σ_VM = √(0.5·[(σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²])
默认值 σ1=200, σ2=100, σ3=0, σy=250 MPa 时 σ_VM=173.2 MPa、σ_TR=200 MPa、SF_VM=1.44、SF_TR=1.25。特雷斯卡的安全系数始终不大于米塞斯（保守评估）。
蓝色椭圆 = 米塞斯，红色六边形 = 特雷斯卡。该平面以屈服应力 σy 归一化并设 σ3=0。黄色标记为当前 (σ1, σ2)。曲面内为弹性域，外为塑性域。特雷斯卡六边形内接于米塞斯椭圆。
3 根柱条对应 σ1, σ2, σ3。黄色虚线为 +σy，红色虚线为 −σy。柱顶越过虚线表示该方向单轴拉/压已屈服（多轴状态仍需用等效应力评估）。
冯·米塞斯等效应力（J2 塑性）：
$$\sigma_{VM} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}$$
特雷斯卡等效应力（最大剪应力理论）：
$$\sigma_{TR} = \max(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|)$$
安全系数：
$$\mathrm{SF} = \frac{\sigma_y}{\sigma_{eq}}$$
$\sigma_{VM} = \sigma_y$ 时屈服（米塞斯），$\sigma_{TR} = \sigma_y$ 时屈服（特雷斯卡）。恒有 $\sigma_{TR} \geq \sigma_{VM}$，最大比值为 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$（纯剪 $\sigma_1=-\sigma_3$, $\sigma_2=0$）。特雷斯卡保守，米塞斯与延性金属实验吻合更佳。
什么是特雷斯卡与冯·米塞斯屈服准则模拟器
🙋
默认值下米塞斯应力是 173.2 MPa，特雷斯卡是 200 MPa，差挺多的。为什么特雷斯卡总是更大？
🎓
问得好。特雷斯卡只看最大剪切，所以直接取 3 个主应力两两差中的最大值（200−0=200）作为等效应力。米塞斯基于偏应力第二不变量 J2，把 3 个差以平方平均的方式合成，结果通常更小。同一应力状态恒有 σ_TR ≥ σ_VM。本例 (200, 100, 0) 中，米塞斯 = √((100²+100²+200²)/2) = √30000 = 173.2，特雷斯卡 = max(100, 200, 100) = 200。差距约 15.5%，这是两者的最大差，出现在纯剪状态（σ1=−σ3, σ2=0）。
🙋
那特雷斯卡的安全系数（SF=1.25）也更小，是因为它更保守吗？
🎓
没错。SF = σy / σ_eq，等效应力越大 SF 越小，意味着更早判定屈服。工程上 ASME 压力容器规范 Section VIII Div.1 采用特雷斯卡，立场是「偏安全侧评估」；而 Abaqus、ANSYS 的标准塑性模型（J2 流动法则）则用米塞斯，因椭圆面光滑可微（数值稳定）且与 Lode、Taylor、Quinney 等经典实验吻合。延性金属的屈服实验数据正好落在米塞斯椭圆上。
🙋
点击「扫描 σ1」按钮时，黄色标记不断进出椭圆和六边形，那就是弹性—塑性的转换吧？
🎓
正是。蓝色椭圆（米塞斯）和红色六边形（特雷斯卡）内部为弹性域，外部为塑性域。标记绿色 = 两准则均安全，橙色 = 米塞斯屈服但特雷斯卡仍弹性（要警惕），红色 = 两准则均屈服。例如 σ1=400 MPa（保持 σ2=100, σ3=0, σy=250），σ_VM=√(0.5·[300²+100²+400²])=360.6 MPa、σ_TR=400，两准则均屈服。CAE 在跑塑性分析前，先在主应力空间确认位置非常关键，可由线弹性结果的应力张量算出主应力，再判断是否需要塑性分析。
🙋
滑动 σ3 时，椭圆和六边形不动但等效应力却在变。为什么？
🎓
观察很敏锐。屈服面图绘的是 σ3=0 平面切片（教科书常见）。真正的屈服面在 (σ1, σ2, σ3) 三维空间中——米塞斯是绕静水压轴 σ1=σ2=σ3 的无限长圆柱，特雷斯卡是同轴的正六棱柱。改 σ3 时标记沿垂直纸面方向移动，2D 切片显示不出来，但等效应力数值会正确更新。请同时看图与数值，相互印证。CAE 后处理中的 Mises 等值面云图，本质就是把 3D 应力场压缩为「等效应力分布」的同样思路。
物理模型与主要方程
屈服准则（yield criterion）用于判定多轴应力状态下材料何时开始塑性变形。冯·米塞斯（Richard von Mises, 1913）与亨利·特雷斯卡（Henri Tresca, 1864）从不同物理出发提出了两条经典准则。
$$\sigma_{VM} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}$$
米塞斯等效应力建立在偏应力张量 $s_{ij} = \sigma_{ij} - \tfrac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}$ 的第二不变量 $J_2 = \tfrac{1}{2}s_{ij}s_{ij}$ 上，可写成 $\sigma_{VM} = \sqrt{3 J_2}$。物理上代表「单位体积的形状畸变能（distortion energy）」，剔除静水压（体积变化）部分，仅保留纯剪贡献。
