理论与主要公式
示踪粒子按 \(\dot x=P,\ \dot y=Q\)（RK4）在场 \(\vec F=(P,Q)\) 中移流。
点源：\(\vec F=(Qx,\,Qy)\)；自由涡：\(\vec F=(-Qy,\,Qx)\)；鞍点：\(\vec F=(Qx,\,-Qy)\)。
散度 \(\nabla\cdot\vec F=\partial_x P+\partial_y Q\)、旋度 \(\nabla\times\vec F=\partial_x Q-\partial_y P\)，在探针处用中心差分实时测量。
已知解校验：自由涡（Q=1）→ 旋度 = 2、散度 = 0；点源（Q=1）→ 散度 = 2、旋度 = 0。
这个可视化器在展示什么？
🎓点源散度为正、旋度为零—每个邻域都有流出。自由涡散度为零，原点处旋度集中—流线绕着旋转但不膨胀。在"点源"和"自由涡"之间切换，看流线的差异。
🎓线性双曲场，沿一轴吸入沿另一轴推出。它是滞止点附近的局部模型，也是动力系统稳定性分析的标准例子。
🎓势流叠加（均匀流 + 源 + 偶极子 = Rankine 卵形）可在动手做 CFD 之前提供解析参考。CFD 后处理画速度矢量、画电场图，用的也是同一套箭头绘制机制。
物理模型
二维向量场把每个 $(x,y)$ 映射到向量 $\vec F(x,y)$。本工具给出三种可视化：网格箭头、积分流线、可选的幅值色图。流线由 $\dot{\vec r}=\vec F/|\vec F|$ 以固定步长积分得到。
用两个标量量描述场：散度 $\nabla\cdot\vec F = \partial_x u + \partial_y v$ 表征局部流出；旋度 $\nabla\times\vec F = \partial_x v - \partial_y u$ 表征局部旋转。光标读数用中心差分估计这两个量。
实际应用
气动：均匀流 + 源 + 偶极子 + 涡的势流组合可在不动用粘性 CFD 时建立升力与钝体绕流模型。
电磁：同样的方程描述二维静电与静磁场。源 = 正电荷，偶极子 = 电偶极子，自由涡 = 长直导线的磁场。
动力系统：常微分方程系统的相平面分析正是用这种箭头图判断不动点的稳定性。
常见问题
- 什么是散度？
- 局部单位面积流出量：$\nabla\cdot\vec F=\partial_x u+\partial_y v$。源处为正，汇处为负。
- 什么是旋度？
- 局部旋转率：$\nabla\times\vec F=\partial_x v-\partial_y u$。正旋度让微小桨轮逆时针旋转。
- 为什么点源在原点处发散？
- 二维点源 $|\vec F|\sim 1/r$，$r\to 0$ 时幅值发散。实际工程对应物总有有限尺寸，但奇异源是好用的数学构件。
具体计算示例
选择自由涡预设 F=(−Qy, Qx)，令 Q=1，将光标移到任意点：旋度读数显示解析值 2Q=2，散度显示 0。再切换到点源预设 F=(Qx, Qy)、Q=1，散度变为 2Q=2，旋度降为 0。这些数值与中心差分估计完全吻合，验证了数值格式的正确性。鞍点预设 F=(Qx, −Qy) 的散度与旋度均为 0，流线在滞止点附近形成典型的双曲"X"形。