参数设置
随机数由 LCG（固定种子=42）确定。重新采样会更新种子。
目标 p(x) 和包络 M·q(x)·接受/拒绝点
蓝色实线=目标 p(x)／绿色虚线=包络 M·q(x)／绿色圆点=接受点／红色×=拒绝点
接受样本的直方图与 p(x)
蓝色柱=接受点的直方图（正规化）／白色线=目标 p(x)
理论与主要公式
拒绝采样选择提案 q(x) 和常数 M ≥ sup p(x)/q(x)，生成 X ~ q(x), U ~ U(0,1)，执行接受判定 U < p(X)/(M·q(X))。
接受概率（任何试验被接受的概率）：
$$P(\text{accept}) = \int \frac{p(x)}{M\,q(x)}\,q(x)\,dx = \frac{1}{M}\int p(x)\,dx = \frac{1}{M}$$
接受样本的条件分布：
$$f_{X\,|\,\text{accept}}(x) = p(x)$$
期望接受样本数：
$$\mathbb{E}[N_{\text{accept}}] = \frac{N}{M}$$
M 越大，包络越厚实越安全，但接受率按 1/M 比例下降，计算量增加。
拒绝采样模拟器是什么
🙋
计算机生成概率分布 p(x) 的样本，不就是直接生成随机数吗？为什么需要什么"拒绝"？
🎓
这是个很好的问题。均匀分布、正态分布这样的分布，因为"反函数有显式形式"，所以可以直接采样。但贝叶斯统计的后验分布，正规化常数往往未知，或形状复杂得无法直接生成。拒绝采样用"覆盖策略"解决这个问题——找一个易于采样的提案 q(x) 把它按比例放大，盖住蓝色的目标 p(x)，然后只捡"命中"目标的点。模拟器默认用均匀分布来覆盖 Beta(2,5) 分布。
🙋
绿色虚线是"M·q(x)"，蓝色实线是目标。为什么要乘以 M？
🎓
因为必须满足"M·q(x) ≥ p(x) 对所有 x 都成立"。换句话说，你用提案放大后的曲线当"天花板"，要完全盖住蓝色的山。Beta(2,5) 在 x=0.2 处最高值约 2.458，q=1（均匀），所以需要 M≥2.458。默认设 M=3.0 比较安全。试试把 M 改为 2，你会看到蓝线穿过绿色虚线，这样采出的分布就错了。
🙋
我看到"接受率"显示 33%，这恰好是"1/M"的 1/3。是巧合吗？
🎓
不是巧合，这是拒绝采样的核心定理。接受概率的积分是 ∫p(x)/(M·q(x))·q(x)dx = (1/M)∫p(x)dx = 1/M。所以 2000 次试验中，接受数约 666，比例约 33%。M 改成 5，接受率就是 20%；改成 10，就是 10%。看看卡片上"理论最大效率 1/M"和"接受率"的数值，它们应该很接近。
🙋
我把"目标分布"切到 1（双峰），接受率一下子掉下来了……
🎓
对，这是关键问题。分布的形状一旦复杂，用一个简单的提案（比如一个高斯）来覆盖就很困难，你不得不把 M 设得很大。而且提案宽度 σ 太小会漏掉两个峰，太大又浪费。这就是现实中的困境，也是为什么工业级应用会用 MCMC 或哈密尔顿蒙特卡罗——拒绝采样在高维或复杂形状时，效率会按指数下滑，那叫"维数诅咒"。但它是学习蒙特卡罗方法的经典起点，缺点也教会我们该往哪里改进。
常见问题
理论上，M = sup_x p(x)/q(x) 是最优的，能最大化接受率。对于 Beta(2,5) 与均匀提案，在 x=0.2 处比值最大为 2.458，所以 M=2.458 是最优。实现时可以对 p 和 q 求导找极值点，或用数值网格扫描来逼近上界。如果分布形状不明确，可用自适应拒绝采样 (Adaptive Rejection Sampling, ARS)，它能动态调整包络。
