参数设置
为可视化固定为 2D。LHS 本身可推广至任意维度 d。
随机数由 LCG 确定性生成。相同种子与 N 始终给出相同样本。
样本散点图（左：LHS／右：朴素 MC）
背景网格线为 LHS 的 N×N 单元分割。LHS 每行每列各放置一个点（分层）；朴素 MC 无分层。
理论与主要公式
拉丁超立方采样对每个维度 $d$ 构造独立排列 $\pi_d$（取自 $\{0,1,\dots,N-1\}$），第 $i$ 个样本的第 $d$ 维由下式给出（$u_{i,d}\sim U(0,1)$）：
$$x_{i,d} = \frac{\pi_d(i) + u_{i,d}}{N}$$
函数 $f$ 的积分由样本均值估计：
$$\hat{I} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)$$
对光滑函数，LHS 的估计方差以快于朴素 MC 的 $1/N$ 的速度下降，实用误差更小：
$$\mathrm{Var}(\hat{I}_\text{LHS}) \le \mathrm{Var}(\hat{I}_\text{MC})$$
测试函数 $f_1(x,y)=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ 的真值为 $4/\pi^2 \approx 0.4053$。本工具以此为基准比较 LHS 与 MC 的误差。
什么是拉丁超立方采样（LHS）
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在 CAE 文献里常看到「LHS」，它和普通蒙特卡罗有什么区别？不都是随机撒点吗？
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问得好。两者都是随机撒点，但放置规则不一样。LHS 把每个维度切成 $N$ 个等间隔格，约束"每行每列只放一个点"。看上方模拟器左侧，横向每一列、纵向每一行都恰好有一个蓝点，对吗？右侧的朴素 MC（橙色）没有任何约束，独立采样，所以偶然会出现空荡的区域或点的聚集。
🙋
原来如此！「每行每列一个」就像数独的规则。为什么这样积分就更准呢？
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比喻得好。因为样本均匀覆盖空间，求函数均值时的偏差就更小。比如右上角值很大的函数，朴素 MC 偶然没有样本落在那里，估计值就被低估。而 LHS 任何行、任何列都至少有一个点，原理上不容易出现这种「空白」。把模拟器调到 N=20，多次变换种子看看：LHS 估计（蓝色）始终接近真值 0.4053，而 MC（橙色）会在 0.3 到 0.5 之间大幅波动。
🙋
「误差比」这张卡片上显示「2.5×」「5×」之类的，这是不是说 LHS 误差比朴素 MC 小？
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没错。是 |MC 误差|÷|LHS 误差|，所以大于 1 就是 LHS 胜出。实务上的关键是「相同样本数」下成立。比如能跑 100 个 CFD 任务，只要把这 100 个用 LHS 布置，平均值或响应面的精度就明显胜过朴素 MC，零额外成本，只是采样方式不同。
🙋
把函数切到「高频」（2）后，误差比就接近 1，几乎看不到差别。这是为什么？
🎓
观察很敏锐。LHS 起作用主要靠「函数光滑」。像 $\sin(20\pi x)\sin(20\pi y)$ 这种在一个格内振荡好几周的函数，分层效果几乎消失。用 CAE 的话讲，LHS 对「无相关高频噪声」基本无效。实务上要么假设响应是光滑的，要么先用响应面构造光滑的代理模型，再用 LHS 在其上采样。
常见问题
两者都是比朴素蒙特卡罗更均匀覆盖空间的方差缩减方法，但设计思想不同。LHS 是分层采样，保证每个维度的边缘分布均匀，先确定样本数 N 再一次性生成。Sobol 等拟随机（低偏差）序列可以增量扩展，但对维度间相关结构控制较难。CAE 设计探索倾向于使用 LHS，光滑函数的数值积分则常用 Sobol 列。
"每个维度的边缘分布均匀"这一性质与维度无关，始终成立。但空间随维度指数增长（维度灾难），N 较小时投影到二维子空间仍会显得稀疏。为改善高维 LHS，实务上常用最大化最小距离的 Maximin LHS，或相关系数最小化的优化 LHS（MILHS）。
基本的 LHS 固定 N 一次性生成，事后只追加一个点会破坏"每行每列一个"的性质。需要扩展时，常用的有 Nested LHS（把 N 扩到 kN）或 Refinable LHS 构造法。实现较复杂，可以的话最好一开始就取足够大的 N。
在期望意义下，当被积函数在每个维度上单调或光滑时，LHS 的方差理论上保证不超过朴素 MC（McKay 1979）。对于高频振荡函数或 N 极小的情况，两者差距缩小。本模拟器的「高频」函数（模式 2）下误差比贴近 1，正是此种情形。
实际应用
响应面与代理模型的训练数据生成：当一次 FEM/CFD 分析耗时数小时，向设计变量空间投入数百次试验并不可行。用 LHS 均匀放置 30 至 100 个样本，并基于结果训练多项式回归、克里金或神经网络等代理模型，借此加速设计探索与优化，是 CAE 领域的标准流程。
不确定性量化（UQ）与可靠性分析：从材料常数、板厚、载荷等变化的概率分布出发，评估其对产品性能影响的概率分析中，LHS 同样常用。结合蒙特卡罗滤波或 Saltelli 敏感性方法，可在有限试验数下对各输入变量的重要性进行排序。
试验设计（DOE）：除了计算机实验，化学过程或生产线的实物试验中，当多个连续变量需要均匀覆盖且试验数受限时，LHS 也被广泛使用。与正交表型的经典 DOE 不同，它更易处理连续变量，适合因子数多而样本数受限的场景。
机器学习的超参数搜索：作为改良版随机搜索，LHS 被用于学习率、正则化系数、隐藏层大小等超参数空间的高效探索。比网格搜索能以更少试验覆盖更广区域，也常用作贝叶斯优化的初始采样布局。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「用了 LHS 就能减少样本数也不损失精度」的过度信任。LHS 改善的是估计量的方差，并不能补齐函数局部结构本身。例如响应有尖锐峰值时，N=20 的 LHS 仍难以精确定位峰值位置。模拟器中将高斯峰函数（模式 0）与 N=20 组合，LHS 也会出现明显误差。请记住"样本变均匀"与"峰值能定位"是两回事。
其次，「每个维度的边缘分布均匀」与「整体样本均匀」并不等同。LHS 只保证边缘均匀，二维投影下仍可能存在偏差。多次更换种子比较时，偶尔会看到点排成对角线的「对角偏差」。要避免此问题，可使用引入最大化最小距离准则的 Maximin LHS 或 Optimized LHS。本工具为标准 LHS，因此根据种子有时也能观察到此类偏差。
最后，LHS 的优势会因被积函数大幅变化这一点务必注意。本工具的模式 1（$\sin(\pi x)\sin(\pi y)$）正是 LHS 擅长的光滑低频函数，误差比可达数倍至十倍以上。模式 2 的高频函数则使优势消失，甚至偶尔会因运气让 MC 取得更好的值。实务上更安全的做法是先用测试函数观察行为，或在多个种子下评估方差。LHS 并非万能，而是「针对光滑函数的加速器」，这才是正确的定位。