参数设置
默认值（平均链接、t=3.0、10点×3、seed=42）可检测到真实的3个聚类。
散点图和树状图
上=散点图（聚类色分，轴[−4,4]×[−4,4]）／下=树状图（X=点ID，Y=距离，橙虚线=阈值t）
理论·主要公式
凝聚型层次聚类从每个点作为独立聚类开始，反复合并最接近的两个聚类。链接方法改变聚类间距离 $d(C_1,C_2)$ 的定义。
单链接（最短距离法）：
$$d(C_1,C_2)=\min_{x\in C_1,\;y\in C_2}\|x-y\|$$
完全链接（最长距离法）：
$$d(C_1,C_2)=\max_{x\in C_1,\;y\in C_2}\|x-y\|$$
平均链接（群平均法／UPGMA）：
$$d(C_1,C_2)=\frac{1}{|C_1||C_2|}\sum_{x\in C_1}\sum_{y\in C_2}\|x-y\|$$
在距离阈值 $t$ 处水平切割树状图，该高度的聚类数就确定了。
层次聚类模拟器是什么
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机器学习教科书里经常看到的那种倒过来的树形图（树状图）最后表示什么？
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那表示「哪些点、在什么距离时成为伙伴」的合并历史。凝聚型层次聚类从全部点各自为一个30聚类开始，反复合并最接近的两个聚类。用本工具的默认值（平均链接、t=3.0）看，树状图下方能看到点点相连，上方看到分组之间相连，过程逐步清晰。
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橙色虚线（t=3.0）是什么意思？ 用它切割后就变成3个聚类了。
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那就是「在距离阈值处切割」的操作。水平切割树状图，该高度剩余的聚类数就确定了。t=3.0时切成3组，t降到0.5时会细分为接近30个，t升到10时全部归为1组。原始数据本来就是3个高斯混合分布，t=3.0恰好检测到3个聚类不是巧合，而是机制上的必然。
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链接方法改为「单链接（最短距离法）」时，好像被吸入一个大块里了…？
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观察很敏锐。这就是单链接的「链式效应」。聚类间距离用「最接近的1对」来测量，所以中间只要有1个点搭个桥，不同组就会连在一起。完全链接相反，用最远的一对来测，容易形成紧凑的聚类。平均链接介于两者之间，叫UPGMA的方法在系统学里也是标准工具，很稳定。
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k-means需要事先决定聚类数k，但层次聚类可以后来选择在树的哪个高度切割。所以当「到底要分成几个」这个问题本身就不明确时，层次聚类更有利。缺点是计算量是O(n³)，超过1万个点就太勉强了。少量、中量数据，想看数据本身的层次结构时，就用层次聚类。
常见问题
Ward法不是直接定义聚类间距离的方法，而是最小化合并成本（方差增加量），在性质上与其他三种方法不同。虽然可以用Lance–Williams更新式纳入同一框架，但初步理解阶段，对比单链接／完全链接／平均链接就足够了。实务中Ward确实应用广泛，但优先让学者掌握这三种方法的链接思想。
本工具用2D点群的欧几里得距离。通常任何距离矩阵都可以输入，曼哈顿距离、余弦距离、Jaccard距离也都可以。系统学用序列间的编辑距离，文本分类用余弦距离是标准。距离选择直接影响聚类形状，在实务中从领域知识选择合适距离非常重要。
轮廓对每个点比较「同聚类内的平均距离a」和「最近的异聚类的平均距离b」，计算(b−a)/max(a,b)。接近1时聚类明确分离，接近0时聚类边界模糊，负值说明点离别的聚类更近。本工具默认值0.5～0.7左右，说明3个高斯分布分离很清楚。
朴素实现时间O(n³)、空间O(n²)，数千点就到实用极限。SLINK（单链接，O(n²)）、CLINK和BIRCH等大规模层次聚类算法存在。本工具只示范n≤45的小规模，无任何优化。超过1万点时，k-means、MiniBatchKMeans或密度聚类DBSCAN是实际选择。
实际应用
生物信息学（系统进化树推断）：从DNA序列或蛋白质序列的相似度推断生物进化系统发育树，经典算法UPGMA（=平均链接）就是层次聚类本身。从序列比对生成距离矩阵，画树状图，在分支点分类物种。NCBI、MEGA、PhyML等主流系统分析软件都以此为基础。
客户分割（市场营销）：按购买历史或人口统计分类客户，通过树状图决定「分几层客户」。与k-means不同，不用事先决定k，可以向管理层提示「分3层还是5层」的选项。R的hclust、scikit-learn的AgglomerativeClustering是标准工具。
基因表达分析（热力图）：从微芯片或RNA-Seq得到基因×样本矩阵，对行（基因）和列（样本）同时做层次聚类重排，绘制热力图。共表达基因组和相似发表达式样本一眼看出，是生命科学论文最常见的可视化手法之一。
异常检测·故障分析：对传感器数据或服务器日志做层次聚类，把小聚类或高处合并的「孤立点」作为异常候选。扫过阈值t「在什么粒度上出现异常」的方法是k-means不容易做到的层次聚类特有的强项。
常见误区和注意点
最大误区是把「链接方法当做个人喜好选择」。实际上结果会随数据特征剧烈变化。单链接易检测链状、细长的聚类，但1个噪点就能让本来不同的聚类通过「链式效应」连接。完全链接偏好紧凑的球形聚类，但对离群值特别敏感。本工具从默认值只改链接方法为单链接，树状图形状大变，t=3.0剩余的聚类数也波动。应该「对比选择」而非「凭感觉选择」。
第二常见是「距离阈值t当做正确答案来固定」。t本质是超参数，要通过树状图观察「大间隔地方」选，或通过轮廓最大化来选，或用领域知识决定。本工具的t滑块移动时，树状图上橙虚线上下晃动，聚类数阶梯式变化。找聚类数稳定的平坦区是窍门。
最后是「计算量O(n³)掉以轻心」。模拟器上30点瞬间算完，但1万点的话单纯计算放大37万倍，10万点就37亿倍。大规模聚类需要SLINK/CLINK等特殊高速算法、k-means或BIRCH这样的近似法，或GPU并行。「层次聚类=少量数据向」是实务心得。