Morris方法（Elementary Effects）

Morris方法的理论基础

筛选（Screening）的角色

基本效应（Elementary Effect）的定义

把输入 \( \mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k) \) 归一化到单位超立方体，只把第 \( i \) 个因子移动步长 \( \Delta \)，响应的变化率就是该因子的基本效应（EE）：

$$ EE_i = \frac{f(x_1, \dots, x_i + \Delta, \dots, x_k) - f(\mathbf{x})}{\Delta} $$

这本质上是某一点处偏导数的差分近似，但Morris方法的精髓在于在输入空间的各处反复测量EE，用其统计量来度量全局灵敏度。单点梯度（局部灵敏度）看不见的非线性与交互作用，会以EE的离散度形式显现出来。

三个统计量 μ·μ*·σ 的读法

由 \( r \) 次重复得到的EE样本，按因子计算：

结果画在 \( \mu^* \)–\( \sigma \) 平面上解读：靠近原点＝无影响（可固定）；贴近横轴＝线性起效；位于对角线上方＝带非线性/交互地起效。\( \mu^* \) 与 \( \mu \) 差距大的因子，说明其作用方向会翻转（非单调），这是额外的信息。

抽样设计与计算流程

轨迹设计与计算次数

高效收集EE靠的是轨迹（trajectory）——一笔画式的样本序列：从随机起点出发，把 \( k \) 个因子逐一移动 \( \Delta \)，得到 \( k+1 \) 个点；一条轨迹为每个因子各贡献一个EE。取 \( r \) 条轨迹，总计算次数为

$$ N = r\,(k+1) $$

因子数 \( k=20 \)、轨迹数 \( r=15 \) 时是315次。Sobol'指数的直接计算典型需要 \( N=(k+2)\times 10^3 \) 量级——Morris少两个数量级。输入按每维 \( p \) 个水平（取偶数，惯例 \( p=4 \)）离散化，步长用 \( \Delta = p/(2(p-1)) \)（\( p=4 \) 时为2/3）。

轨迹数的选择与稳定性确认

实务起点是 \( r = 10\sim20 \)，但"排序是否稳定"的确认必须配套：把轨迹抽一半与全量比较 \( \mu^* \) 的秩相关，确认前几名不换位。用bootstrap给 \( \mu^* \) 配置信区间，区间重叠的因子如实报告为"同级"。若目的只是分出重要组与可忽略组，组内的名次微调无需在意。

CAE特有的前处理——范围设定与归一化

响应有多个时（最大应力和一阶固有频率等），各响应的因子排序不同是常态。应按响应分别做Morris分析，只固定"对所有响应都不起作用"的因子——这是保守侧的运用原则。

实务应用流程

标准工作流

1. 定义因子与范围——材料常数、板厚、边界刚度、荷载、摩擦系数等；记录范围依据（标准值、实测散布、过程能力）
2. 生成轨迹样本——用SALib等生成 \( r(k+1) \) 行的输入矩阵
3. 自动执行分析——逐行代入CAE模型的参数化运行：模板替换→提交作业→提取响应，全部脚本化
4. 计算EE统计量并绘制μ*–σ图——完成因子分拣（重要／非线性·交互／可忽略）
5. 稳定性确认——轨迹抽稀与bootstrap检验排序稳定性
6. 移交下游——只带着头部因子进入Sobol'分析、稳健优化或参数标定

失败算例的处理

在CAE中跑Morris，范围边缘必然混入"网格生成失败""不收敛"。默默剔除失败点会使EE产生偏倚，所以要事先定好方针：①失败集中在某因子的端部→从物理上重审范围（那个角落可能是非现实组合）；②零星失败→整条轨迹作废并补新轨迹；③失败本身就是关注点（可行边界）→把响应改为"可行/不可行"指标来分析。把失败率和处理方针写进报告是可复现性的要求。

结果的报告方式

三件套让筛选结果可审计：带因子标签的μ*–σ散点图、头部因子的μ*柱状图（带bootstrap置信区间）、被固定因子及其依据一览表。只写一句"灵敏度分析表明板厚与连接刚度起主导作用"而不留图表的报告，从V&V角度看是无法验证的，应当避免。

实现工具与CAE集成

主要工具的支持情况

SALib最小实现示例

把 run_fem 换成你的求解器调用，骨架即可直接用于实务：

import numpy as np
from SALib.sample import morris as morris_sample
from SALib.analyze import morris as morris_analyze

problem = {
    "num_vars": 3,
    "names": ["E", "thickness", "k_support"],
    "bounds": [[190e9, 210e9], [1.8e-3, 2.2e-3], [1e6, 1e8]],
}
X = morris_sample.sample(problem, N=15, num_levels=4)  # 15条轨迹 -> 15*(3+1)=60次
Y = np.array([run_fem(x) for x in X])                  # 逐行调用CAE
Si = morris_analyze.analyze(problem, X, Y, num_levels=4)
print(Si["mu_star"], Si["sigma"])

作业自动化的实际要点

几百次运行的自动化要脚本化四件事：①输入文件模板化（参数占位符替换），②作业并行提交与完成监控，③从结果文件提取响应值，④失败标记记录。只要中间夹着一步手工操作，315次就永远跑不完——"整个环路可以无人值守地跑完"本身，就是引入Morris方法的实际前提。

前沿研究动态

抽样设计的改进

相对经典的随机轨迹，已有多种改进：最大化轨迹间距离、均匀覆盖空间的Campolongo轨迹选择；从同一基点向各因子放射扰动的radial design；与拉丁超立方结合的设计等。radial design与Sobol'总效应指数的估计量共享构件，使"筛选→方差型分析"的过渡可以无缝衔接。

分组筛选与高维问题

因子多达几十到几百个时，把物理相关的因子编组、先测"组级EE"再对幸存组逐个分析的两段式做法非常有效，计算次数对因子数近似对数增长。材料模型的大量硬化参数、成百上千个焊点刚度——这类CAE高维问题与它相性极佳。

与元模型·总效应指数的关系

已知 \( \mu^* \) 可充当Sobol'总效应指数的廉价代理，由此形成当前的实务最佳流水线：Morris降维→幸存因子上构建Kriging代理→在代理上严格估计Sobol'指数。筛选阶段砍得太狠，会在后续代理模型的验证中以"解释不了的残差"形式暴露出来，因此边界线上的因子要保留——这是安全侧的运用。

故障排查

按症状的原因与对策

常见误用——对"灵敏度"的过度解读

相关文章：稀疏PCE与LAR、Kriging代理模型、贝叶斯标定。