参数设置
预设
时间加速
以恒星日 86164.1 秒（地球自转周期）为基准，采用 Ω_earth = 2π/T。北半球中振动面顺时针旋转，南半球中逆时针旋转。实际岁差以小时为单位，请用时间加速快进观察。
从上方看摆（玫瑰线轨迹）
黄点＝摆锤当前位置／青色＝渐隐玫瑰线轨迹／蓝实线＝当前振动面／灰虚线＝t=0 的振动面／橙色弧＝岁差角 Δθ／N/E/S/W＝方位
振动面（惯性方向）
岁差角 Δθ
摆锤与玫瑰线
岁差角随时间变化（纬度比较）
横轴＝经过时间 t (h)／纵轴＝岁差角 Δθ (°)／蓝色＝当前纬度／灰色＝赤道 (0°)、35°、极地 (90°)／黄点＝当前 (t, Δθ)
理论与主要公式
地球自转角速度 $\Omega_\oplus$ 绕竖直轴的作用仅为纬度 $\varphi$ 的正弦倍数。这是傅科摆振动面旋转的本质原因。
单摆的振动周期（小角度近似）：
$$T_{\mathrm{osc}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$$
纬度 $\varphi$ 处的岁差角速度：
$$\Omega_{\mathrm{pre}} = \Omega_\oplus \sin|\varphi|,\qquad \Omega_\oplus = \dfrac{2\pi}{86164.1\,\mathrm{s}} \approx 7.292\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$$
完成一圈所需时间与经过时间 $t$ 的岁差角：
$$T_{\mathrm{pre}} = \dfrac{2\pi}{\Omega_{\mathrm{pre}}},\qquad \Delta\theta = \Omega_{\mathrm{pre}}\,t$$
$L$ 为摆长 [m]，$g$ 为重力加速度 [m/s²]。岁差仅依赖纬度正弦值，与 $L$ 或质量无关。北半球顺时针，南半球逆时针，赤道处为 0。
验证示例：巴黎 $\varphi=48.85^\circ$ → $T_{\mathrm{pre}}\approx 31.8$ h，北极 $90^\circ$ → $24.0$ h，$30^\circ$ → $48.0$ h，赤道 $0^\circ$ → ∞（无岁差）。
傅科摆 模拟器简介
🙋
我在科学博物馆看过傅科摆，为什么摆的方向会慢慢改变？是摆本身在旋转吗？
🎓
很好的问题。摆本身在"绝对空间"中以相同的方向振摆。旋转的是地面。由于地球每天自转一圈，站在地面上的观测者会看到振动面缓慢地反向旋转。1851 年，莱昂·傅科在巴黎万神殿用总长 67 米、重 28 千克的摆首次以肉眼可见的方式在实验室规模内证明了地球自转这一事实。
🙋
在上面的模拟器中，把纬度设为 0°（赤道）时，摆完全不旋转。而在北极时，恰好一天旋转一圈。
🎓
这就是本质所在。岱差角速度为 $\Omega_\oplus \sin\varphi$，与纬度正弦成正比。北极处 sin90°=1，一圈所需时间约为 23.93 小时（恒星日）；东京（纬度 35°）处 sin35°≈0.574，需要约 41.7 小时完成一圈；赤道处 sin0°=0，完全不旋转。仅仅通过摆的旋转速度，你就能判断出"自己在地球的什么位置"，多么了不起！
🎓
不会改变。岱差仅是纬度的函数，与长度 L 或质量都无关。L 决定的是振动周期 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$，加长摆后它会摆得更慢，但旋转速度保持不变。那实际的傅科摆为什么要做成 60～70 米长呢？是为了减少空气阻力导致的衰减，这样即使摆动缓慢，也能持续振动多个小时，从而便于观察岱差。
🙋
我常听到"科里奥利力"这个词，它与傅科摆有关系吗？
🎓
同一现象的另一种描述方式。在旋转的地球（非惯性系）中看，运动物体会受到科里奥利力 $F = -2m\,\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{v}$ 的作用。每当摆随着质量水平摆动时，这个力就会在与摆运动垂直的方向上推它，导致振动面逐渐旋转。在北半球，这个力指向运动方向的右侧，使振动面顺时针旋转；在南半球指向左侧，使之逆时针旋转。这与台风的旋转方向和弹道导弹的偏转完全是相同机制。
🙋
"岱差"这个词我在陀螺仪的说明书里也见过，是同一个概念吗？
🎓
