参数设置
圆心 = (σx+σy)/2，半径 = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)
λ_{1,2} = 圆心 ± 半径，λ_3 = σz，降序排列得 σ1≥σ2≥σ3
τ_max = (σ1−σ3)/2，σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3
默认值 σx=100, σy=50, σz=20, τxy=30 MPa 时，σ1=114.0 MPa、σ2=36.0 MPa、σ3=20.0 MPa、τ_max=47.0 MPa、σ_m=56.7 MPa。τxy 增大时 σ1-σ3 圆扩大，最大剪应力随之增加。
3 个莫尔圆（σ-τ 平面）
横轴 = 正应力 σ，纵轴 = 剪应力 τ。3 个主应力对 (σ1,σ2)、(σ2,σ3)、(σ1,σ3) 生成 3 个叠加的莫尔圆。最大圆的半径即 τ_max，3 主应力以 τ=0 处的纵向标记示出，任意方向的应力点必定落在 3 圆所围的新月形区域内。
主应力柱状图（降序 σ1, σ2, σ3）
3 根柱条对应降序排列后的 σ1, σ2, σ3。正值为拉，负值为压；柱顶数值标签便于与屈服应力比较或判断拉压主导。
理论与主要公式
应力张量（简化形，τ_yz = τ_xz = 0）：
$$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{xy} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z \end{bmatrix}$$
面内 2×2 块的特征值（σz 本身为一个主应力）：
$$\lambda_{1,2} = \tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
降序排列 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 后，最大剪应力与平均应力：
$$\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}, \qquad \sigma_m = \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}$$
主应力即应力张量的特征值，主方向是对应的特征向量。τ_max 是特雷斯卡屈服准则的基准量，σ_m 为静水压成分，扣除后得到偏应力张量 $s_{ij}=\sigma_{ij}-\sigma_m \delta_{ij}$。3 个莫尔圆中最大圆的半径恰等于 τ_max。
三维主应力模拟器是什么
🙋
默认值下 σ1=114.0、σ2=36.0、σ3=20.0 MPa。为什么 σz=20 正好等于 σ3 呢？
🎓
好问题。本工具假设 τyz=τxz=0，z 轴与 x、y 轴没有剪切耦合。所以 σz=20 本身就是一个主应力（特征值）。剩下两个由面内 2×2 块给出：圆心 (σx+σy)/2=75，半径 √(25²+30²)=√1525≈39.05，得到 75±39.05=114.05 与 35.95。降序排列后 σ1=114, σ2=36（面内最小）, σ3=20（z 分量）。这次 σz 恰好落在最小位置。把 τxy 继续加大，σ1-σ2 圆扩展到把 σz=20 吞掉时，σz 就会从 σ3 升到 σ2 — 排序在背后悄悄完成了这一切。
🙋
τ_max=47 MPa 就是特雷斯卡用的那个吗？
🎓
是的。最大剪应力理论（特雷斯卡）的屈服条件就是 τ_max = (σ1−σ3)/2 = σy/2。本例中 (114−20)/2 = 47 MPa。SS400 钢的 σy≈245 MPa，允许 τ 约 122 MPa，因此当前状态距屈服还很远。图上红色最大圆的半径恰为 47，正是同一事实的几何表达。如果只盯着教科书里的 2D 单圆，就体会不到「3 个圆叠加」的精髓 — 而这正是 3D 应力的本质。
🙋
3 个莫尔圆叠加我第一次见。任意方向的应力点画在哪里？
🎓
