参数设置
中心 = (σx+σy)/2、半径 = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)
λ_{1,2} = 中心 ± 半径、λ_3 = σz、降序排列得 σ1≥σ2≥σ3
τ_max = (σ1−σ3)/2、σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3
默认值 σx=100, σy=50, σz=20, τxy=30 MPa 得到 σ1=114.0 MPa, σ2=36.0 MPa, σ3=20.0 MPa, τ_max=47.0 MPa, σ_m=56.7 MPa。增加 τxy 时 σ1-σ3 圆扩大，最大剪应力也增加。
3个莫尔圆（σ-τ平面）
横轴 = 法向应力 σ，纵轴 = 剪应力 τ。从3对主应力 (σ1,σ2)、(σ2,σ3)、(σ1,σ3) 得到的3个圆重叠绘制。最大圆的半径表示 τ_max，3个主应力在 τ=0 竖线上标记。任意应力点必定位于3个圆围成的区域内。
主应力柱状图（降序 σ1, σ2, σ3）
3条柱状图显示降序排列后的 σ1, σ2, σ3 值。正柱表示拉伸，负柱表示压缩。柱顶端有数值标签，可一目了然地把握屈服应力对比和拉压优势。
理论和主要公式
应力张量（简化形式，τ_yz = τ_xz = 0）：
$$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{xy} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z \end{bmatrix}$$
2×2部分的特征值（σz 是独立的主应力）：
$$\lambda_{1,2} = \tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
降序排列 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 后，得到最大剪应力和平均应力：
$$\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}, \qquad \sigma_m = \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}$$
主应力是应力张量的特征值，主方向是特征向量。τ_max 是Tresca屈服条件的基准量，σ_m 是静水压分量，用来定义偏应力张量 $s_{ij}=\sigma_{ij}-\sigma_m \delta_{ij}$。3个莫尔圆中最大圆的半径等于 τ_max。
3D 主应力 模拟器简介
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默认值显示 σ1=114.0、σ2=36.0、σ3=20.0 MPa。为什么 σz=20 直接变成了 σ3？
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好问题。本模拟器的应力张量采用简化形式，假设 τyz 和 τxz 为零，所以 z 轴方向没有剪应力耦合。因此 σz=20 直接就是一个主应力（特征值）。另外两个特征值来自 xy 面内的 2×2 块：中心 (σx+σy)/2=75，半径 √((25)²+30²)≈39.05，所以 75±39.05 → 114.05 和 35.95。按降序排列：σ1=114、σ2=36、σ3=20。可能 σz 恰好是最小值。当增加 τxy 时，σ1-σ3 圆会扩大，最终 σz 可能升至 σ2 或更高。
🙋
τ_max=47 MPa，这是 Tresca 屈服用的吗？
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正是。最大剪应力理论（Tresca）基于 τ_max = (σ1−σ3)/2。这里 (114−20)/2=47 MPa。对于屈服应力 σy 的材料，判定为 τ_max=σy/2 时屈服，例如 SS400 钢（σy≈245 MPa），则 σy/2≈122 MPa，还有不少余量。从图上看，最大莫尔圆（红色，σ1-σ3 圆）的半径恰好是 47，这就是 Tresca 三维理论的本质，光看二维莫尔圆容易忽视三圆重叠的意义。
🙋
3 个莫尔圆重叠绘制，第一次看到。任意方向的应力点在哪里画呢？
