默认值为 L=1.0 m、θ₀=45°、g=9.81 m/s²、m=1.0 kg。摆动画基于厉格周期 T 实时显示 1 个振动周期，最大振幅位置（±θ₀）用虚线标注。质量 m 不影响周期，但对位置势能有贡献。
固定点悬挂长 L 摆、质量 m。蓝球为当前角度，左右灰虚线为最大振幅 ±θ₀ 停止位置。运动中按厉格周期 T 实时振动。
θ ₀
横轴 振幅 θ₀ (°) [0–175]，纵轴 周期误差 (%)。蓝曲线为椭圆积分厉格误差，橙虚线为级数展开第1项 θ₀²/16。黄标记为当前动作点 (θ₀, 误差)。θ₀→180° 时发散。
摆的周期在小振幅近似和厉格解中差异很大。并列显示两种。
小角度近似周期（等时性）：
$$T_{0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$$
厉格周期（第1种完全椭圆积分 K(k)）：
$$T = 4\sqrt{\dfrac{L}{g}}\,K\!\left(\sin\dfrac{\theta_{0}}{2}\right),\quad K(k)=\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\varphi}}$$
级数展开和位置势能：
$$T \approx T_{0}\left(1+\dfrac{\theta_{0}^{2}}{16}+\dfrac{11\theta_{0}^{4}}{3072}+\dfrac{173\theta_{0}^{6}}{737280}+\cdots\right),\qquad E = m g L (1-\cos\theta_{0})$$
$L$ 为摆长 [m]、$\theta_{0}$ 为振幅 [rad]、$g$ 为重力加速度 [m/s²]、$m$ 为质量 [kg]。$T_{0}$ 不依赖质量和振幅（等时性），但 $T$ 随 $\theta_{0}$ 增大而变长，当 $\theta_{0}\to\pi$ 时发散。位置势能 $E$ 为最高点（振幅 $\theta_{0}$）的值。
大振幅摆模拟器介绍
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默认值显示 θ₀=45° 时 T₀=2.006 s、T=2.086 s、误差 4.00%。仅 45° 就有 4% 偏差？我学的是"摆是等时的"，感到意外。
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好问题。"等时性"成立的条件是 sinθ≈θ 的小振幅领域（大约 θ₀<10°）。θ₀=45° 时 sinθ 小于 θ，复原力相对减弱，周期变长。级数展开 T≈T₀(1+θ₀²/16+...) 的第1项，当 θ₀=45°(0.785 rad) 时给出 +(0.785)²/16=3.85%，已经接近。本工具用 AGM 法直接计算完全椭圆积分 K(k)，返回厉格值 4.00%。伽利略 1602 年发现"等时性"是观察小摆（约 5° 振幅），在那个近似成立范围内的经验结论。
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滑动条拉到 θ₀=175°，误差超过 1000%，摆几乎停在正上方。发生了什么？
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θ₀→180° 时 K(1)=∞，周期本身发散。物理含义是"到达不稳定平衡点（正上方）需要无限时间"——根据能量守恒，θ=180° 时动能=0，稍微偏离就会指数增长而不能越过（或从另一侧跌落）。在相空间（θ-ω 平面）这条轨迹就是"分离线（separatrix）"，分隔稳定的闭轨和回转轨道的边界。它是鞍点附近时间"流逝变慢"的经典例子。
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蓝曲线（厉格）和橙虚线（级数1项）从 θ₀≈60° 开始明显分开。需要级数多少项才实用？