3D 下任意方向的 (σn, τn) 必定落在 3 圆围成的「新月形区域」内 — 这是 Otto Mohr 在 1882 年证明的定理。具体地，应力点在 σ1-σ3 大圆内、σ1-σ2 与 σ2-σ3 两个小圆外。所以最大剪应力总是在大圆最上方 τ=(σ1−σ3)/2 处达成，对应的方向是 σ1 与 σ3 主轴的 45° 平分面。CAE 的「最大剪应力云图」可视化的就是这个量。改变中间主应力 σ2 时，新月形的厚度会变，剪切集中的方向也会随之改变。
🙋
扫描 τxy 时 σ1、σ2 变化很大，但 σ3=σz=20 一直不动。也是 τyz=τxz=0 造成的？
🎓
完全正确。滑块只动 τxy，仅改变面内剪切。由于 z 方向无耦合，z 方向特征值始终独立。当 τxy 足够大，面内圆把 σz=20 完全吞进去时，σz 就会由 σ3 升为 σ2，面内的较小特征值变成 σ3。临界点约 τxy ≈ ±√((σz−σx)(σz−σy)) ≈ ±49 MPa。在 CAE 后处理中这类「主应力排名翻转」常以云图不连续的形式出现，软件有时会发出警告 — 张量本身是光滑的，只是排序在重排。本工具能让你慢动作看到这一过程。
🙋
平均应力 σ_m=56.7 MPa 又有什么用？
🎓
σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3 = I1/3 是静水压成分。米塞斯塑性不依赖它，但延性损伤模型（Gurson 等）大量使用应力三轴度 η = σ_m / σ_VM。本例 σ_VM 约 85.8 MPa，η≈0.66，属于中等三轴度。η>0.33 后延性断裂能急剧下降，η>1 趋向脆性断裂。土、混凝土、聚合物则把 σ_m 直接写进屈服面（Drucker-Prager）。把 σx、σy、σz 一起等比例放缩时只有 σ_m 在变，偏应力张量不变 — 这就是纯静水压加载的特征行为。
物理模型与主要公式
本工具求解应力张量 σ_ij 的特征值问题以得到 3 个主应力。主应力是在主轴上剪应力分量全部为零时的正应力。由于应力张量是对称矩阵，3 个特征值一定为实数，对应的主轴两两正交。
$$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{xy} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z \end{bmatrix}$$
本工具采用 τ_yz = τ_xz = 0 的简化形，z 轴与面内剪切完全解耦。因此特征值分解恰好分离为面内 2×2 块与 z 方向的 1×1 块，σz 始终单独构成一个主应力。其余两个由圆心 c=(σx+σy)/2 与半径 r=√((σx−σy)/2)²+τxy² 给出 $\lambda_{1,2} = c \pm r$。
$$\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$
降序排列 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 后，最大剪应力等于最大与最小主应力之差的一半。几何上即 3 个莫尔圆中最大圆 (σ1-σ3 圆) 的半径。由 Mohr 三圆定理可知任意截面的剪应力都不会超过该值，τ_max 直接对应特雷斯卡屈服条件 τ_max = σy/2。
$$\sigma_m = \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} = \frac{I_1}{3}$$
平均应力（静水压应力）σ_m 等于第一应力不变量 I1 的 1/3。扣除后得到偏应力张量 $s_{ij} = \sigma_{ij} - \sigma_m \delta_{ij}$。延性金属的塑性流动仅依赖偏应力，σ_m 只引起弹性体积变化（与体积模量 K 成比例）。应力三轴度 η = σ_m / σ_VM 是延性断裂与疲劳寿命的关键参数。
实际应用
CAE 后处理的标准输出：Abaqus、ANSYS、NASTRAN、Marc 等通用 CAE 在线性弹性、塑性分析结果中默认输出 σ1, σ2, σ3 主应力云图、最大剪应力 τ_max 云图以及米塞斯等效应力云图。理解本工具所展示的「降序排列」与「3 主应力之间的关系」是阅读这些云图的基础素养。最大主应力 σ1 直接用于脆性材料（铸铁、混凝土、陶瓷）的拉伸破坏判定；σ3（最小主应力 = 最大压应力）则在岩土与岩石力学中至关重要。
