该模拟器求解的是哪种方程？

求解二维波动方程 ∂²u/∂t² = c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)，采用有限差分法（显式方法）。每个时间步骤更新所有网格点的位移，实时计算能量扩散和衰减。

波的干涉是什么？

当两个或多个波重叠时，振幅相加的现象称为干涉。波峰与波峰重合时发生加强干涉（建设性干涉），波峰与波谷重合时发生削弱干涉（相消干涉）。2波源预设可观察美丽的干涉条纹。

该模拟器如何应用于CAE？

音响分析（室内音响、噪声分析）、水波模拟、地震波传播分析等都使用类似的波动方程。FEM/FDM音场分析和流体表面波模拟是将该原理扩展到高维和复杂几何形状的应用。

增大衰减参数会怎样？

衰减越强（在本工具中“衰减”的值越接近 0.900），波的能量损失越快，波纹消失越迅速。实际水面由于粘性和表面张力存在衰减，浅池的衰减大于深海。在CAE中，结构衰减（Rayleigh阻尼）表达材料固有的损失。

/ 水纹池塘模拟器返回

振动·波动

水纹池塘模拟器

快速解答
水面波纹由二维波动方程 ∂²u/∂t² = c²·∇²u 计算（u=水面位移、c=波速、∇²=拉普拉斯算子）。表面波相速度 c = √((gλ/2π)·tanh(2πh/λ))（λ=波长、h=水深）。本工具采用显式格式，为保证稳定性将库朗数固定为 CFL = 0.5。

点击向池中投石。实时求解二维波动方程，美观地可视化波的干涉、衍射和衰减现象。

有限差分法 (FDM) 2D波动方程点击/拖拽操作触摸操作支持

播放与操作

预设

参数

波速 c

衰减 (damping)

冲击强度

滴落频率

反射边界

关闭时波在边缘被吸收，不会反射。

色图

波谷（蓝）零（白）波峰（橙）

-A0+A

操作方法

🖱️ 点击 — 添加波源
🖱️ 拖动 — 生成连续波纹
📱 点按/滑动 — 支持触摸操作
⌨️ Space播放/停止、D水滴、R重置
💡 用预设观察干涉条纹

实时数值

0.50

波速 c [格/step]

0.990

衰减系数

活动波源

—

波长 λ [格]

0.00

最大振幅

FPS

步数

连续波源数

波纹（传播·反射·干涉）

t = 0.000 s 400 × 320

理论与主要公式

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$

二维波动方程：$u$ 水面位移，$c$ 波速 [m/s]，$\nabla^2$ 拉普拉斯算子

$$c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)}$$

表面波的相速度：$\lambda$ 波长，$h$ 水深

本模拟器在网格上近似二维波动方程 ∂²u/∂t² = c²∇²u。每一步由当前和前一步的位移，用时间和空间都采用中心差分的显式格式（蛙跳法）更新下一步的位移，并用与周围 4 点的差分计算拉普拉斯算子。为了稳定，库朗数固定为 CFL=0.5，波速滑块限制在 0.10～0.90。衰减系数是每次更新后乘到振幅上的系数，越接近 1 波保留得越久。边界条件在“反射 ON”时为狄利克雷型（边缘固定＝波反射），“反射 OFF”时为吸收型（波在边缘消失）。驱动连续波源时，波长可按 λ ≈ c·CFL·（周期步数）估算。

什么是水纹池塘模拟器

🙋

在这个模拟器里一点击波纹就扩散开来，很有意思！这和往池塘里扔石头产生的波是同一个原理吗？

🎓

没错！大致来说，就是在计算机上再现水面的上下运动。在实际中，它使用的数学式与分析声波、地震波传播方式的 CAE 基础技术相同。拖动上面的“波速 c”滑块，可以确认波扩散的速度会发生变化。

🙋

原来如此！还有个“衰减”参数，它改变的是什么？

🎓

衰减是波的能量向周围散失或因摩擦损失的程度。例如现实中的水波会逐渐变小。本工具的“衰减”是每一步乘到振幅上的系数，越接近 0.900 波消失得越快，越接近 0.999 波越不容易消失、不断反射，成为接近理想的池塘。在模拟器中拖动“衰减”滑块确认一下区别吧。

