コロケート格子 (Collocated Mesh) — CAE用語解説

コロケート格子（Collocated Mesh）は、速度 $u, v, w$、圧力 $p$、温度 $T$ などすべての物理量をセル中心の同じ位置に格納する方式だ。"co-located"＝「同じ場所に配置された」という意味だね。

いい質問だ。実は、歴史的にはそうじゃなかったんだよ。1960〜80年代の構造格子CFD全盛期には、スタガード格子（Staggered Mesh）が主流だった。スタガードでは速度の各成分をセルの面の位置に、圧力はセル中心に置く。わざと変数の位置をずらすことで数値的に安定な圧力場が得られたんだ。

スタガードは確かに圧力振動を自然に抑えてくれるから、構造格子では非常に安定だった。ただ大きな弱点がある。非構造格子（三角形・多面体など）に適用するのが極めて難しいんだ。自動車のボディとか、タービン翼の複雑形状をメッシュにしようと思ったら、非構造格子が必須だろう？ そこでコロケート格子の出番になった。

こんな感じだ：

これが有名なチェッカーボード圧力問題（Checkerboard Pressure Problem）だ。1次元で考えてみよう。運動量方程式の圧力勾配項を中心差分で離散化すると、セル $i$ の圧力勾配は

その通り！ 例えば $p = [100, 0, 100, 0, 100, \ldots]$ という圧力分布があっても、中心差分だと勾配ゼロに見えてしまう。連続の式を使った圧力補正でもこの振動モードを消せない。結果として解が物理的にあり得ない市松模様の圧力場になる。2次元だとチェス盤そっくりだから「チェッカーボード」と呼ばれるんだ。

スタガード格子では、速度がセル面に置かれている。面 $i+1/2$ の速度に対する圧力勾配は

1983年にRhieとChowが提案したRhie-Chow補間（Rhie-Chow Interpolation）がその解決策だ。これはSIMPLE系の圧力補正アルゴリズムと組み合わせて使う。基本的なアイデアはこうだ：

ざっくり言うと、「もしスタガード格子だったら得られたはずの圧力勾配」をコロケート格子上で擬似的に再現しているんだ。面での圧力勾配 $(\partial p/\partial x)_f$ は隣接セルの $p$ の差分で計算するから、$p_i$ と $p_{i+1}$ を直接見る。一方、セル中心の勾配を面に補間した $\overline{(\partial p/\partial x)}_f$ は飛び飛びの情報しか持たない。この2つの差をとることで、チェッカーボードモードに対するダンピング（減衰）効果が生まれるんだ。

鋭い指摘だ。Rhie-Chow補間の補正項は格子幅 $\Delta x$ に依存するから、格子を細かくすれば補正量は小さくなって精度への影響は消える。つまり格子収束性は維持される。ただし、非定常計算では時間刻み依存性があって、$\Delta t \to 0$ のときに過剰な減衰が入る問題が知られている。Choi（1999）やYuらの改良版で修正されているけど、実務ではデフォルト設定で大きな問題になることは少ないよ。

いくつかポイントがあるよ：

そう、今の主要ソルバーは全てコロケート格子が前提だから、ユーザーが「コロケートにするかスタガードにするか」を選ぶ場面はまずない。Rhie-Chow補間もソルバーの内部で自動的に適用される。ただ、解が圧力の振動っぽい挙動を示したときに「あ、これはチェッカーボードかもしれない」と気づけるかどうかが大事だ。メッシュ品質を改善したり、離散化スキームを見直すきっかけになる。

完璧なまとめだ。覚えておいてほしいのは、メッシュの配置方法は離散化精度と安定性に直結するということ。「なぜこの格子配置なのか」「どんな人工的処理が裏で入っているのか」を知っておくと、結果の解釈やトラブルシュートの質が格段に上がるよ。