σ_VM = √(0.5·[(σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²])
默认值 σ1=200, σ2=100, σ3=0, σy=250 MPa 时，σ_VM=173.2 MPa，σ_TR=200 MPa，SF_VM=1.44，SF_TR=1.25。特雷斯卡总是给出小于米塞斯的安全系数，评估更保守。
σ 1–σ 2，假设 σ 3=0）
蓝色椭圆=Mises，红色六边形=Tresca。假设 σ3=0，用屈服应力 σy 归一化的平面。黄色标记表示当前 (σ1, σ2)。曲面内侧=弹性域，外侧=塑性域。特雷斯卡六边形与米塞斯椭圆内切。
三条柱子分别显示 σ1、σ2、σ3 的值。黄色虚线为屈服应力 σy，红色虚线为 −σy。柱子顶端超过虚线表示单轴拉伸或压缩会屈服（但多轴状态需要用相当应力评价）。
冯·米塞斯相当应力（J2 流动法则）：
$$\sigma_{VM} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}$$
特雷斯卡相当应力（最大剪应力理论）：
$$\sigma_{TR} = \max(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|)$$
安全系数：
$$\mathrm{SF} = \frac{\sigma_y}{\sigma_{eq}}$$
当 $\sigma_{VM} = \sigma_y$ 时屈服（米塞斯），当 $\sigma_{TR} = \sigma_y$ 时屈服（特雷斯卡）。总有 $\sigma_{TR} \geq \sigma_{VM}$，其比值最大为 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$（纯剪应力 $\sigma_1=-\sigma_3$, $\sigma_2=0$）。特雷斯卡更安全保守，米塞斯与实验值吻合度更好。
特雷斯卡 vs 冯·米塞斯屈服条件 模拟器介绍
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默认值中 σ_VM=173.2 MPa、σ_TR=200 MPa，这差别不小啊。为什么特雷斯卡的相当应力更大？
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观察得很好。特雷斯卡基于"最大剪应力"的简单理论，直接取三个主应力差的最大值（200−0=200）作为相当应力。米塞斯则基于偏应力张量的第 2 不变量 J2，把三个差的平方求和再开方，所以会变小。对任何应力状态，总有 σ_TR ≥ σ_VM。这次 (200, 100, 0) 的情况，米塞斯是 √(0.5·[100²+100²+200²])=173.2，特雷斯卡就是 max(100, 200, 100)=200。差异约 15.5%，这是两者的最大差异，出现在纯剪应力状态（σ1=−σ3, σ2=0）。
🙋
那安全系数（SF=1.25 vs 1.44）也是特雷斯卡更小，这就叫"保守"吗？
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完全对。SF = σy / σ_eq，相当应力越大，安全系数就越小。特雷斯卡的相当应力更大，所以 SF 更小——也就是说，它判定"更容易屈服"。这种更保守的评估在 ASME 压力容器规范 Section VIII Div.1 中被采用，目的是确保安全。相比之下，现代 CAE（Abaqus、ANSYS）采用米塞斯，原因是计算连续可微（椭圆光滑，但六边形在顶点处不可微）、实验数据吻合更好（Lode、Taylor、Quinney 的 1931 年经典实验）。延性金属的降伏行为确实更接近米塞斯椭圆。
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我按下"扫描 σ1"按钮时，黄色标记在椭圆和六边形中进进出出，这是弹性和塑性的分界线吗？
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正是这样。图中蓝色椭圆（Mises）和红色六边形（Tresca）的内侧是弹性域，外侧是塑性域。标记如果是绿色，说明两个基准都在弹性域（安全）；橙色表示米塞斯进入塑性但特雷斯卡还在弹性（需要注意）；红色表示都屈服了。比如把 σ1 设成 400 MPa（σ2=100, σ3=0, σy=250 不变），那么 σ_VM=√(0.5·[300²+100²+400²])=360.6 MPa，σ_TR=400 MPa，两个都超过 250，标记就变红。FEM 线性弹性分析完成后，把结果的应力张量转换成主应力，然后拿这个工具来确认是否需要做塑性分析，非常有用。
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奇怪的是，我改变 σ3 的值，图上的椭圆和六边形都没变，只有数值变了。为什么？
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非常敏锐的观察。这个图显示的是"主应力二维截面"，假设 σ3=0。实际的屈服面存在于 (σ1, σ2, σ3) 的三维空间：米塞斯是以静水压轴（σ1=σ2=σ3）为中心的圆柱，特雷斯卡是正六棱柱。改变 σ3 时，标记点在纸面外的三维空间中移动，二维图看不出来，但相当应力的数值计算是正确的。所以要同时看图形和数值：图提供几何直觉，数值提供完整的 3D 信息。CAE 后处理中的"米塞斯等值面"（contour plot）就是这样把三维应力场投影成二维相当应力分布的。
物理模型和主要公式
屈服条件（yield criterion）用来判断多轴应力状态下材料何时开始塑性变形。特雷斯卡（Henri Tresca，1864）和冯·米塞斯（Richard von Mises，1913）分别从不同的物理基础出发，提出了两个经典屈服条件。
$$\sigma_{VM} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}$$