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这是 Otto Mohr 在 1882 年的伟大定理：三维中任意方向的应力点 (σn, τn) 必定位于 3 个莫尔圆围成的新月形区域内。具体来说，位于最大圆（σ1-σ3 大圆）内侧，且位于 σ1-σ2 和 σ2-σ3 小圆外侧。最大剪应力在最大圆的最顶部 τ=(σ1−σ3)/2，方向是 σ1 和 σ3 主轴的 45° 平分面。CAE 中的"最大剪应力云图"就是这 τ_max 的分布。改变中间主应力 σ2 会改变新月形的竖幅，影响剪切卓越的方向。
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扫描 τxy 时，σ1、σ2 变化很大，但 σ3=σz=20 基本不动。还是 τyz=τxz=0 的原因？
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完全正确。滑块只能改 τxy，z 轴与其无耦合，所以 σz 总是独立的特征值。增大 τxy 时 σ1-σ2 圆扩大，当圆完全包含 σz=20 时，σz 就升级为 σ2，原来的小特征值降为 σ3。具体阈值约在 τxy > ±√((σz−σx)(σz−σy))=±√((-80)(-30))≈±49 MPa。实际 CAE 中这种"主应力排名切换"常在历史曲线或云图中表现为跳跃，后处理器有时也会发出警告，但这并非计算崩溃，只不过是主应力排名的互换而已。在本工具中预先体验过这种现象后，将来在现场遇到此类警告也不会慌乱。
🙋
平均应力 σ_m=56.7 MPa 有什么用？
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σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3 是静水压分量，等于应力张量的第一不变量 I1/3。对延性金属的 von Mises 屈服无影响，但对孔洞成长、韧性破坏（Gurson 模型等）很重要。应力三轴度 η = σ_m / σ_VM 是破坏的主要参数。本例中 σ_m=56.7，σ_VM 约 85.8 MPa（自己验证一下），η≈0.66 属"中等三轴度"。η>0.33 时韧性破坏能量急剧下降，η>1 时破断模式转向脆性。土壤、混凝土、聚合物中 σ_m 本身直接进入屈服准则（Drucker-Prager 等）。本工具可调 σx、σy、σz 等幅增减，观察 σ_m 变化而偏应力张量不变的静水压加载行为。
物理模型和主要公式
本工具通过解应力张量 σ_ij 的特征值问题来求 3 个主应力（principal stress）。主应力是在特定方向（主轴、principal axis）上剪应力为零的特殊法向应力。由于应力张量是对称矩阵，3 个主应力必为实数，对应的主轴相互正交。
$$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{xy} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z \end{bmatrix}$$
本工具假设 τ_yz = τ_xz = 0 的简化形式，z 轴与剪应力无耦合。此时特征值分解完全分离为 xy 面内 2×2 部分和 z 方向 1×1 部分，σz 始终为某个主应力。其余 2 个由莫尔圆中心 c=(σx+σy)/2 和半径 r=√((σx−σy)/2)²+τxy² 给出：$\lambda_{1,2} = c \pm r$。
$$\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$
降序排列 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 后，最大剪应力等于最大和最小主应力差的一半。这是 3 个莫尔圆中最大圆（σ1-σ3 圆）的半径，根据 Mohr 三圆定理，任意方向的剪应力不可能超过该值。τ_max 与 Tresca 屈服条件 τ_max = σy/2 直接相关。
$$\sigma_m = \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} = \frac{I_1}{3}$$
平均应力（静水压应力）σ_m 是应力张量第一不变量 I1 的 1/3，代表引起体积变化的静水压分量。从应力张量减去该值可得偏应力张量 $s_{ij} = \sigma_{ij} - \sigma_m \delta_{ij}$。延性金属的塑性流动仅依赖偏应力，σ_m 仅引起弹性体积变化（压缩率 K 倍）。应力三轴度 η = σ_m / σ_VM 是韧性破坏、疲劳寿命的关键参数。
实际应用
