假设完全气体、等熵、一维稳态。M_1 ≥ 1 且 M_2 ≥ M_1 时为物理上的膨胀。
马赫线从凸角呈扇形展开。流动从上游（蓝色，低马赫）加速到下游（品红，高马赫），并偏转 θ 角。
横轴＝马赫数 M，纵轴＝ν(M) [°]。黄色标记为当前 M_1 与 M_2，箭头表示 θ = ν_2 − ν_1。
普朗特-迈耶尔膨胀是超音速流绕凸角时形成的、由无数马赫线连续排列的等熵膨胀过程。在 M ≥ 1 时定义的普朗特-迈耶尔函数为：
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\,\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}(M^2-1)} - \arctan\!\sqrt{M^2-1}$$
流动的偏转角为 ν 之差：
$$\theta = \nu(M_2) - \nu(M_1)$$
由于膨胀是等熵的，上下游静温与静压比可由等熵流动关系直接给出：
$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_2^2}, \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
M_2 \gt M_1 时 θ \gt 0（膨胀、加速），总压 P_0 与总温 T_0 守恒。γ = 1.4 时 ν 上限约为 130.45°（M → ∞）。
什么是普朗特-迈耶尔膨胀模拟器
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如果超音速喷气式飞机的表面突然向外折一个角，那里会形成激波吗？
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不会的——那种向外弯的凸角不会产生激波，而会启动一个普朗特-迈耶尔膨胀扇：无数条马赫线像扇子一样展开，让流动平滑加速并改变方向。在模拟器中设置 M_1 = 2.0、M_2 = 2.6，偏转角 θ 大约是 15.03°。
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是的，马赫数升高，静压和静温都下降。在我们的预设里 P_2/P_1 ≈ 0.39，上游 100 kPa 在下游降到约 39.2 kPa。最关键的是这个过程是等熵的。激波是不可逆的，必然消耗一些总压，但膨胀扇是可逆的，总压 P_0 和总温 T_0 都完全保持不变。这就是超音速翼下表面采用膨胀扇非常划算的原因。
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可以把 ν(M) 看作"将马赫 1 的流动平滑膨胀到当前马赫数 M 所需的累积壁折角"。所以 M_1 = 2.0 对应的是从 M = 1 折了 26.38° 之后的状态，M_2 = 2.6 对应折了 41.41°。实际偏转就是它们的差：θ = 41.41 − 26.38 ≈ 15.03°。ν(M) 图上的黄色竖线箭头就把这个差直观地标了出来。
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不会，它有一个硬性上限。在 γ = 1.4 时，ν 在 M → ∞ 处趋近 ν_max = (π/2)·(√6 − 1) ≈ 130.45°。物理含义就是：即便是膨胀进入真空，流动也最多只能被偏转约 130°。再陡一点的凸角，流动就无法贴附，会发生分离——这正是火箭排气羽流在真空中扩散范围的上限来源。
常见问题
如果把 M_2 设得比 M_1 小会怎样？
由于 θ = ν(M_2) − ν(M_1)，当 M_2 \lt M_1 时 θ \lt 0，形式上对应"压缩侧"的偏转，即流动应当减速。但实际超音速流动中连续等熵压缩并不稳定，任何有限的偏转都会塌缩成不连续的斜激波。因此普朗特-迈耶尔膨胀只在加速方向（M_2 \gt M_1）才有物理意义。模拟器在 θ \lt 0 时仍会显示数值，但这只是数学外推，并不代表真实膨胀扇。
马赫角 μ 与偏转角 θ 有什么区别？