多轴疲劳评估：金属疲劳评估常使用基于主应力的方法（最大主应力法、Sines、Findley、Crossland 等）。最大主应力法以 σ1_max 与疲劳极限 σ_w 比较；Findley 法在各主轴对中搜索最大剪应力幅值与法向应力的最优组合。弯曲+扭转、内压+轴力等多轴载荷下，主应力分析需在时间历程中逐时刻进行。
岩土与岩石力学：土与岩石的应力状态按惯例用主应力描述，σ1/σ3 比（或 σ1 与 σ3 的组合）通过 Mohr-Coulomb 或 Hoek-Brown 准则判定破坏。地应力原位测量（水力压裂法、应力解除法）的输出本身即主应力张量。隧道开挖与边坡稳定分析的后处理中，「主应力矢量场」可视化是标配。
应力三轴度与延性损伤：金属冲压、锻造的成形仿真中，应力三轴度 η = σ_m / σ_VM 是断裂预测的核心参数。LS-DYNA 的 GISSMO、Abaqus 的 Ductile Damage 等几乎所有延性断裂模型都以 η 作为输入。结合本工具的平均应力 σ_m 与主应力可快速估算 η，并感受其分区：η<0（压应力主导，拉延工艺延性提升）、η≈0.33（单轴拉伸）、η>1（脆性化断裂）。
常见误区与注意事项
最常见的混淆是 「主应力 = 米塞斯等效应力」。主应力 σ1, σ2, σ3 是应力张量的 3 个特征值，米塞斯则是由它们的差的平方和构造的单一标量，二者完全不同。仅以 σ1 与屈服应力 σy 比较是脆性材料的最大主应力理论；与米塞斯比较是延性材料的 J2 流动法则。混用会导致设计的安全侧/危险侧评估翻转。
其次是 「2D 平面应力只有 1 个莫尔圆，3D 也只有 1 个」。平面应力假设 σz=0，但 σz 本身就是一个隐藏的主应力，因此存在另外两个看不见的莫尔圆。最大剪应力须按 (σ1−σ3)/2 在所有 3 个主应力间计算，而非面内主应力差 (σ1−σ2)/2 的一半。混淆后会得出「板表面未屈服」的结论，但实际 τ_max 判定已在厚度方向上违反。
最后，「降序排列只是后处理琐事」 这种轻视也会出问题。实际 CAE 中各载荷步、积分点的 σ1, σ2, σ3 排名可能频繁互换，特别是接近静水压状态时数值噪声足以触发翻转。云图中的「跳变」常常并非计算崩坏，而是排名重排所致。本工具中通过 τxy 让 σ_z 在 σ2 与 σ3 之间切换的试验，可慢动作感受这一行为。
常见问题
主应力（principal stress）是将应力张量 σ_ij 对角化后的特征值，即在一组特殊坐标轴（主轴）上剪应力为零时的正应力。三维下存在 σ1≥σ2≥σ3 三个主应力，是屈服判断、断裂分析与疲劳评估的共同出发点。本工具默认值 σx=100, σy=50, σz=20, τxy=30 MPa 时返回 σ1=114.0 MPa、σ2=36.0 MPa、σ3=20.0 MPa。
最大剪应力 τ_max = (σ1−σ3)/2，等于最大与最小主应力之差的一半。几何上正好是 3 个莫尔圆中最大圆 (σ1-σ3 圆) 的半径。特雷斯卡屈服准则即 τ_max = σy/2。本工具默认值下 τ_max = (114−20)/2 = 47.0 MPa，是判断剪切破坏与延性金属塑性起始的常用快速指标。
二维（平面应力）下只有 2 个主应力，因此只有 1 个莫尔圆；而三维应力状态下，主应力对 (σ1,σ2)、(σ2,σ3)、(σ1,σ3) 三组可以构成 3 个圆。任意方向的应力点必然落在 3 圆所围成的新月形区域内（Mohr 1882）。最大圆半径 (σ1−σ3)/2 即 τ_max，内部两小圆携带中间主应力的信息。
平均应力 σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3 等于应力张量第一不变量 I1 的 1/3，是驱动弹性体积变化的静水压成分。延性金属的米塞斯屈服与 σ_m 无关（仅由偏应力决定），而土、混凝土、脆性材料的破坏强烈依赖 σ_m。本工具默认值下 σ_m = (114+36+20)/3 = 56.7 MPa，扣除后得到的偏应力张量 s_ij = σ_ij − σ_m δ_ij 主导塑性流动。