参数设置
随机数采用 LCG（固定 seed=42）为确定性。重新采样会更新 seed。
目标 p(x) 与包络 M·q(x)・受理／拒绝点
蓝实线=目标 p(x)／绿虚线=包络 M·q(x)／绿点=受理点／红叉=拒绝点
受理样本直方图与 p(x)
蓝色柱=受理点的直方图（归一化）／白线=目标 p(x)
理论与主要公式
拒绝采样选择提案 q(x) 与常数 M ≥ sup p(x)/q(x)，生成 X ~ q(x)、U ~ U(0,1)，按 U < p(X)/(M·q(X)) 判定接受。
任一试行的受理概率：
$$P(\text{accept}) = \int \frac{p(x)}{M\,q(x)}\,q(x)\,dx = \frac{1}{M}\int p(x)\,dx = \frac{1}{M}$$
被受理样本的条件分布：
$$f_{X\,|\,\text{accept}}(x) = p(x)$$
期望的受理样本数：
$$\mathbb{E}[N_{\text{accept}}] = \frac{N}{M}$$
M 越大包络越厚越安全，但受理率按 1/M 比例下降，计算量随之增加。
什么是拒绝采样模拟器
🙋
从概率分布 p(x) 取样的时候，计算机直接生成随机数不就行了吗？为什么还需要「拒绝」这种操作？
🎓
好问题。像均匀或正态这种「逆函数能解出来的分布」可以直接采样，但贝叶斯统计中的后验分布常常归一化常数未知、形状又复杂，无法直接生成。拒绝采样的思路是：套一个易于采样的提案 q(x)，只挑「中标」的样本。上方模拟器默认就是用均匀分布覆盖 Beta(2,5)。
🙋
绿色虚线是「M·q(x)」、蓝色实线是目标，对吗？为什么要乘 M？
🎓
因为必须在所有 x 上满足 M·q(x) ≥ p(x)，也就是把提案抬高成一个「天花板」完全盖住蓝色的山。Beta(2,5) 的最大值在 x=0.2 约为 2.458，所以 q=1（均匀）时需要 M≥2.458。默认 M=3.0 是安全侧的取值。把 M 降到 2 看看，蓝线会冲破绿色虚线，方法就崩了。
🙋
受理率显示约 33%，正好等于 1/M。这是巧合吗？
🎓
不是巧合，这正是拒绝采样的核心定理。对受理概率积分得 ∫p(x)/(M·q(x))·q(x)dx = (1/M)∫p(x)dx = 1/M。所以 2000 次试行约受理 666 个，率约 33%。M=5 时降到 20%，M=10 降到 10%，效率严格按 1/M 线性下降。把模拟器里「理论最大效率 1/M」与「受理率」两张卡片对比一下，几乎完全一致。
🙋
我把「目标分布」切到 1（双峰），受理率猛降！
🎓
对，双峰或复杂形状下，用高斯提案要安全覆盖就必须取很大的 M。提案宽度 σ 太小则尾部覆盖不足，太大则浪费在空区域。实务中这是大问题——高维下受理率指数趋零，即「维度灾难」。所以才发展出 MCMC、哈密顿蒙特卡罗等更聪明的方法。拒绝采样既是这条路的起点，也教会我们它自身的极限。
常见问题
理论最优为 M = sup_x p(x)/q(x)，此时受理率最大化。Beta(2,5) 与均匀提案下，p 的众数 x=0.2 处比值为 2.458，所以 M=2.458 最优。实现中可解析地求 p 与 q 的导数得到上界，或用细网格评估近似。形状未知时建议采用自适应拒绝采样 (ARS)，它在采样过程中动态构造并更新包络。
可以。若 p(x) = p̃(x)/Z 而 Z 未知，将 M 取为 sup p̃(x)/q(x) 并用 p̃(x)/(M·q(x)) 比较即可，得到的样本仍严格服从 p(x)。这在贝叶斯后验（似然×先验、Z 未知）中尤其有用，也是 Metropolis-Hastings 方法的概念种子。
高维下 p(x) 的质量集中在极薄的区域，让易处理的 q(x) 与之匹配极其困难。比 p/q 的上确界随维度 d 呈指数增长，受理率 1/M 也按指数衰减。例如用一个均值略有偏移的高斯去覆盖 10 维高斯目标，M 就会爆炸到天文数字。高维下必须改用 MCMC、变分推断或 HMC。
把条件分布写出来即可证明。给定受理事件，X ~ q 且 U < p(X)/(M·q(X))，则 X 的条件密度为 q(x)·[p(x)/(M·q(x))] / (1/M) = p(x)，正好是目标。M·q(x) ≥ p(x) 这一条件保证了「在包络下均匀散布的随机点」的几何解释，沿垂直方向切片后正好得到 p(x)。
实际应用
贝叶斯统计与概率建模：后验分布 p(θ|D) ∝ p(D|θ)p(θ) 通常没有解析的归一化常数，因此用拒绝采样生成参数 θ 的样本。在低到中维模型以及更高级 MCMC 的预热中广泛使用，是贝叶斯推断的基础构件。
计算物理与分子模拟：在用概率分布采样来评估宏观物理量的加权蒙特卡罗法中，从玻尔兹曼分布 p(x) ∝ exp(-E(x)/kT) 生成样本时使用拒绝采样。能量地形简单时有效，并是 Metropolis 类算法的理论背景之一。
CAE 与可靠性分析：产品可靠性评估中，从输入参数（材料强度、尺寸公差）的分布生成样本，再用有限元法求响应，进行概率论设计。输入分布非标准型时用拒绝采样生成样本，从所得响应分布估计破坏概率。
机器学习与生成模型：用于概率模型归一化常数评估、从基于能量的模型采样、稀有事件估计等。GAN 和扩散模型的理论分析中也会出现拒绝采样的概念，对理解现代生成模型不可或缺。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「只要能拿到样本，受理率多低质量都一样」。被受理的样本理论上确实严格服从 p(x)，但若受理率 1/M 极低，得到目标数量的样本就要付出巨大计算成本。Beta(2,5) 例子中取 M=10 时受理率为 10%，相比 M=2.458 大约需要 4 倍的试行次数。基本原则是把 M 取到尽量贴近上确界的值；在模拟器里拖动 M 滑块同时看「受理率」卡片，就能体会到甜点位置。
其次常见的错误是轻视提案分布 q(x) 的选择。q 与 p 形状差异大时，即使满足 M·q(x) ≥ p(x)，大部分提案也会落在远离 p 山峰的「无用区域」而被拒绝。把模拟器目标设为 1（双峰）、提案宽度设为 0.5 试试看：提案集中在中央，两峰样本严重不足。好的 q 是「形状贴近 p、尾部至少与 p 一样宽」。
最后请理解条件 M·q(x) ≥ p(x) 被违反时的后果。该不等式必须对所有 x 成立；只要有一点违反，该处的受理概率就会超过 1，得到的样本就会从 p(x) 系统性偏离。在模拟器中把目标设为 Beta(2,5) 且 M=2，蓝线就会在峰附近冲破绿色虚线，直方图在峰附近明显被低估。实现中应在细网格或数值优化下评估 sup p/q，再乘以安全系数后再定 M。