参数设置
以恒星日 86164.1 秒（地球自转一周）为基准，Ω_earth = 2π/T。北半球摆动平面顺时针旋转，南半球则逆时针旋转。
俯视图：摆动平面（地面）
中心＝摆锤正下方／蓝色实线＝当前摆动轴／灰色虚线＝t=0 时的摆动轴／橙色弧＝进动角 Δθ／N/E/S/W＝方位
进动角随时间变化（按纬度比较）
横轴＝经过时间 t (h)／纵轴＝进动角 Δθ (°)／蓝色＝当前纬度／灰色＝赤道 (0°)、35°、极点 (90°)／黄色点＝当前 (t, Δθ)
理论与主要公式
地球自转角速度矢量 $\Omega_\oplus$ 在纬度 $\varphi$ 处只有沿铅垂方向的分量起作用，这正是傅科摆摆动平面旋转的本质。
单摆振动周期（小振幅）：
$$T_{\mathrm{osc}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$$
纬度 $\varphi$ 处的进动角速度：
$$\Omega_{\mathrm{pre}} = \Omega_\oplus \sin|\varphi|,\qquad \Omega_\oplus = \dfrac{2\pi}{86164.1\,\mathrm{s}} \approx 7.292\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$$
绕行一周时间与经过时间 $t$ 的累计进动角：
$$T_{\mathrm{pre}} = \dfrac{2\pi}{\Omega_{\mathrm{pre}}},\qquad \Delta\theta = \Omega_{\mathrm{pre}}\,t$$
$L$ 为摆长 [m]，$g$ 为当地重力加速度 [m/s²]。进动只依赖于 $\sin\varphi$，与 $L$ 或质量无关。北半球顺时针、南半球逆时针、赤道为零。
傅科摆模拟器是什么
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我在科技馆看过傅科摆，摆的方向会一点点偏过去，这是摆本身在转吗？
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好问题。摆本身在"绝对空间"中始终沿同一方向摆动，真正在转的是地面。地球一天自转一周，所以站在地面上的人看摆，就觉得它在缓慢地反向旋转。1851 年傅科在巴黎先贤祠悬挂了一根 67 米长、28 公斤重的摆，第一次在实验室尺度上把地球自转直观地展示给大家。
🙋
我把上面模拟器的纬度调到 0°（赤道），它就完全不转了；调到北极反而正好一天转一圈。
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这正是公式所说的。进动角速度是 $\Omega_\oplus \sin\varphi$，与纬度的正弦成正比。极点 sin90°=1，约 23.93 小时（一恒星日）旋转一圈；东京（35°）sin35°≈0.574，约 41.7 小时一圈；赤道 sin0°=0，根本不转。仅靠一个摆就能确定"自己在地球上的位置"，是不是很神奇？
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不会。进动只与纬度有关，与摆长 L、质量 m、振幅都无关。摆长决定的是摆动周期 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$，越长摆得越慢。实际傅科摆做到 60–70 米，并不是为了加快旋转，而是为了减小空气阻尼，让摆动持续好几个小时，这样缓慢的进动才能被人眼看清。
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同一种现象的不同表述。在地球（旋转参考系）中观察，每个运动物体都会受到与速度垂直的科里奥利力 $F = -2m\,\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{v}$。北半球时这个力总指向运动方向的右侧，逐渐把摆动平面推向顺时针方向；南半球指向左侧，推向逆时针方向。台风的旋转方向和炮弹的偏转都是同一种机制。