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好观察。级数 T≈T₀(1+θ₀²/16+11θ₀⁴/3072+173θ₀⁶/737280+22931θ₀⁸/1321205760+...) 收敛半径是 θ₀=π。θ₀=45° 时 2 项得 0.005% 精度，4 项达机器精度。θ₀=120°(2.09 rad) 时第1项 27.4% vs 厉格 31.7%，偏差大，需 5~6 项。实际上 θ₀<60° 时 2~3 项足够，更大用 AGM 法椭圆积分更高效精准。本工具为稳定性在全域用 AGM、30 次迭代机器精度。
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质量 m 变化时位置势能 E 改变，但周期 T₀、T 不变。为什么摆周期不取决于质量？
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运动方程 m·L·θ'' = -m·g·sinθ 两边消除 m 得 θ'' = -(g/L)sinθ，质量完全消去——源自"惯性质量等于重力质量"（等价原理），是爱因斯坦广义相对论的起点。伽利略的"不同质量球同时落地"就体现了这个原理。而位置势能 E=mgL(1−cosθ₀) 与 m 成正比，在能量储存设备设计中质量增大有意义。瑞士 Energy Vault 公司用 35 吨混凝土块升降储存 MWh 级电能——把摆的概念应用到重力能储存。
物理模型与主要公式
长度 $L$ 的绳悬挂质量 $m$ 的刚体摆（理想摆），由牛顿第二定律得 $m L \ddot{\theta} = -m g \sin\theta$，即 $\ddot{\theta} = -(g/L)\sin\theta$。小振幅近似 $\sin\theta\approx\theta$ 下得调和振子方程 $\ddot{\theta}+(g/L)\theta=0$，固有角频率 $\omega_{0}=\sqrt{g/L}$，周期 $T_{0}=2\pi/\omega_{0}=2\pi\sqrt{L/g}$ 与质量和振幅无关，等时性成立。
大振幅时保留 $\sin\theta$，由能量守恒 $\tfrac{1}{2}L^{2}\dot{\theta}^{2}+gL(1-\cos\theta)=gL(1-\cos\theta_{0})$ 得 $\dot{\theta}=\pm\sqrt{(2g/L)(\cos\theta-\cos\theta_{0})}$。从 0 到 $\theta_{0}$ 积分乘以 4 得周期：
$$T = 4\int_{0}^{\theta_{0}}\dfrac{d\theta}{\sqrt{(2g/L)(\cos\theta-\cos\theta_{0})}} = 4\sqrt{\dfrac{L}{g}}\,K\!\left(\sin\dfrac{\theta_{0}}{2}\right)$$
其中 $K(k)=\int_{0}^{\pi/2}d\varphi/\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\varphi}$ 是第1种完全椭圆积分。当 $k=\sin(\theta_{0}/2)\to 1$ 时 $K(k)\to\infty$，周期发散。级数形式为 $T=T_{0}(1+\theta_{0}^{2}/16+11\theta_{0}^{4}/3072+173\theta_{0}^{6}/737280+\cdots)$，第1项 $\theta_{0}^{2}/16$ 是典型"大振幅修正"。最高点势能为 $E=mgL(1-\cos\theta_{0})$，与质量成正比但不入周期。本工具用 AGM 法（算术几何平均）机器精度计算 $K(k)$。
实世界应用
摆时钟精度设计： 惠更斯（1656年）以来的摆时钟用脱进机（escapement）将振幅控制在几乎恒定，实现等时性。Riefler 和 Shortt 的精密天文时钟将振幅严格限制在 1.5°~2°，周期误差从 θ²/16 得 (0.026)²/16=4.3×10⁻⁵=0.0043%，达 1 日 1/100 秒精度。本工具输入 θ₀=2° 得误差 0.0076%，可再现。GPS 和原子钟出现前 300 年间，这是最精准的时间标准。
地震响应分析与 TMD（调谐质量阻尼器）： 建筑 1 阶模态似摆，超高层在顶部装摆型 TMD 反相振荡吸收主结构摇晃。台北 101（660 吨摆）、上海中心（1000 吨）等。设计时评估"预期地震振幅使 TMD 周期误差 4% 致与主结构失谐"的风险，本工具大振幅修正直接适用。CAE 中非线性动力分析（Newmark-β 或中心差分法）直接积分 sinθ。
