FEM — CAE用語解説
FEM（有限要素法 / Finite Element Method）
定義
有限要素法（FEM）は、連続体の支配方程式（偏微分方程式）を、領域を有限個の要素に分割し、各要素上で近似関数を用いて離散化する数値解法である。Galerkin法に基づく弱形式定式化が最も一般的。
Governing Equations（弾性体の場合）
平衡方程式:
$$ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \mathbf{0} $$
弱形式（仮想仕事の原理）:
$$ \int_\Omega \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} \, d\Omega = \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \delta\mathbf{u} \, d\Omega + \int_{\Gamma_N} \mathbf{t} \cdot \delta\mathbf{u} \, d\Gamma $$
離散化後の全体方程式:
$$ \mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{F} $$
要素タイプ
- 1次元: 棒要素、梁要素（Euler-Bernoulli, Timoshenko）
- 2次元: 三角形要素（CST, LST）、四辺形要素（Q4, Q8, Q9）
- 3次元: 四面体要素（TET4, TET10）、六面体要素（HEX8, HEX20, HEX27）
- 特殊要素: シェル要素、コヒーシブ要素、無限要素、接触要素
積分法
- 完全積分: Gauss求積法で要素剛性行列を正確に評価
- 低減積分: 計算コスト削減とロッキング回避（アワーグラスモード制御が必要）
- 選択的低減積分: 体積項のみ低減積分を適用
歴史的背景
- 1943年: Courantが変分法による三角形分割を提案
- 1956年: Turner, Clough, Martin, Toppが航空構造への適用を発表
- 1960年代: Cloughが"Finite Element Method"の名称を使用
- 1970年代: Zienkiewicz, Bathe等による理論的基盤の確立
- 現在: 構造、流体、電磁気、熱、連成問題に広く適用
主要商用ソフトウェア
Project NovaSolver — Practitioner-Driven R&D
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