参数设置
假设完美气体、等熵流和一维流动。当 M_1 ≥ 1 且 M_2 ≥ M_1 时为物理上的展开。
展开扇示意图
从壁面凸角处，马赫线以扇形发散。流从上游（蓝色、低马赫数）加速到下游（紫红色、高马赫数），偏转 θ 度。
普朗特尔-迈耶函数 ν(M)
横轴＝马赫数 M，纵轴＝ν(M) [°]。黄色标记为当前 M_1 和 M_2，箭头显示 θ = ν_2 − ν_1。
理论和主要公式
普朗特尔-迈耶展开是超音速流通过凸角时产生的现象，由无数马赫线连续并排形成的等熵膨胀过程。普朗特尔-迈耶函数定义于 M ≥ 1：
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\,\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}(M^2-1)} - \arctan\!\sqrt{M^2-1}$$
流的偏转角 θ 表示为 ν 的差：
$$\theta = \nu(M_2) - \nu(M_1)$$
由于展开是等熵过程，上游和下游的静温、静压比由等熵流关系给出：
$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_2^2}, \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$$
当 M_2 > M_1 时，θ > 0（展开、加速），总压 P_0 和总温 T_0 得以保持。对于 γ = 1.4，当 M → ∞ 时，ν 的上限约为 130.45°。
普朗特尔-迈耶展开 模拟器简介
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当超音速喷气式飞机突然转过向外折转的角时，会产生激波吗？还是发生其他现象？
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当壁面向流体外侧折转时（凸角），不会产生激波，而是产生展开扇。这就是普朗特尔-迈耶展开，由无数马赫线以扇形排列组成，逐步平滑加速流体，改变流向。在模拟器中设置 M_1 = 2.0、M_2 = 2.6 时，偏转角 θ 应显示为 15.06°。
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对，加速意味着马赫数增加，这对流体在能量上是"有利的"方向。静压和静温下降。刚才那个设置中，P_2/P_1 ≈ 0.39，上游 100 kPa 的压力在下游降至 39.2 kPa。关键是这是等熵过程。激波是不可逆的，必然导致总压损失，但展开扇是可逆的，因此总压 P_0 和总温 T_0 完全保持不变。这就是为什么在超音速翼下表面使用展开扇如此"划算"的原因。
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出现的这个神秘的普朗特尔-迈耶函数 ν(M) 表示什么？
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ν(M) 可以理解为"从马赫数 1 的流逐步展开到当前马赫数 M 所需的累积壁面折转角"。因此，M_1 = 2.0 的流相当于从 M = 1 开始折转 26.38°，M_2 = 2.6 相当于折转 41.44°。实际的偏转角就是这个差值：θ = 41.44 − 26.38 = 15.06°。曲线图上的黄色竖箭头就是在可视化这个差值。
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不会，有上限。对于 γ = 1.4，当 M → ∞ 时，ν 趋近于 ν_max = (π/2)·(√6 − 1) ≈ 130.45°。这在物理上意味着"即使流向真空膨胀，最多也只能转 130.45°"。如果壁面折转角超过这个值，流会无法附着，产生剥离和自由膨胀。火箭排气在极限膨胀时的偏转角上限也由这个值决定。
常见问题
由于 θ = ν(M_2) − ν(M_1)，当 M_2 < M_1 时，θ < 0，形式上对应"压缩侧"的偏转（流减速而非加速）。然而，在实际超音速流中，连续等熵减速过程在有限偏转时是不稳定的，必然退化为斜激波（不连续压缩）。展开扇仅在加速方向（M_2 > M_1）具有物理意义。模拟器会显示 θ < 0 的数值，但这只是数学结果，不对应真实流场。