生物体内时钟的生物物理模型： 哺乳动物生体时钟是转录-翻译负反馈环的非线性振荡子，周期随振幅"等时性破缺"变化。光刺激改变振幅可使周期偏移 0.5~1 小时——本工具"大振幅摆"同一数学结构。Hodgkin-Huxley 型神经元发火模型也现此数学框架，应用于癫痫发作理论分析。
重力测量与地球形状： 摆重力计（Kater 摆、1818）用 $g=4\pi^{2}L/T^{2}$ 以 0.001% 精度测重力，20 世纪前半是绘地球重力分布图的标准器。本工具反算 L=1 m、T=2.006 s 得 g=4π²·1/2.006²=9.81 m/s²。现超导重力计和绝对重力计（自由落体）主流，但摆重力计思想在地下空洞、矿床探查和地壳变动监测中延续。
常见误解与注意
最常见误解是 "摆周期总是 T=2π√(L/g)，与振幅无关" 。这仅在小振幅（θ₀≪1 rad）极限成立，θ₀=10° 时 0.19%、45° 时 4.00%、90° 时 18.1%、120° 时 32%、170° 时 290%，急速发散。本工具误差曲线一目了然"等时性实用范围 θ₀<10°"。物理教科书"摆等时性"均明确标注"微小振动极限"前提，应用时必核实振幅数量级。
次常见误解是 "质量重则周期短（或长）" 。理想摆运动方程消去质量 m，周期不依赖质量（等价原理）。本工具拖 m 滑块，仅位置势能 E 改变，T₀ 和 T 固定。但"实物摆"中空气阻力相对质量大（小球减衰快）、绳质量非零（需实体摆模型），极限情况此律破缺。
再者误以为 "椭圆积分无闭形，只能近似" 。虽初等函数表示不了，AGM 法（算术几何平均）反复迭代位数指数增长"二阶收敛"，30 次迭代达机器精度（10⁻¹⁵）。Python 的 `scipy.special.ellipk` 和 C 的 `boost::math::ellint_1` 内部也都用 AGM。本工具 50 次迭代稳定计算到 θ₀=174.999°。级数展开 θ₀<60° 实用，大振幅需多项，AGM 法压倒性高速。
常见问答
大振幅摆周期为何随振幅变？
运动方程 d²θ/dt² = -(g/L)sinθ 含非线性项 sinθ。小振幅时 sinθ≈θ，周期 T₀=2π√(L/g) 独立于振幅（等时性）。大振幅时 sinθ < θ，复原力相对弱，周期增长。厉格式 T=4√(L/g)·K(sin(θ₀/2))，其中 K(k) 为第1种完全椭圆积分。默认值 L=1.0 m、θ₀=45°、g=9.81 m/s² 代入得 T₀=2.006 s、T=2.086 s、误差 4.00%。
完全椭圆积分 K(k) 怎样计算？
第1种完全椭圆积分 K(k)=∫₀^(π/2) dφ/√(1-k²sin²φ) 初等表不了，用 AGM（算术几何平均）法几次迭代达机器精度。从 a₀=1、b₀=√(1-k²) 开始，迭代 a_{n+1}=(a_n+b_n)/2、b_{n+1}=√(a_n·b_n)，得收敛 M(1,√(1-k²))，则 K=π/(2M)。本工具 AGM 法 50 次迭代，精确到 θ₀=175°。级数展开 T≈T₀(1+θ₀²/16+11θ₀⁴/3072+...) 可用，θ₀ 大时收敛慢。
振幅 θ₀=90° 与 175° 周期怎样变化？
L=1.0 m、g=9.81 m/s²，θ₀=90° 时 K(sin45°)=1.8541，T=4·0.3193·1.8541=2.369 s，误差 18.1%。θ₀=175° 时 k=sin(87.5°)≒0.9990，K≒5.435，T≒6.943 s，误差 246%（周期约 3.5 倍）。θ₀→180° 时 K(1)=∞ 周期发散，表示到达不稳定平衡点（顶端）需无穷时间。相空间中现为"分离线（separatrix）"。
该用级数展开还是椭圆积分？
θ₀ 小（<30° 左右）时，级数展开 T≈T₀(1+θ₀²/16+11θ₀⁴/3072+173θ₀⁶/737280+...) 取 1~2 项有 0.01% 精度。θ₀=45° 的 2 项展开得 T/T₀≒1.0386，误差 0.005%，近厉格值。θ₀>90° 时级数慢，多项需求，AGM 法直接椭圆积分快精。本工具内用 AGM，θ₀=1~175° 全域精密厉格周期。