$$\sigma_{TR} = \max(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|)$$
特雷斯卡等效应力等于最大剪应力 $\tau_{\max} = (\sigma_{\max} - \sigma_{\min})/2$ 的两倍，屈服条件等价于 $\tau_{\max} = \sigma_y / 2$。其物理基础最简单：晶体滑移面上剪应力超过临界值即发生塑性流动。
主应力空间中的几何形状：米塞斯为绕静水压轴 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3$ 的无限长圆柱，特雷斯卡为同轴的正六棱柱。在 π 平面（垂直于该轴）的投影中，米塞斯是半径 $\sqrt{2/3}\,\sigma_y$ 的圆，特雷斯卡是其内接的正六边形，最大比值 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$。
实际应用
商用 CAE 的标准塑性模型： Abaqus、ANSYS、LS-DYNA、Marc、COMSOL 对延性金属塑性分析默认采用米塞斯准则。原因：(1) 可微，数值稳定；(2) 与 Lode、Taylor、Quinney（1931）等经典实验吻合；(3) 关联流动法则形式简洁。钢、铝、铜、镍合金等等向屈服材料，米塞斯 + 等向硬化（双线性或多线性）已能给出足够精度。
压力容器与管道设计（ASME）： 美国机械工程师学会的 Boiler and Pressure Vessel Code Section VIII Division 1 传统上采用特雷斯卡准则，以保守评估确定容器许用应力。Division 2 也允许米塞斯基的「线性化应力」，提供更精细的设计；日本 JIS 压力容器规范同样兼用两者。手算时特雷斯卡仅需求差的最大值，更易处理。
金属成形仿真： 冲压、深拉、锻造、轧制等大塑性变形分析以米塞斯塑性 + 各向异性硬化（Hill、Barlat 等异向屈服函数）为主流。钢板的轧制方向与宽度方向屈服应力不同，纯各向同性米塞斯不够精确，因此叠加 Hill 1948 或 Barlat YLD2000 等扩展。本工具中的米塞斯—特雷斯卡是这些丰富模型的最基础起点。
土壤与混凝土的非关联流动： 与金属不同，土壤、混凝土对静水压依赖强烈，米塞斯与特雷斯卡均无法描述，需 Drucker-Prager、Mohr-Coulomb、Cap 等「压力依赖型」准则。岩土 CAE 中标准模型为 Mohr-Coulomb，特雷斯卡是其内摩擦角 φ=0 的特殊情况。
常见误解与注意事项
最常见的误解是：「米塞斯和特雷斯卡几乎一样，用哪个都行」 。两者在单轴拉/压时确实重合，但在纯剪状态（σ1=−σ3, σ2=0）下 σ_TR / σ_VM = 2/√3 ≈ 1.155，最大相差 15.5%。压力容器设计或剪切主导的结构中，这一差距会直接体现为安全系数的差异，需根据规范正确选择。
其次是：「等效应力判断可以替代塑性分析」 。仅用线弹性结果计算的米塞斯应力与 σy 比较，只能判定屈服起始；塑性域的应力重分布、残余应力、累积塑性应变都需切换为材料非线性分析（弹塑性分析），按增量本构沿加载路径追踪。
最后是：「特雷斯卡是过时的旧理论，无实用价值」 。手算与保守快查、压力容器规范、核电站设计中至今仍广泛使用，因为「偏安全」是硬性要求。米塞斯整体准确，但在剪切主导的局部区域可能偏危险，因此规范的设计报告通常两者并列报告。
常见问题
什么是冯·米塞斯屈服准则？
冯·米塞斯（von Mises）屈服准则以偏应力张量的第二不变量 J2 为基准，认为当等效应力 σ_VM = √(0.5[(σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²]) 达到屈服应力 σy 时材料开始塑性变形。它与延性金属（钢、铝、铜）的实验数据高度吻合，是 CAE 塑性分析中最常用的标准准则。本工具默认值 σ1=200, σ2=100, σ3=0, σy=250 MPa 时 σ_VM=173.2 MPa、SF_VM=1.44。
特雷斯卡准则与米塞斯有何区别？
特雷斯卡（Tresca）准则即最大剪应力理论，等效应力 σ_TR = max(|σ1−σ2|, |σ2−σ3|, |σ3−σ1|) 达到屈服应力 σy 时屈服。在主应力平面上其屈服面是内接于米塞斯椭圆的正六边形，因此对同一应力状态恒有 σ_TR ≥ σ_VM，特雷斯卡为偏安全（保守）的评估。本工具默认值下 σ_TR=200 MPa、SF_TR=1.25，安全系数小于米塞斯。
如何理解安全系数 SF？
安全系数 SF = σy / σ_eq 表示当前应力状态最多可放大多少倍才到屈服。SF > 1 为弹性域（安全），SF = 1 为开始屈服，SF < 1 表示已进入塑性域。设计规范一般要求 SF ≥ 1.5（静载）至 3.0（疲劳/冲击）。本工具同时显示米塞斯与特雷斯卡的 SF，可直观确认特雷斯卡始终更小（更保守）。
实际工程中应该选择哪个准则？
现代 CAE（Abaqus、ANSYS、LS-DYNA）对延性金属默认采用米塞斯，理由是椭圆面光滑可微（计算稳定）且与实验吻合。传统机械设计的手算和压力容器规范（ASME Section VIII Div.1）则常用特雷斯卡以求保守。在本工具中扫描主应力可见两者最大相差约 15.5%（纯剪状态 σ1=−σ3, σ2=0）。