米塞斯相当应力可以用偏应力张量 $s_{ij} = \sigma_{ij} - \tfrac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}$ 的第 2 不变量 $J_2 = \tfrac{1}{2}s_{ij}s_{ij}$ 表示为 $\sigma_{VM} = \sqrt{3 J_2}$。物理含义是"单位体积的形状歪能"（distortion energy），排除了静水压分量（体积变化），只评估纯剪切部分。
$$\sigma_{TR} = \max(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|)$$
特雷斯卡相当应力等于最大剪应力 $\tau_{\max} = (\sigma_{\max} - \sigma_{\min})/2$ 的两倍，屈服条件为 $\tau_{\max} = \sigma_y / 2$。物理根据是"晶体滑移面上的剪应力达到临界值时发生塑性流动"——非常直观的描述。
在主应力空间中，米塞斯屈服面是沿静水压轴（σ1=σ2=σ3）的无限长圆柱，特雷斯卡则是正六棱柱。π 平面（垂直于静水压轴）的截面上，米塞斯是半径为 $\sqrt{2/3}\,\sigma_y$ 的圆，特雷斯卡是内接的正六边形，其比值最大为 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$。
实际应用
商业 CAE 软件的标准塑性模型： Abaqus、ANSYS、LS-DYNA、Marc、COMSOL 等通用 CAE 对延性金属的塑性分析标准采用米塞斯屈服条件。主要原因：(1) 可微分，数值计算稳定；(2) 与实验数据（Lode、Taylor、Quinney 1931）吻合好；(3) 伴随流则（associated flow rule）简洁。对钢、铝、铜等单纯等向降伏的金属，用米塞斯加等向硬化（二线性或多线性）就能达到工程精度。
压力容器与管道设计（ASME）： 美国机械工程师学会（ASME）《锅炉和压力容器规范》Section VIII Division 1 传统上采用特雷斯卡屈服条件（最大剪应力理论），以安全保守的原则确定容器许用应力。Division 2 允许结合米塞斯基的"线性化应力"进行更精细的设计。日本的 JIS 压力容器规范也兼用两种条件。手工计算设计时，特雷斯卡因为只需要求 max 函数，相对简单。
金属成形模拟： 冲压、深拉、锻造、轧制等大塑性变形分析主要用米塞斯屈服加异向硬化模型（Hill 1948、Barlat YLD2000 等）。由于轧钢的轧向和宽度方向屈服应力不同，单纯等向米塞斯精度不足，需要专门的异向屈服函数。本工具介绍的米塞斯和特雷斯卡是"等向材料的两个最基本屈服条件"，是学习更复杂模型的基础。
土壤和混凝土的非关联流则： 不同于金属，土壤和混凝土的屈服依赖于围压，米塞斯和特雷斯卡都不适用。取而代之的是 Drucker-Prager、Mohr-Coulomb、Cap 模型等"压力依赖型屈服条件"。土木工程 CAE 标准是 Mohr-Coulomb，而特雷斯卡可看作 φ=0（内摩擦角为零）的特例。
常见误解和注意
最普遍的误解是"米塞斯和特雷斯卡的差别很小，可以混用 "。单轴拉伸/压缩时两者确实相等，但在纯剪应力状态（σ1=−σ3, σ2=0）会相差 15.5%（σ_TR / σ_VM = 2/√3 ≈ 1.155）。在压力容器设计或剪切控制的结构中，这个差异直接影响安全系数，不能忽视。
其次是"用相当应力与 σy 比较就能代替塑性分析 "的想法。线性弹性分析的结果计算出米塞斯应力，与 σy 对比判断是否屈服，只能告诉你"这里会屈服"，但无法给出塑性区应力重分配、残余应力、累积塑性应变等信息。一旦判定会屈服，必须切换到非线性塑性分析（incrementally nonlinear），用增量理论逐步追踪应力路径。
最后是"特雷斯卡是过时的老理论，没有实用价值 "。这完全错误。手算和安全余量的保守估计中，特雷斯卡今天仍是标准方法，特别在压力容器规范、核能设计、军工应用中被广泛采用。而米塞斯"平均而言最正确"，但在剪切主导的局部应力可能危险侧。最好的实践是两个条件都计算，对比结果，这样既用上米塞斯的精度又兼顾特雷斯卡的保守。
常见问题
什么是冯·米塞斯屈服条件？
冯·米塞斯（von Mises）屈服条件基于偏应力张量第 2 不变量 J2，当相当应力 σ_VM = √(0.5[(σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²]) 达到屈服应力 σy 时塑性变形开始。它与延性金属（钢、铝、铜）的实验数据吻合很好，因此在 CAE 塑性分析中是标准方法。本工具默认值 σ1=200, σ2=100, σ3=0, σy=250 MPa 时，σ_VM=173.2 MPa，SF_VM=1.44。
特雷斯卡屈服条件与米塞斯有什么不同？
特雷斯卡（Tresca）屈服条件源于最大剪应力理论，相当应力 σ_TR = max(|σ1−σ2|, |σ2−σ3|, |σ3−σ1|) 达到屈服应力 σy 时降伏。在主应力平面上屈服面呈正六边形，与米塞斯的椭圆内切。对同一应力状态，常有 σ_TR ≥ σ_VM，所以特雷斯卡是更保守的评估。本工具默认值中 σ_TR=200 MPa，SF_TR=1.25，安全系数小于米塞斯。
安全系数 SF 怎么理解？
安全系数 SF = σy / σ_eq 表示当前应力状态可以增加多少倍而不屈服。SF > 1 表示安全（弹性），SF = 1 表示屈服点，SF < 1 表示已进入塑性。设计规范通常要求 SF ≥ 1.5（静载）至 3.0（疲劳、冲击）。本工具同时显示米塞斯和特雷斯卡的两个 SF，能清楚看出特雷斯卡总是更小（更保守）。
实际工程应该选用哪一个？
现代 CAE（Abaqus、ANSYS、LS-DYNA）对延性金属采用米塞斯，原因是计算连续可微且与实验相符。传统机械设计的手工计算和 ASME 压力容器规范通常采用特雷斯卡以实现安全保守评估。本工具的主应力扫描演示表明两者最大相差约 15.5%（纯剪应力 σ1=−σ3, σ2=0），这个差异在工程设计中不容忽视。