能。设 p(x) = p̃(x)/Z，其中 Z 是未知常数。只要你知道 p̃(x) 的形式，选择 M ≥ sup p̃(x)/q(x)，接受判定用 U < p̃(X)/(M·q(X))，得到的样本依然严格遵循 p(x)。这对贝叶斯推断极其关键——事后分布正规化常数就是积分难，但这不影响拒绝采样的有效性。
高维中，目标分布的概率质量集中在极窄的区域（浓度现象），而提案分布往往是全维度展开的。比值 p(x)/q(x) 的上界随维数指数增长，所以 M 必须非常大，接受率 1/M 就指数下降。一个 10 维的高斯案例，稍微移动均值就会导致 M 飙升。这就是"维数诅咒"。处理高维问题需要 MCMC、变分推断或哈密尔顿蒙特卡罗这样的进阶方法。
从贝叶斯定理推导：X ~ q，U ~ U(0,1)，当 U < p(X)/(M·q(X)) 时接受。条件分布 f(X|accept) = q(x)·[p(x)/(M·q(x))] / P(accept) = q(x)·[p(x)/(M·q(x))] / (1/M) = p(x)。关键是条件 M·q(x) ≥ p(x) 保证了"在厚天花板下均匀随机打点，从下往上切片看就是 p(x)"这个几何直觉。
现实应用场景
贝叶斯统计与概率建模：后验分布 p(θ|D) ∝ p(D|θ)p(θ) 的正规化常数通常无解析形式，拒绝采样用来生成参数样本，进而估计后验均值、置信区间等。在低维模型或 MCMC 的预热阶段常见。
计算物理与分子模拟：在加权蒙特卡罗中，玻尔兹曼分布 p(x) ∝ exp(-E(x)/kT) 的采样是核心问题。能量地形简单时，拒绝采样可直接应用；复杂时转向 Metropolis 法或淬火分子动力学。
可靠性工程与 CAE：产品可靠性评估需从不确定输入（材料强度、尺寸公差）抽样，送入有限元求解。当输入分布非标准时，拒绝采样生成样本，再统计响应分布推估失效概率。
机器学习与生成模型：能量基模型、某些变分自编码器的先验采样、稀有事件估计等都会涉及。现代扩散模型的理论分析也借鉴了拒绝采样的思想。
常见误区与注意事项
最普遍的错误是"只要接受率低就放弃"。实际上接受率 1/M 低虽然意味着需要更多试验次数，但接受的样本品质依然完美无缺。问题在成本：M=10 时接受率 10%，要得到同样数量的样本，试验次数是 M=2.458 的 4 倍。所以 M 要选得尽可能紧。模拟器里拖 M 的滑块看"接受率"卡片，找到效率和保险之间的均衡点。
其次，低估提案分布 q(x) 的选择难度。q 的形状如果和 p 差太远，即使满足 M·q(x) ≥ p(x)，大多数点也会落在 p 的"无人区"被浪费掉。模拟器中把"目标分布"改为 1（双峰），"提案幅度"σ 设成 0.5，会发现中央堆积、两峰缺失——这就是提案选不好的后果。最好的提案是"形状接近、尾部稍宽"。
第三，条件 M·q(x) ≥ p(x) 是硬性约束，一个点也不能破。若破了，接受概率会超过 1，样本就系统性偏离真实分布。模拟器改 M=2、保持 Beta(2,5) 时会看到蓝线穿出绿虚线，直方图的峰值会有明显低估。实现时一定用保守的估计或数值验证来设 M。
具体计算示例
贝塔分布 p(x)=60x²(1-x)² [0,1]、提案分布 U(0,1)、M=0.375 的情况，理论最大效率 1/M ≈ 2.67（平均 2.67 次试验得 1 个样本）。N=50,000 次试验时，接受率约 37.5%，接受样本数约 18,750，与理论值偏离通常 <1%。提案分布幅度过宽会导致 M 增加、效率下降（1/M→大），过窄会漏掉目标分布的尾部。