🙋

按下“双波源”按钮会出现漂亮的条纹！这就是干涉吗？在 CAE 中怎么用？

🎓

对，这就是干涉。从两处发出的波相互重叠，形成相互加强和相互减弱的地方。实际中常见的是两台扬声器发出的声音发生干涉、在不同位置听起来时大时小的“声场分析”。在本模拟器中一边改变参数一边观察干涉图案，是与设计含有多个声源或振源的产品直接相关的基础体验。

常见问题

可以，在模拟器的设置面板中调整“衰减系数”。该值是每一步乘到振幅上的系数，越接近 0.999 波持续振动越久，越接近 0.900 波平息得越快。可以尝试模拟实际水的粘性的行为。

只要在画面上点击或点按多个位置，每个点都会产生波。同时产生的波相互干涉，可以实时观察相互加强和减弱的点。

可以在设置中改变“波速”参数。数值越大波传播越快，波长也越长。可用于模拟物理介质的不同（如浅水与深水）。

它使用加入衰减项的二维波动方程模型，定性地再现波的干涉、衍射和衰减。不过风、水深变化等复杂因素被省略了，请作为教学用的可视化工具使用。

现实世界中的应用

室内声学·噪声分析：在音乐厅和录音室的设计中，会模拟声波在墙壁和天花板上的反射与干涉，预测声音的混响和噪声的传播方式。本工具中看到的干涉条纹，可以看作声音中“拍”和“驻波”的二维版本。

麦克风与扬声器阵列设计：布置多个麦克风或扬声器时，强调特定方向的声音、或反过来抵消噪声的技术（波束成形）的基本原理就是波的干涉。在模拟器中放置多个波源就是对它的基础体验。

地震波传播分析：模拟在地基中传播的地震波（面波）也使用同样的波动方程。研究地基的不均匀性（波速 c 的差异）如何影响波的传播，用于建筑物的抗震设计。

流体表面波的模拟：也应用于预测船舶产生的波和沿岸海域波浪的传播。由于它是更复杂方程的基础，用这样简单的二维模拟器理解原理很重要。

常见误解与注意事项

刚开始使用这个模拟器时，有几个容易误解的地方。首先，数值稳定性由CFL 条件决定，本工具把 CFL 固定为 0.5，并把波速输入限制在 0.10～0.90。在滑块和数值输入的范围内不会发散，因此改变波速时，理解“越快，波前每步前进的网格数越多”就足够了。

其次是“衰减”的设置。把值调到接近 1（减弱衰减）时，就成了波永远振动下去的理想系统，但现实中几乎所有现象，例如建筑物的振动和声学，都一定存在某种衰减（减振）。忽视衰减的设计有因共振而破坏的风险。反之，衰减过强会使作为现象本质的干涉图案难以观察。平衡很重要。

最后，本模拟以“线性”波动方程为基础。也就是说，波变高时波速不变，波与波相遇时会直接穿过对方（没有非线性效应）。在实际的大波浪（如海啸）和某些光学现象中非线性很重要，但先用这个线性模型掌握基础是一切的出发点。

使用指南

在 0.10～0.90 范围内调整“波速 c”，设置网格上的传播速度
把“衰减”设为 0.900～0.999，控制波的能量损失
用“冲击强度”在 1～3 范围内指定波的初始强度，点击池塘画面产生波
用“滴下水滴”按钮或“雨模式”自动产生波纹，用“滴落频率”调整降雨的密度
切换播放/暂停和反射边界的开/关，确认波的传播、反射、干涉和波长的变化

具体计算示例

以波速 c=0.5、衰减 0.95、冲击 2.0 点击中心时，由于 CFL=0.5，波前每步前进 CFL×c=0.25 格。150 步后典型的到达半径约为 37.5 格，约为 400 格宽度的 9.4%。本模型中的距离和振幅按无量纲的网格单位处理，不换算成 mm 或实际波长。双波源预设（周期约 25 步）时，波长可估算为 λ ≈ c·CFL·周期 ≈ 0.5×0.5×25 ≈ 6.3 格，并显示在实时数值的“波长 λ”中。点击两个点，可以在波前重叠处观察到相长和相消干涉。

实务注意事项

衰减值越小波消失得越快，越接近 0.999 保留得越久。请根据用途在 0.900～0.999 范围内调整
增加连续波源会使干涉条纹更复杂，在反射边界下还会叠加边缘的反射。请一边看 FPS 一边调整波源数
波速参数限制在 0.10～0.90，在 CFL=0.5 的条件下稳定计算
点击产生的波源是瞬时冲击，预设中的连续波源会反映在统计栏的“连续波源数”中