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观察很到位。广义上"轴方向缓慢旋转"都叫进动。陀螺在重力下的圆锥摇摆、地球自转轴在 26000 年里完成一周的春分点进动、傅科摆摆动平面的旋转，都可以用同一套数学描述。在大学力学课的最后几周，你会体会到这些看似无关的现象竟然能写成同一个公式的乐趣。
常见问题
傅科摆的摆动平面在惯性系（远恒星固定的参考系）中保持方向不变，地面相对它旋转的速率也必须以同一个惯性系为基准，这就是恒星日 86164.1 秒。常说的"一天 86400 秒"（太阳日）是地球面向太阳完成一个完整转动所需的时间，包含了由于公转而多转的约 1°。所以在极点傅科摆完成一周需要的时间是 23.934 小时（恒星日），而不是 24 小时。
变成逆时针旋转。进动角速度的大小仍是 |sin φ|，但科里奥利力的符号反转。悉尼（约 −34°）摆动平面以约 43 小时一周的速率逆时针旋转；赤道 sin0=0 不旋转。在模拟器里把纬度调到负值，可以看到俯视图的橙色弧明显反向。布宜诺斯艾利斯、墨尔本等南半球科技馆里的傅科摆，旋转方向就与北半球相反。
中国的国家博物馆、上海科技馆、北京天文馆等都有傅科摆展品。世界上原型傅科摆保存在巴黎工艺博物馆（CNAM），先贤祠也有复制品。多数科技馆使用磁驱动装置补偿阻尼，让摆能持续摆动；并在四周布置一圈被依次撞倒的标记销，把缓慢进动"可视化"。在不同纬度的展馆比较旋转速度，可以直观感受 sinφ 的差异。
本工具基于 (1) 小振幅单摆近似，(2) 线性科里奥利理论（摆动与进动可分离），(3) 忽略摩擦和空气阻尼。实际摆中：振幅过大时会出现"椭圆轨道"造成虚假进动（马约拉纳效应）；空气阻尼会衰减振幅；温度变化使吊线长度改变。要在实验中精确测量 Ω·sinφ，需要严格控制振幅、温度与初速度。即便如此，本公式预测的进动与实物之差通常在 1% 以内。
实际应用
地球自转的直接实验证明：1851 年傅科在先贤祠的实验，是首次在实验室尺度上把地球自转用肉眼可见的方式呈现出来的历史性演示——此前自转只能通过天文观测间接确认。如今全球各大科技馆仍把傅科摆作为标志性展品，因为进动的纬度依赖能让参观者亲眼看到地球是旋转的球体。在教学上它教会学生"通过不动的东西推断在动的东西"这一物理思想。
惯性导航系统（INS）：潜艇、飞机和导弹上使用的机械式陀螺罗经，利用的正是与傅科摆相同的"轴在惯性系中保持方向"的性质。陀螺轴受 $\Omega_\oplus \sin\varphi$ 在水平面上的力矩驱动而对准子午线，这与摆动平面被同一项推动而进动是同一回事。在没有 GPS 的深海、太空、电子战环境中，激光环形陀螺、光纤陀螺等现代版"傅科摆"仍是核心装置。
气象与海洋的科里奥利分析：北半球台风地表收敛流逆时针、南半球顺时针，正是因为 Ω·sinφ 在赤道两侧符号相反——与傅科摆同源。气象台的数值预报模式与海洋大环流模式都把这一"傅科项"直接写入运动方程。在模拟器里改变纬度就能感受到为什么台风一般不在赤道附近形成，因为那里的 Ω·sinφ 趋近于 0。
地震学与地球内部结构：地球的自由振荡（地震波的长周期分量）由于自转而存在轻微的频率分裂——每个振荡模式都受到傅科式的进动作用。观测到的分裂宽度可以用来反演内核相对于地幔的差速旋转和地球深部结构。1960 年代以来全球地震台网正是利用这一傅科式效应，逐步构建出地球内部的精细图像。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"摆本身在旋转"。其实摆动平面在惯性系中保持不变，是脚下的地球在转，看起来旋转完全是参考系效应。本模拟器的俯视图把惯性系下的当前摆动轴（蓝色实线）和 t=0 的地面参考轴（灰色虚线）画在一起，但整张图是从地面参考系绘制的，所以二者会出现相对漂移。请始终牢记这种"两个参考系"的双重视角。
第二种误解是"加长摆或加重锤就能让旋转更快"。在模拟器里调整 L 或 g，进动角速度（°/h）的数值丝毫不变，变化的只有摆动周期 T_osc。实物傅科摆做到 60–70 米，并不是为了加快旋转，而是减小空气阻力损失（摆动越缓慢，单位时间内阻力做功越少），让摆动能持续多个小时，缓慢的进动才有机会被肉眼看清。
最后一种误解是"赤道处永远不转所以傅科摆毫无意义"。确实，进动角速度与 sinφ 成正比，所以在赤道为零；但在赤道附近 Ω 的水平分量（科里奥利力的另一种表现）反而最大，会带来另一种摄动——马约拉纳效应导致摆动轨迹自发椭圆化。准确的说法应该是"绕铅垂轴的进动为零，但平面内的椭圆化最大"，因此实物摆并不能严格保持直线运动。