完全对。广义上说，"某个轴的方向缓慢旋转"就叫做岱差。陀螺轴在重力矩的作用下描绘圆锥运动时的岱差，地球自转轴在太阳引力矩下的 26000 年周期岱差，以及傅科摆振动面的旋转，从数学上讲，都遵循同样的框架。理学部的力学课上，最后几周往往会讲授这些现象如何被统一的公式描述，那是一场真正的"悟"啊。
常见问题
傅科摆的振动面在"惯性系"（相对于远处恒星固定的坐标系）中保持固定方向。地面相对于惯性系的旋转速度应该以恒星日 86164.1 秒来衡量。我们通常所说的"一天 = 86400 秒"（太阳日）包含了地球自转的约 1° 额外旋转，这是由于地球同时绕太阳公转。北极的傅科摆完成一圈的时间是根据恒星日计算的，约 23.934 小时，而不是太阳日。
会反向旋转（逆时针）。岱差角速度的大小仍为 |sin φ|，但由于科里奥利力的符号反转，旋转方向改变。在悉尼（纬度 −34°）的傅科摆会逆时针旋转，完成一圈约需 43 小时；赤道处 sin0=0，完全无旋转。在模拟器中将纬度滑块移到负值，可以看到上方画布中的弧形开始向相反方向描绘。南半球博物馆（布宜诺斯艾利斯、墨尔本等）的傅科摆实际上显示的是与北半球相反的旋转方向。
日本的国家科学博物馆（东京·上野）、京都大学综合博物馆、名古屋市科学馆等都有常设展出。全球原型的傅科摆在巴黎工艺博物馆（CNAM）内，巴黎万神殿也有复制品。许多科学博物馆为补偿振动衰减，使用磁力驱动装置持续加振，并在振动面下放置一排钉子，让摆依次推倒它们以可视化岱差过程。比较位于不同纬度设施的观测数据，可以直观感受到旋转速度的纬度依赖性。
本工具基于以下假设进行计算：(1) 小角度单摆近似，(2) 线性科里奥利理论（振动与岱差分离），(3) 忽略摩擦和空气阻力。实际操作中，大振幅会产生"马焦拉纳效应"（振动面自发变为椭圆），空气阻力导致衰减，温度变化使吊绳长度改变，这些摄动都会混入测量结果。要精确测量 Ω·sinφ，需要严格控制振幅、温度和初速度。不过本式能预测实际傅科摆的岱差现象，精度达 1% 以内。
实际应用
地球自转的直接实证实验：1851 年傅科在万神殿进行的实验，是人类首次在实验室规模上用肉眼可见的方式直接证明地球自转。此前只能通过天体观测间接推断。时至今日，这仍是科学博物馆的标配展品，通过观察纬度依赖的岱差现象，让人身临其境地感受地球自转的现实，成为物理教育中"从静止推导运动"这一科学思维方式的范例教材。
惯性导航系统（INS）：潜艇、飞机、导弹的航位推算装置采用的机械式陀螺罗盘，其工作原理正是利用"惯性系中自由转子轴向保持不变"这一特性。陀螺仪轴的方向指示因地球自转而产生的 $\Omega_\oplus \sin\varphi$ 效应，使其能够指向北方。当 GPS 无法使用的深海、太空或电磁干扰环境中，激光环陀螺或光纤陀螺等傅科摆的现代等价物仍是主要航法工具。
气象和海洋中的科里奥利力分析：台风在北半球呈逆时针涡旋（地面汇聚流），南半球呈顺时针涡旋，这与傅科摆现象属于同一根源——科里奥利参数 Ω·sinφ 在两半球符号相反。气象厅数值预报模型和海洋环流模型直接在运动方程中纳入"傅科项"进行计算。模拟器中调整纬度滑块看岱差角速度变化的感觉，与台风发展的纬度依赖性密切相关。
地震学与地球内部结构推测：地震引起的地球自由振荡（长周期成分）在自转作用下会产生谱线分裂，这源于振动模式经历傅科式岱差。观测到的谱峰分裂宽度能反演出地核自转速度的偏差和地球深部结构细节。从 1960 年代以来，全球地震观测网络对这种傅科效应的探测让我们获得了地球内部的精细图像。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"摆本身在旋转"的想法。实际上振动面在惯性系中保持固定，是观测者脚下的地球在旋转。模拟器上部画布中，蓝色实线（惯性系固定轴）与破线（t=0 地面基准轴）的夹角体现了岱差，但因为画的是"从地面看"的图，所以旋转显得反向了——这种"双重视角"的区别需要明确理解。
第二个常见误解是"改变摆长或质量会改变旋转速度"。在模拟器中调整 L 或 g，岱差角速度（°/h）的数值完全不变——改变的仅是振动周期 T_osc（往返所需秒数）。实物傅科摆选择 60～70 米长和重锤，不是为了改变旋转速度，而是为了减小空气阻力相对损耗（缓慢摆动的摩擦损失较小），使振动能持续数小时。
最后一个误解是"赤道无岱差所以傅科摆无意义"。虽然岱差角速度 ∝ sin(纬度) 在赤道处为零，但赤道邻近的水平向 Ω 分量会引发不同的摄动（马焦拉纳效应导致自发椭圆化等）。在理论上应区分"竖直轴周围岱差为零，但水平面内椭圆化最大"这一特性。实际摆不是完美直线振荡，各处都有物理价值。