马赫角 μ = arcsin(1/M) 是马赫数为 M 的流中，马赫线（微小扰动的传播波面）与流向的夹角。展开扇内先导马赫线与上游流向成 μ_1，末尾马赫线与下游流向成 μ_2，扇的张开角由此差值决定。偏转角 θ = ν(M_2) − ν(M_1) 是流本身方向的变化。因此 μ 是"波的倾角"，θ 是"流的弯曲"，是两个不同的角。例如 M_1 = 2 时 μ_1 ≈ 30°，M_2 = 2.6 时 μ_2 ≈ 22.6°；加速使 μ 变小，波头更贴近流向。
考虑菱形（钻石形）翼或对称二重楔翼在 AOA = 0 时，上下表面都在前缘凹角处产生斜激波，在中厚度位置和后缘凸角处产生普朗特尔-迈耶展开扇。增加 AOA 时，上表面前缘激波减弱，前缘处转而出现展开扇。后缘处再次以压缩波（斜激波）与外界空气匹配。升力和波阻的分析就是以激波和展开扇的组合为基础体系化的。
对于 γ = 1.4，ν_max ≈ 130.45°。如果上游流为 M_1 = 1 并尝试通过 130.45° 的凸角，形式上会得到 M_2 → ∞、P_2 → 0、T_2 → 0 的非物理极限。实际上，在达到此极限前，粘性、真实气体效应（凝聚、解离、振动松弛）会主导，流会从壁面剥离，产生大规模再循环或自由膨胀喷流。火箭排气向真空中膨胀超过 90° 时有效推力衰减，与这个上限和相关现象密切相关。
实际应用
超音速和极超音速翼型设计：菱形翼或二重楔翼等超音速薄翼在上表面凸面、后缘和控制面折转处产生普朗特尔-迈耶展开扇。展开扇是等熵的，不产生总压损失，对升力贡献很大。要在 Ackeret 线性理论之外精确评估压力系数，需要 ν(M) 关系。协和飞机和 SR-71 的超临界翼、X-43 等极超音速研究机的翼型设计都使用激波和展开扇组合分析。
喷嘴排气羽流（过度膨胀/欠膨胀）：火箭或超音速喷气发动机喷口处，当外界压力与排气压力不匹配时（过度/欠膨胀），出口缘会产生交替的展开扇和斜激波，形成激波钻石（马赫盘列）。在欠膨胀喷流中，出口处产生向外的普朗特尔-迈耶展开，流沿着加速变向，随后被反射激波重新收束。预测设计压力比偏差的影响需要用 ν(M) 的累积角度评估。
超音速进气道：外压进气在入口前方的楔或锥产生斜激波以减速，但在亚音速扩压器入口附近常使用展开扇，重新加速流使激波脚处边界层附着，抑制剥离。SR-71 的尖刺式进气和拉姆喷气/超燃冲压发动机的可变进气道内部都使用展开扇与激波交叉点的总压恢复系数最大化作为设计中心，普朗特尔-迈耶关系是标准工具。
超音速风洞和自由喷流试验：用超音速喷嘴产生 M = 2~5 的试验气流时，喷口到试验室的自由喷流边界会产生展开扇和压缩波。为维持理想试验条件，喷嘴设计使用"特征线法"，每条马赫线的运动都以普朗特尔-迈耶关系为基础计算。有效试验区（钻石区域）的大小由展开扇和反射波的几何关系决定。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"展开扇和激波一样也会降低总压"。普朗特尔-迈耶展开由无限细的马赫线连续排列组成等熵过程，熵严格保持，总压 P_0 和总温 T_0 在扇前后完全相同。下降的只是静压 P 和静温 T。模拟器显示 P_2/P_1 = 0.39，这是静压，总压损失为零。正因此特性，超音速翼下表面可利用展开扇产生的"纯压力降低"。
其次常见的是混淆偏转角 θ 和马赫角 μ。θ = ν(M_2) − ν(M_1) 是流本身方向变化，但 μ = arcsin(1/M) 是"马赫波与流向夹角"，两者完全不同。展开扇先导马赫线在上游流向上方倾 μ_1，末尾马赫线在下游流向上方倾 μ_2。M = 2 时 μ = 30°，M = 2.6 时 μ ≈ 22.6°，加速使波头贴近流向。
还要注意"ν(M) 有上限"这一事实。γ = 1.4 时，ν_max = (π/2)·(√6 − 1) ≈ 130.45°，M → ∞ 时渐近此值。即对有限超音速流，普朗特尔-迈耶展开能实现的总偏转角有上界，超过它时流无法附着，产生剥离和自由膨胀。在模拟器中将 M_2 提高到 8，可看到 ν(8) ≈ 95°；降低 γ 则 ν_max 更大（接近高温极限）。