能把颈部空气当作「集中质量」？
亥姆霍兹近似成立的条件是共鸣波长 λ 远长于空腔特征尺寸（长波长近似，λ ≫ V^(1/3) 和 d_n）。在此条件下，空腔内空气均匀压缩膨胀，压力分布无差异。同样，颈部空气不是波的传播，而是刚体往复运动。默认参数 V=1 L、d_n=20 mm 时，λ=2.9 m，而 V^(1/3)=10 cm、d_n=2 cm，所以近似很好成立。但如果体积极大，λ 与空腔尺寸可比时，「集中质量」模型就失效了，得用波动方程和本征模式分析。
共鸣的 Q 值（品质因数）由什么决定？
本工具只计算「无损耗」系统的共鸣频率。实际 Q 值（共鸣峰的尖锐度）由三部分决定：(1) 颈部壁面粘性损失，(2) 开口端的辐射损失，(3) 空腔内壁的吸音。玻璃瓶或金属消音器这样的硬壁、硬边开口，Q 值通常为 30～100，共鸣频率前后几 Hz 到几十 Hz 内有尖锐峰值。反之，在开口处填入毛毡或多孔材料会增大辐射损失，Q 值降到 2～5，成为宽带吸音体。扬声器低音炮设计的关键是降低颈部摩擦以提高 Q 值，从而增强低音。
颈部不是圆形而是矩形或其他形状怎么办？
基本上只需要断面积 A，所以矩形、椭圆等非圆形颈部也能直接用 A 代入，共鸣频率的近似精度仍然很好。但端部补正项与形状有关，圆形颈的 0.85·r 要改成「同等面积圆的等效半径」。长条状狭缝颈部的粘性边界层影响很大，有效长会进一步伸长。本工具以圆形颈为前提，但如果用 $r_n = \sqrt{A/\pi}$ 计算等效半径，对矩形颈部也能给出一阶近似。
多个亥姆霍兹共鸣器组合会怎样？
两个或多个共鸣器串联或并联时，会表现为「耦合振子」，在各共鸣频率附近出现多个共鸣峰。汽车消音器由多个腔室和管道连接而成，就是为了狙击发动机声的不同倍频。在声学中这与电路中 LC 谐振器的串并联完全等价，可用声学阻抗和单/双端口矩阵分析。本工具只处理单个共鸣器，但其输出可作为组合设计的基础。消音器最终设计还需声学阻抗分析和实测验证。
现实应用
汽车消音器： 发动机排气含有特定倍频（数十到数百 Hz）。消音器内置亥姆霍兹腔室，其共鸣频率与某倍频匹配时，通过共鸣吸收能大幅衰减该频率。多腔室串联的「多级消音器」是现代乘用车的标配，覆盖多个频带。
扬声器低音炮端口： 相比密闭箱，在前面板开一个圆形导管的「低音炮型」扬声器，就是一个亥姆霍兹共鸣器。它在特定共鸣频率处增强振动板的动作，将低频效率提升 6～10 dB。设计者调整导管直径和长度，使共鸣频率 f_H 接近振动板固有频率 f_s。本工具的公式是低音炮设计的标准起点。
建筑音响与选择性吸音： 音乐厅和录音棚有时需要对特定低频（房间固有模式导致的「轰鸣」）进行选择性吸收。「穿孔板共鸣吸音体」和「狭缝共鸣体」都是亥姆霍兹共鸣器的变体，通过调节尺寸来吸收目标频率。本工具可快速试算所需寸法。
乐器：陶笛、竖笛、瓶笛： 陶笛基本上就是纯亥姆霍兹共鸣器，通过开合孔改变有效颈部面积 A 来改变音高。瓶笛吹响时也遵循同样原理，往瓶里加水来减少体积 V，音就会升高。长笛和竖笛虽属管共鸣，但吹口与内腔的关系也包含亥姆霍兹共鸣成分。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「空腔越大音越高」 。直觉上会这样想，但在弹簧-质量系统中，「沉重柔软＝振动缓慢＝低频」。体积增大意味着弹簧软化（k ∝ 1/V），共鸣反而下降。用模拟器把 V 从 0.01 L 扫到 100 L，你会看频率从约 1100 Hz 滑落到 12 Hz，在 log-log 图上呈现完美的斜率 -1/2 直线。一个腔就能覆盖钢琴低音到小提琴高音的范围，想想都觉得神奇。
其次是忽略端部补正 。当颈部很短时（L < r_n），补正的比例尤其显著。L=10 mm、r_n=10 mm 的颈部，L_eff/L ≈ 2.7，足足增长 3 倍！薄板单孔的亥姆霍兹共鸣（如孔板吸音体），其补正项 1.7·r 更是主导因素，成为独立应用。本工具中即使 L=0，也仅由端补正给出有限共鸣频率。
最后，不要只看共鸣频率就完工 。实际声响还取决于 Q 值（共鸣峰的宽度）和耦合强度。本工具计算的是「理想无损」系统的 f_H，现实中颈部粘性和开口辐射损失会降低 Q，共鸣峰变平缓。消音器和吸音体设计必须通过声学阻抗分析或实测来确认。模拟器只是一阶估算，最终设计务必要实测验证。