数据输入
故障时间数据
逗号分隔（最多20点）
单位：小时 / 天 / 循环次数（任意）
时间单位
估计结果
理论与主要公式
威布尔分布的PDF、CDF及可靠性函数：
$$f(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right]$$
$$F(t)=1-\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right],\quad R(t)=\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right]$$
危险率：$\lambda(t)=\dfrac{\beta}{\eta}\!\left(\dfrac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$
MTTF：$\eta\,\Gamma\!\left(1+\dfrac{1}{\beta}\right)$， 中位秩：$F_i=\dfrac{i-0.3}{n+0.4}$
什么是威布尔分析·可靠性寿命估计
🙋
老师，这个“威布尔分析”是什么呀？听起来好复杂。
🎓
简单来说，它就像给产品做“寿命体检”。我们收集一批产品（比如灯泡）的故障时间数据，用威布尔分布这个数学模型去分析，就能预测出这批产品整体的寿命规律。在实际工程中，这能帮我们回答“产品多久会开始坏？”这类关键问题。你试着在模拟器里输入几个故障时间数据，比如[100, 200, 350, 500]小时，然后点击分析，就能立刻看到结果了。
🙋
诶，真的吗？那结果里出来的β和η这两个参数，到底是什么意思呢？
🎓
问得好！β（形状参数）决定了故障模式的“性格”。比如在汽车发动机轴承的分析中，β<1说明早期故障多（“婴儿死亡期”），β=1是随机故障，β>1则说明是磨损故障，用得越久越容易坏。η（尺度参数）可以理解为“典型寿命”。你可以在模拟器里拖动β的滑块，从0.5调到5，看看下面的故障率曲线是怎么从“递减”变成“递增”的，非常直观！
🙋
我好像懂了！那工程师们最关心的“B10寿命”又是什么？和MTTF（平均寿命）有啥不同？
🎓
B10寿命是“10%的产品发生故障的时间”，这是个很保守的指标，常用于产品保修和设计目标。MTTF是平均寿命，可能比B10长很多。比如在手机电池设计中，我们更关注B10，确保90%的用户在保修期内电池是OK的。你可以在模拟器里输入你自己的数据，它会同时计算出B10和MTTF，对比一下，你会发现通常B10要小得多，这就是风险管理的核心！
物理模型与关键公式
威布尔分布的核心是它的概率密度函数(PDF)，它描述了在时间t发生故障的概率密度。形状参数β控制曲线的形状，尺度参数η控制曲线的伸展。
$$f(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right]$$
其中，$t$是时间（故障时间），$\beta$是形状参数（决定故障模式），$\eta$是尺度参数（特征寿命，当$t=\eta$时，可靠性$R(t)=e^{-1}\approx 36.8\%$）。
累积分布函数(CDF) $F(t)$和可靠性函数 $R(t)$是一体两面。$F(t)$表示“在时间t之前发生故障的概率”，而$R(t)$表示“产品存活到时间t的概率”。
$$F(t)=1-\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right],\quad R(t)=\exp\!\left[-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right]$$
$F(t)$是从0到1递增的函数，工程上常用中位秩法$(i-0.3)/(n+0.4)$来估计每个故障数据点对应的$F(t_i)$。$R(t)$是从1递减的函数，直接反映了产品的生存率。
现实世界中的应用
机械零部件寿命设计：例如滚动轴承的L10寿命计算（ISO 281标准）就是基于威布尔分布。工程师通过试验获得轴承的故障数据，估计出β和η，从而预测大批量轴承中90%能存活多久，这是设备维护周期制定的关键依据。
电子产品可靠性评估：在手机、电脑等消费电子领域，通过加速寿命试验（如在高温高压下测试）收集故障数据，利用威布尔分析推算出正常使用条件下的B10或B1寿命，用于设定产品保修期和评估市场风险。
CAE疲劳分析的后续处理：在有限元分析中，我们可以得到零件在不同载荷下的疲劳寿命分布（一个数据集）。威布尔分析可以对这些“虚拟试验”结果进行统计处理，估算出零件的整体可靠性指标，大大减少了物理样机测试的成本。
系统可靠性建模（FMEA/RBD）：在故障模式与影响分析（FMEA）或可靠性框图（RBD）中，每个元件的故障率输入可以来自威布尔分析的结果。例如，分析得知某电容的故障率函数后，可以将其作为整个电路板系统可靠性模型的一个输入，评估系统级故障风险。
常见误解与注意事项
威布尔分析虽然功能强大，但也存在一些陷阱。首先，切勿陷入“只要输入数据就能神奇地得出答案”的误解。例如，仅凭5个故障数据估算出的B10寿命，其置信区间往往非常宽泛，在实际工程中几乎无法使用。理想情况下至少需要20-30个以上的数据点。其次，要避免“仅凭β值就能断定故障原因”的思维定势。在根据β>3就断言“这是磨损故障！”之前，必须结合产品的物理故障机理（如金属疲劳或绝缘劣化）进行验证。β值仅反映统计分布的“形态”，根本原因仍需通过其他调查来确定。
此外，容易忽略截尾数据（未故障数据）的处理。在寿命测试中，若100个样品仅有20个发生故障，其余80个“尚未损坏”的数据同样包含宝贵信息。需要注意的是，像本工具这样仅使用中位秩法的分析手段无法考虑截尾数据，这会导致估计结果偏向乐观（即寿命估值往往比实际情况偏长）。工程实践中通常采用能够处理截尾数据的最大似然估计法。