涡模型与参数
涡流类型
警告：存在空化风险
最低压力低于水的蒸气压（20°C时约2338 Pa），可能发生空化（汽蚀）现象。
理论公式
自由涡
$$v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r},\quad p = p_\infty - \frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2 r^2}$$
强迫涡
$$v_\theta = \omega r,\quad p = p_\infty - \tfrac{1}{2}\rho\omega^2 r^2$$
兰金涡（组合）
$$v_\theta = \begin{cases}\omega r & r < r_c \\ \dfrac{\omega r_c^2}{r}& r \ge r_c\end{cases}$$
流线与速度矢量图
切向速度 vθ(r) 分布
压力分布 p(r)
什么是涡流
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“自由涡”和“强迫涡”是什么？听起来好复杂。
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简单来说，你可以把它们想象成两种不同的“旋转”方式。自由涡就像浴缸排水时形成的漩涡，中心转得快，外面转得慢。强迫涡则像你搅拌一杯咖啡，整个液体像一块固体一样旋转，离中心越远转得越快。在实际工程中，比如水泵的入口或龙卷风，就是这两种模式的混合体。你可以在模拟器里选择“自由涡”或“强迫涡”类型，马上就能看到它们的速度分布完全不同。
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诶，真的吗？那“环量Γ”这个参数是干嘛的？单位是m²/s，感觉好奇怪。
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你可以把环量Γ理解成这个漩涡的“旋转强度”。它越大，意味着漩涡转得越“猛”。在自由涡里，它直接决定了速度大小：$v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。工程现场常见的是，飞机机翼产生的升力，就和它周围空气的环量大小直接相关。试着在模拟器里拖动“环量Γ”的滑块，你会看到整个速度曲线和压力曲线都跟着升高或降低，中心压力变化特别明显。
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压力变化？对了，下面那个“汽蚀风险”的警告是怎么来的？压力低了就会汽蚀吗？
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没错！汽蚀（也叫空化）就是当液体局部压力太低，低到它的饱和蒸气压时，液体就会“沸腾”产生小气泡，这些气泡破裂时会损坏设备。比如在船舶螺旋桨的叶尖，高速旋转容易形成强涡，中心压力极低，就会发生汽蚀。模拟器会根据你设置的流体密度和参考压力，实时计算压力分布，并判断是否有区域的压力低于水的蒸气压（约2338 Pa）。你试着把环量Γ调得非常大，或者把参考压力p∞调小，很可能就会触发汽蚀警告了！
物理模型与关键公式
自由涡（势涡）模型：这是一种无旋流动，其切向速度与半径成反比，中心速度理论上为无穷大（实际中受粘性等因素限制）。压力随着向中心靠近而急剧下降。
$$v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r},\quad p = p_\infty - \frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2 r^2}$$
变量含义：$v_\theta$是切向速度(m/s)，$r$是到涡心的半径(m)，$\Gamma$是环量(m²/s)，$p$是当地压力(Pa)，$p_\infty$是无穷远处的参考压力(Pa)，$\rho$是流体密度(kg/m³)。
强迫涡（刚体旋转）模型：流体像刚体一样旋转，角速度恒定。切向速度与半径成正比，压力分布为抛物线型。
$$v_\theta = \omega r,\quad p = p_\infty - \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2$$
变量含义：$\omega$是旋转角速度(rad/s)。其他变量同上。兰金涡是这两种模型的结合：在涡核半径$r_c$内为强迫涡，在$r_c$外为自由涡。
现实世界中的应用
航空航天工程：飞机机翼尾缘脱落的翼尖涡，其外围部分可近似为自由涡。强大的翼尖涡会对后续飞机造成影响，这也是机场起降需要间隔时间的原因之一。
流体机械（泵与涡轮）：离心泵或水轮机的叶轮内部流动包含强烈的强迫涡特征。设计不良会导致叶轮中心或叶片背面压力过低，引发汽蚀，严重损坏设备。
气象学与自然灾害：龙卷风是典型的兰金涡实例。其破坏性的风场结构——内部核心高速旋转（近似强迫涡），外部风速衰减（近似自由涡）——可以用本模拟的模型进行理想化分析。
船舶工程：船舶螺旋桨在运行时，桨叶尖端会泄出螺旋形的涡旋（梢涡），这些涡旋中心压力极低，是螺旋桨发生空化腐蚀和产生噪音的主要源头。
常见误解与注意事项
开始使用本模拟器时，有几个容易误解的地方需要注意。首先，“自由涡是无粘性的理想模型”。虽然常以水槽漩涡为例，但实际中壁面摩擦会导致明显不同的流动行为。请理解模拟器中优美的曲线是“用于理解本质的理想形态”。其次是参数设置。“环量Γ”和“角速度ω”看似无关，但在兰金涡模型中通过核心半径rc相互关联。例如，若设置ω=5 rad/s、rc=0.1m，则核心边界处的速度为v_θ=ω*rc=0.5 m/s，该值将自动决定外部自由涡的Γ值（Γ=2π*rc*v_θ）。若忽略这种连续性，可能产生非物理的速度突变，需特别注意。最后关于压力。切勿直接采信计算结果显示中心压力趋于负无穷大的情况。现实中压力降至蒸汽压时会发生空化从而改变流动状态，且中心点的数学奇异性本身就是模型的局限性。在实际工程中，定量分析“低压区域的范围与程度”更为重要。例如在泵设计中，“基于所需扬程预留多少空化余量(NPSH)”正是这类分析的延伸。
相关工程领域
本工具涉及的涡流物理原理，其实是众多工程领域的基础。首先是“风力/水力发电”。风机叶片后方形成的涡街（卡门涡街）具有自由涡特性，会引发下游叶片的振动与噪声。涡轮内部的流动更是复杂涡结构的集合体。其次是“汽车空气动力学设计”。车体后方形成的湍流尾迹（后缘涡）是阻力的主要来源，其控制是提升燃油经济性的关键。后视镜和立柱产生的风噪也源于涡流。“化学过程工程”中同样重要。为控制反应釜或混合槽内的流动以实现高效搅拌，常需刻意构建强制涡流场。此外在“海洋/河流工程”中，桥墩周围和船舶螺旋桨后方产生的涡流会引发冲刷（河床/海床侵蚀）和空蚀损伤。通过本模拟器体验“增大环量如何降低压力”，将有助于理解这些现象背后的根本力学原理。
进阶学习指引
若希望深入理解本工具背后的理论，可尝试以下学习路径。首先是数学基础：掌握“涡量”与“环量”的关系。对速度矢量场取旋度得到涡度ζ，其面积分即为环量Γ（$$ \Gamma = \iint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\boldsymbol{S} $$）。自由涡具有涡量集中于中心奇点（涡丝）、其余区域涡量为零（无旋流动）的独特性质。其次，学习“纳维-斯托克斯方程”这一流体力学基本方程，可理解这些涡模型是如何被近似简化的。具体实践建议：在模拟器中显示兰金涡，尝试改变核心半径rc并绘制最大速度及其发生位置的曲线。根据理论公式，最大速度出现在rc处，其值为v_max = ω*rc = Γ/(2πrc)。亲手验证这种关系是内化公式含义的最佳途径。后续可进一步研究“涡的稳定性”或“多涡相互作用（涡对）”等主题。实际湍流本质上是不同尺度涡流复杂交织的现象。