RANS — CAE用語解説
RANS（レイノルズ平均Navier-Stokes方程式）
定義
RANS（Reynolds-Averaged Navier-Stokes）は、乱流場の瞬時値を時間平均成分と変動成分に分解（Reynolds分解）し、時間平均した支配方程式を解くアプローチ。産業CFDの主力手法。
Governing Equations
Reynolds分解: $u_i = \bar{u}_i + u_i'$
時間平均Navier-Stokes方程式:
$$ \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \nabla^2 \bar{u}_i - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$
レイノルズ応力テンソル: $\tau_{ij}^R = -\rho \overline{u_i' u_j'}$
乱流モデルの閉合問題
Boussinesq仮説（渦粘性モデル）:
$$ -\overline{u_i' u_j'} = \nu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k \delta_{ij} $$
代表的なRANSモデル
- **Standard $k$-$\varepsilon$** (Launder & Spalding, 1974): 産業標準、壁面近傍に課題
- **Realizable $k$-$\varepsilon$**: 実現可能性条件を満足、旋回流に改善
- **$k$-$\omega$ SST** (Menter, 1994): 壁面近傍は$k$-$\omega$、外部流れは$k$-$\varepsilon$のハイブリッド
- **RSM (Reynolds Stress Model)**: レイノルズ応力の輸送方程式を直接解く、異方性を再現
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