CAE 后处理标准输出：Abaqus、ANSYS、NASTRAN、Marc 等通用 CAE 的线性弹性、塑性分析标准输出包括 σ1、σ2、σ3 主应力云图、最大剪应力 τ_max 云图、von Mises 相当应力云图。本工具传授的"降序排列"和"3 个主应力相互关系"是解读 CAE 结果的基本素养。特别是最大主应力 σ1 直接用于脆性材料（铸铁、混凝土、陶瓷）的拉伸破坏判定，σ3（最小主应力 = 最大压缩）在地工、岩石力学中备受重视。
疲劳分析的基础量：金属疲劳评估多采用基于主应力的准则（最大主应力法、Sines、Findley、Crossland 等），而非直接用张量。例如最大主应力法将 σ1_max 与疲劳极限 σ_w 比较，Findley 法则用各主轴对的最大剪应力振幅与垂直应力组合评估。多轴疲劳（弯曲+扭转、内压+轴力）的局部应力评估需时刻进行主应力分析，本工具的快速计算正是这类需求的写照。
地工和岩石力学：地基应力状态标准表示为主应力，特别是主要关注最小主应力 σ3（围压）与最大主应力 σ1（竖直或偏差应力）的比 σ1/σ3，用以破坏判定（Mohr-Coulomb、Hoek-Brown 基准）。原位应力测量（液压致裂法、应力释放法）的输出完全是主应力张量。隧道开挖、边坡稳定分析中，用后处理器对"主应力向量图"进行可视化已是惯例。
应力三轴度与韧性破坏：金属冲压、锻造模拟中，应力三轴度 η = σ_m / σ_VM 是破坏预测的主参数。LS-DYNA 的 GISSMO、Abaqus 的韧性破坏模型几乎都以 η 为输入。本工具可从平均应力 σ_m 和主应力快速估算 η，体验 η<0（压缩优位，缝合加工增韧）、η≈0.33（单轴拉伸）、η>1（脆性破断）的感觉。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"主应力 = von Mises 相当应力"。主应力 σ1、σ2、σ3 是应力张量的特征值，3 个数值；von Mises 是用 3 个主应力的差的平方和构成的单个标量，两者概念完全不同。仅比 σ1 与屈服应力 σy 的大小关系是脆性材料的最大主应力理论，而与 von Mises 比较则是延性材料的 J2 流规则。混淆两者会导致安全裕度评估正反颠倒。
其次是"二维平面应力的莫尔圆只有 1 个，三维也是 1 个"的误解。二维平面应力虽外观上圆只有 1 个，但实际上 σz=0 是隐含的第三个主应力，3 个莫尔圆实际都在。最大剪应力必须用 (σ1−σ3)/2 计算，不是平面内圆的半径 (σ1−σ2)/2。混淆这点会导致薄板表面二维分析虽判"不屈服"，实际忽视了真正的 τ_max，造成严重设计错误。
最后，"降序排列不过是数值计算的小细节"的掉以轻心。实机 CAE 的历史分析、各加载步中 σ1/σ2/σ3 的排名时常切换，特别在近似等压状态下数值噪声频繁导致互换。此时云图出现"抖动"不是计算崩溃，只是主应力排名实时入替。本工具通过 τxy 扫描调整 σz≈σ2 的临界值，可直观体验这一现象，日后见到 CAE 警告也不会惊慌失措。
常见问题
主应力（principal stress）是应力张量 σ_ij 对角化时的特征值，是在特殊坐标轴（主轴）上剪应力为零的法向应力。三维中存在 σ1≥σ2≥σ3 三个主应力，是屈服判定、破坏分析、疲劳评估的出发点。本工具在默认值 σx=100, σy=50, σz=20, τxy=30 MPa 下得到 σ1=114.0 MPa, σ2=36.0 MPa, σ3=20.0 MPa。
最大剪应力由 τ_max = (σ1−σ3)/2 计算，等于最大和最小主应力差的一半。这是 3 个莫尔圆中最大圆（σ1-σ3 圆）的半径。Tresca 屈服条件表示为 τ_max=σy/2。在本工具默认值下，τ_max=(114−20)/2=47.0 MPa。剪切破坏和延性金属塑性开始判定中广泛应用。
二维（平面应力）有 2 个主应力，因此只有 1 个莫尔圆。三维应力状态可由 3 对主应力 (σ1,σ2)、(σ2,σ3)、(σ1,σ3) 构成 3 个圆。任意方向的应力点必定位于这 3 个圆所围成的新月形区域内（Mohr's circle in 3D）。最大圆的半径 = (σ1−σ3)/2 是最大剪应力，内部 2 个圆包含中间主应力信息。
平均应力 σ_m = (σ1+σ2+σ3)/3 等于应力张量的第一不变量 I1/3，是引起体积变化的静水压分量。延性金属的 von Mises 屈服不依赖静水压（仅由偏应力决定），而土壤、混凝土、脆性材料的破坏强烈依赖 σ_m。本工具默认值中 σ_m=(114+36+20)/3=56.7 MPa，减去该值的偏应力张量 s_ij = σ_ij − σ_m δ_ij 支配塑性流动。