马赫角 μ = arcsin(1/M) 是马赫 M 的流动中单一马赫波（小扰动波面）与流动方向的夹角。在膨胀扇内，前缘马赫线相对上游流动以 μ_1 倾斜，后缘相对下游流动以 μ_2 倾斜，扇形的张角同时取决于 μ_1、μ_2。而偏转角 θ = ν(M_2) − ν(M_1) 描述的是流动本身方向的变化。所以 μ 是"波的倾角"，θ 是"流线的转动"，二者完全不同。从 M_1 = 2 到 M_2 = 2.6，μ 由 30° 变到约 22.6°——加速时波面更贴近流向。
超音速翼上膨胀扇出现在哪里？
考虑零迎角下的薄菱形翼或对称双楔翼，上下表面前缘的凹角处都会形成斜激波，而从最大厚度位置到后缘的凸角处则形成普朗特-迈耶尔膨胀扇。增大迎角后上表面前缘的激波会减弱，最终被膨胀扇取代。后缘处再通过压缩波（斜激波）与外界匹配。升力和波阻分析正是基于激波与膨胀扇的组合体系展开的。
壁折角超过 ν_max 时物理上会发生什么？
γ = 1.4 时上限为 ν_max ≈ 130.45°。如果让 M_1 = 1 的流动绕一个 130.45° 的凸角，方程会给出 M_2 → ∞、P_2 → 0、T_2 → 0 这种非物理极限。实际上远未到达这个角度，黏性效应和实际气体行为（凝结、解离、振动弛豫）就会主导，流动会从壁面分离，形成大尺度回流区或自由膨胀射流。火箭尾焰在真空中扩散超过 90°、推力却逐渐衰减，正与这一上限相关。
实际应用
超音速与高超音速翼型设计： 菱形翼、双楔翼等超音速薄翼的上表面、后缘和操纵舵面铰链处都会形成普朗特-迈耶尔膨胀扇。膨胀扇是等熵过程，没有总压损失，对升力贡献明显，但要在 Ackeret 线性理论之上精确评估压力系数，必须引入 ν(M) 关系。协和号与 SR-71 的奥日瓦翼、X-43 等高超音速研究机的翼型设计也大量使用激波—膨胀扇组合分析。
喷管尾焰（过膨胀与欠膨胀）： 火箭或超音速喷管的出口压力与外界压力不匹配时（过膨胀或欠膨胀），出口边缘会交替产生膨胀扇与斜激波，形成激波钻石（马赫盘列）。在欠膨胀射流中，边缘处启动一个普朗特-迈耶尔膨胀扇，使流动在管外加速并改变方向，随后被反射激波重新汇聚。要预测设计压比偏离的影响，需要沿射流边界累计 ν(M) 的转角。
超音速进气道： 外压式进气道用楔块或锥体在入口前方产生斜激波减速流动；而在亚音速扩散段入口前方常借助膨胀扇再加速，以抑制激波脚处的边界层分离。SR-71 的尖锥进气道、冲压发动机和超燃冲压发动机的可变几何进气道，其内流道设计的核心是最大化激波—膨胀扇交点处的总压恢复率，普朗特-迈耶尔关系是标准工具。
超音速风洞与自由射流试验： 当超音速喷管在试验段产生 M = 2~5 的气流时，喷管出口与试验段之间的自由射流边界会形成膨胀扇与压缩波。为保持均匀的菱形试验区，喷管型线常采用特征线法（method of characteristics）设计，每条马赫线的行为正是按普朗特-迈耶尔关系推算。可用菱形区域的尺寸也由这些膨胀扇与反射波的几何关系决定。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"膨胀扇也像激波那样会让总压下降" 。普朗特-迈耶尔膨胀由无数无限薄的马赫波连续叠加构成，是严格的等熵过程，因此扇前后总压 P_0 和总温 T_0 完全守恒，下降的只是静压 P 与静温 T。模拟器显示 P_2/P_1 ≈ 0.39，但这是静压比，总压损失为零。正是这一性质使超音速翼下表面利用膨胀扇获得"免费"压力下降成为可能。
第二个常见错误是把偏转角 θ 与马赫角 μ 混为一谈 。θ = ν(M_2) − ν(M_1) 描述流动本身的转向，而 μ = arcsin(1/M) 是单条马赫波相对于当地流动的倾角，二者完全不同。膨胀扇的前缘马赫线相对上游流动倾角为 μ_1，后缘相对下游流动倾角为 μ_2，扇形张角同时由两者决定。M = 2 时 μ = 30°，M = 2.6 时 μ ≈ 22.6°——加速使波面越来越贴近流线方向。
第三点是"ν(M) 存在上限" 这一事实。γ = 1.4 时 ν_max = (π/2)·(√6 − 1) ≈ 130.45°，在 M → ∞ 时趋近此值。这意味着对任意有限的超音速来流，普朗特-迈耶尔膨胀能实现的总偏转角有上限，超过该角度的凸壁会让流动分离并转入自由膨胀射流。在模拟器中将 M_2 推到 8 时 ν ≈ 95°；减小 γ 还能让 ν_max 进一步增大（接近高温极限），从曲线上即可直接验证。