系统参数
m₁ =
kg
m₂ =
kg
k₁ =
N/m
k₂ =
N/m
k₃ =
N/m
—
f₁ (Hz)
—
f₂ (Hz)
—
振型1 比值
—
振型2 比值
Visualization
调整2自由度弹簧-质量链的质量和刚度参数，实时计算固有频率、振型和 FRF，并通过动画进行可视化。
这个模拟器的核心是求解一个特征值问题。我们想知道系统在不受外力时，可能以哪些频率（ω）和形态（φ）自由振动。这由下面的方程决定：
$$(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M}) \boldsymbol{\phi}= 0$$其中，K 是刚度矩阵（由弹簧常数 k₁, k₂, k₃ 构成），M 是质量矩阵（由质量 m₁, m₂ 构成），ω 是角频率，φ 就是振型向量。这个方程有非零解的条件是系数矩阵的行列式为零。
对于我们的2自由度系统，这导出了一个关于 ω² 的二次方程，求解它就能得到两个固有频率：
$$\det(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_1, \omega_2$$ω₁ 和 ω₂ 就是系统的一阶和二阶固有角频率（单位 rad/s）。对应的振型 φ₁ 和 φ₂ 则描述了在每个频率下，两个质量块相对运动的形状。
汽车工业：在汽车设计中，模态分析用于确保车身、底盘和发动机支架的固有频率远离路面激励或发动机怠速频率，避免产生令人不适的共振噪音和抖动。
航空航天：飞机机翼和涡轮发动机叶片的模态分析至关重要。必须精确计算其振型，防止在飞行中与气流引起的振动频率重合，导致灾难性的共振疲劳破坏。
土木工程：高层建筑、大跨桥梁和风力发电机塔筒都需要进行模态分析。工程师据此了解结构在地震或强风下的主要振动模式，并设计相应的减震装置。
消费电子：你的手机或笔记本电脑内部也有模态分析。工程师要确保硬盘、风扇或整个主板的振动不会产生异响，也不会在特定频率（如扬声器低音）下引起壳体共振。
开始使用此模拟器时，有几个容易陷入的误区需要注意。首先是“质量设为零会导致计算失效”。例如尝试将m2设为0？此时固有频率会发散至无穷大或出现计算错误。现实中质量不可能为零，且数值计算中需要求质量矩阵的逆矩阵，因此零值或极小的数值都是不可取的。其次是“常误认为弹簧刚度相同时振型也会对称”，但这仅在质量也相同的情况下成立。若设m1=1、m2=3且k1=k2=k3=1，则一阶振型中较重的m2Amplitude会变小。请通过实践体会振型是由质量与刚度的“比值”决定的。最后，切勿过度依赖FRF图的山峰高度（峰值）。由于此模拟器未包含阻尼，理论上峰顶会趋于无限尖锐。实际结构必然存在阻尼，因此峰值具有有限高度和宽度。使用工具讨论“共振风险”时，请务必牢记这一点。